การศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขเชิงพื้นที่มีบทบาทสำคัญในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ วิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขในอวกาศเรียกว่า stereometry ในบทความนี้ จากมุมมองของเรขาคณิตทึบ เราจะพิจารณากรวยและแสดงวิธีหาพื้นที่ของกรวย
โคนฐานกลม
ในกรณีทั่วไป กรวยคือพื้นผิวที่สร้างขึ้นบนเส้นโค้งระนาบบางจุด ซึ่งทุกจุดเชื่อมต่อกันด้วยส่วนที่มีจุดเดียวในช่องว่าง อันหลังเรียกว่าปลายกรวย
จากคำจำกัดความข้างต้น จะเห็นได้ชัดเจนว่าเส้นโค้งสามารถมีรูปร่างที่กำหนดเองได้ เช่น พาราโบลา ไฮเพอร์โบลิก วงรี และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติและในปัญหาทางเรขาคณิต มักเป็นทรงกรวยทรงกลมที่มักพบเจอ ดังแสดงในภาพด้านล่าง
ในที่นี้สัญลักษณ์ r หมายถึงรัศมีของวงกลมที่อยู่ตรงฐานของรูป h คือเส้นตั้งฉากกับระนาบของวงกลมซึ่งลากมาจากด้านบนของรูป เรียกว่าความสูง ค่า s คือ generatrix ของ cone หรือ generatrix ของมัน
จะเห็นได้ว่าส่วน r, h และ sสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก หากหมุนรอบขา h ด้านตรงข้ามมุมฉาก s จะอธิบายพื้นผิวรูปกรวย และขา r จะเป็นฐานกลมของรูปร่าง ด้วยเหตุนี้ โคนจึงถือเป็นร่างแห่งการปฏิวัติ พารามิเตอร์เชิงเส้นตรงที่มีชื่อสามตัวเชื่อมต่อกันด้วยความเท่าเทียมกัน:
s2=r2+ h2
โปรดทราบว่าความเท่าเทียมกันที่กำหนดนั้นใช้ได้กับกรวยตรงกลมเท่านั้น รูปร่างตรงจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อความสูงตกลงตรงจุดศูนย์กลางของวงกลมฐาน หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไข จะเรียกว่า เฉียง ความแตกต่างระหว่างกรวยตรงและเฉียงแสดงในรูปด้านล่าง
พัฒนารูปร่าง
การศึกษาพื้นที่ผิวของกรวยนั้นสะดวกเมื่อพิจารณาบนเครื่องบิน วิธีการแสดงพื้นผิวของตัวเลขในอวกาศนี้เรียกว่าการพัฒนา สำหรับกรวย การพัฒนานี้สามารถหาได้ดังนี้: คุณต้องใช้รูปที่ทำมาจากกระดาษ จากนั้นใช้กรรไกรตัดฐานกลมรอบเส้นรอบวงออก หลังจากนั้นตามกำเนิดให้ตัดพื้นผิวรูปกรวยแล้วเปลี่ยนเป็นระนาบ ผลลัพธ์ของการดำเนินการอย่างง่ายเหล่านี้คือการพัฒนาของกรวยดังแสดงในรูปด้านล่าง
อย่างที่คุณเห็น พื้นผิวของกรวยสามารถแสดงบนระนาบได้จริงๆ ประกอบด้วยสองส่วนต่อไปนี้:
- วงกลมที่มีรัศมี r แทนฐานของรูป;
- ส่วนวงกลมที่มีรัศมี g ซึ่งเป็นพื้นผิวรูปกรวย
สูตรพื้นที่ของรูปกรวยเกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ของพื้นผิวที่คลี่ออกทั้งสองข้าง
คำนวณพื้นที่ผิวของรูป
แบ่งงานออกเป็นสองขั้นตอน ขั้นแรก หาพื้นที่ฐานของกรวย แล้วหาพื้นที่ของพื้นผิวรูปกรวย
ส่วนแรกของปัญหานั้นแก้ง่าย เนื่องจากให้รัศมี r ก็เพียงพอที่จะจำนิพจน์ที่เกี่ยวข้องสำหรับพื้นที่ของวงกลมเพื่อคำนวณพื้นที่ของฐาน มาเขียนกันเถอะ:
So=pi × r2
ถ้าไม่ทราบรัศมี อันดับแรกคุณควรหามันโดยใช้สูตรความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีนั้น ความสูงและตัวกำเนิด
ส่วนที่สองของปัญหาการหาพื้นที่ของกรวยค่อนข้างซับซ้อนกว่า โปรดทราบว่าเซกเตอร์วงกลมสร้างขึ้นบนรัศมี g ของ generatrix และล้อมรอบด้วยส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับเส้นรอบวงของวงกลม ความจริงข้อนี้ทำให้คุณสามารถจดสัดส่วนและหามุมของส่วนที่พิจารณาได้ ให้แทนด้วยอักษรกรีก φ มุมนี้จะเท่ากับ:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
เมื่อทราบมุมศูนย์กลาง φ ของเซกเตอร์วงกลม คุณสามารถใช้สัดส่วนที่เหมาะสมเพื่อค้นหาพื้นที่ได้ มาแทนด้วยสัญลักษณ์ Sb จะเท่ากับ:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
นั่นคือพื้นที่ของพื้นผิวรูปกรวยสอดคล้องกับผลคูณของกำเนิด g รัศมีของฐาน r และหมายเลข Pi
รู้เท่าไม่ถึงการณ์ของทั้งคู่พิจารณาพื้นผิวเราสามารถเขียนสูตรสุดท้ายสำหรับพื้นที่ของกรวย:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
นิพจน์ที่เขียนใช้ความรู้ของพารามิเตอร์เชิงเส้นสองตัวของกรวยเพื่อคำนวณ S หากไม่ทราบ g หรือ r จะพบผ่านส่วนสูง h.
ปัญหาการคำนวณพื้นที่กรวย
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความสูงของกรวยตรงที่กลมมีความสูงเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของตัวเลขโดยรู้ว่าพื้นที่ของฐานเท่ากับ 50 ซม.2.
รู้พื้นที่ของวงกลมก็หารัศมีของรูปได้ เรามี:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
ตอนนี้หาตัวกำเนิด g ในรูปของ h และ r กัน ตามเงื่อนไข ความสูง h ของรูปจะเท่ากับสองรัศมี r แล้ว:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
ควรแทนที่สูตรที่พบสำหรับ g และ r เป็นนิพจน์สำหรับพื้นที่ทั้งหมดของกรวย เราได้:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราแทนที่พื้นที่ของฐาน So และเขียนคำตอบ: S ≈ 161.8 cm2.
