ที่มาของสูตรพื้นที่รูปกรวย ตัวอย่างการแก้ปัญหา

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

การศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขเชิงพื้นที่มีบทบาทสำคัญในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ วิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขในอวกาศเรียกว่า stereometry ในบทความนี้ จากมุมมองของเรขาคณิตทึบ เราจะพิจารณากรวยและแสดงวิธีหาพื้นที่ของกรวย

โคนฐานกลม

ในกรณีทั่วไป กรวยคือพื้นผิวที่สร้างขึ้นบนเส้นโค้งระนาบบางจุด ซึ่งทุกจุดเชื่อมต่อกันด้วยส่วนที่มีจุดเดียวในช่องว่าง อันหลังเรียกว่าปลายกรวย

จากคำจำกัดความข้างต้น จะเห็นได้ชัดเจนว่าเส้นโค้งสามารถมีรูปร่างที่กำหนดเองได้ เช่น พาราโบลา ไฮเพอร์โบลิก วงรี และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติและในปัญหาทางเรขาคณิต มักเป็นทรงกรวยทรงกลมที่มักพบเจอ ดังแสดงในภาพด้านล่าง

ในที่นี้สัญลักษณ์ r หมายถึงรัศมีของวงกลมที่อยู่ตรงฐานของรูป h คือเส้นตั้งฉากกับระนาบของวงกลมซึ่งลากมาจากด้านบนของรูป เรียกว่าความสูง ค่า s คือ generatrix ของ cone หรือ generatrix ของมัน

จะเห็นได้ว่าส่วน r, h และ sสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก หากหมุนรอบขา h ด้านตรงข้ามมุมฉาก s จะอธิบายพื้นผิวรูปกรวย และขา r จะเป็นฐานกลมของรูปร่าง ด้วยเหตุนี้ โคนจึงถือเป็นร่างแห่งการปฏิวัติ พารามิเตอร์เชิงเส้นตรงที่มีชื่อสามตัวเชื่อมต่อกันด้วยความเท่าเทียมกัน:

s²=r²+ h²

โปรดทราบว่าความเท่าเทียมกันที่กำหนดนั้นใช้ได้กับกรวยตรงกลมเท่านั้น รูปร่างตรงจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อความสูงตกลงตรงจุดศูนย์กลางของวงกลมฐาน หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไข จะเรียกว่า เฉียง ความแตกต่างระหว่างกรวยตรงและเฉียงแสดงในรูปด้านล่าง

พัฒนารูปร่าง

การศึกษาพื้นที่ผิวของกรวยนั้นสะดวกเมื่อพิจารณาบนเครื่องบิน วิธีการแสดงพื้นผิวของตัวเลขในอวกาศนี้เรียกว่าการพัฒนา สำหรับกรวย การพัฒนานี้สามารถหาได้ดังนี้: คุณต้องใช้รูปที่ทำมาจากกระดาษ จากนั้นใช้กรรไกรตัดฐานกลมรอบเส้นรอบวงออก หลังจากนั้นตามกำเนิดให้ตัดพื้นผิวรูปกรวยแล้วเปลี่ยนเป็นระนาบ ผลลัพธ์ของการดำเนินการอย่างง่ายเหล่านี้คือการพัฒนาของกรวยดังแสดงในรูปด้านล่าง

อย่างที่คุณเห็น พื้นผิวของกรวยสามารถแสดงบนระนาบได้จริงๆ ประกอบด้วยสองส่วนต่อไปนี้:

• วงกลมที่มีรัศมี r แทนฐานของรูป;
• ส่วนวงกลมที่มีรัศมี g ซึ่งเป็นพื้นผิวรูปกรวย

สูตรพื้นที่ของรูปกรวยเกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ของพื้นผิวที่คลี่ออกทั้งสองข้าง

คำนวณพื้นที่ผิวของรูป

แบ่งงานออกเป็นสองขั้นตอน ขั้นแรก หาพื้นที่ฐานของกรวย แล้วหาพื้นที่ของพื้นผิวรูปกรวย

ส่วนแรกของปัญหานั้นแก้ง่าย เนื่องจากให้รัศมี r ก็เพียงพอที่จะจำนิพจน์ที่เกี่ยวข้องสำหรับพื้นที่ของวงกลมเพื่อคำนวณพื้นที่ของฐาน มาเขียนกันเถอะ:

S_o=pi × r²

ถ้าไม่ทราบรัศมี อันดับแรกคุณควรหามันโดยใช้สูตรความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีนั้น ความสูงและตัวกำเนิด

ส่วนที่สองของปัญหาการหาพื้นที่ของกรวยค่อนข้างซับซ้อนกว่า โปรดทราบว่าเซกเตอร์วงกลมสร้างขึ้นบนรัศมี g ของ generatrix และล้อมรอบด้วยส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับเส้นรอบวงของวงกลม ความจริงข้อนี้ทำให้คุณสามารถจดสัดส่วนและหามุมของส่วนที่พิจารณาได้ ให้แทนด้วยอักษรกรีก φ มุมนี้จะเท่ากับ:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

เมื่อทราบมุมศูนย์กลาง φ ของเซกเตอร์วงกลม คุณสามารถใช้สัดส่วนที่เหมาะสมเพื่อค้นหาพื้นที่ได้ มาแทนด้วยสัญลักษณ์ S_b จะเท่ากับ:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

นั่นคือพื้นที่ของพื้นผิวรูปกรวยสอดคล้องกับผลคูณของกำเนิด g รัศมีของฐาน r และหมายเลข Pi

รู้เท่าไม่ถึงการณ์ของทั้งคู่พิจารณาพื้นผิวเราสามารถเขียนสูตรสุดท้ายสำหรับพื้นที่ของกรวย:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

นิพจน์ที่เขียนใช้ความรู้ของพารามิเตอร์เชิงเส้นสองตัวของกรวยเพื่อคำนวณ S หากไม่ทราบ g หรือ r จะพบผ่านส่วนสูง h.

ปัญหาการคำนวณพื้นที่กรวย

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความสูงของกรวยตรงที่กลมมีความสูงเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของตัวเลขโดยรู้ว่าพื้นที่ของฐานเท่ากับ 50 ซม.².

รู้พื้นที่ของวงกลมก็หารัศมีของรูปได้ เรามี:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

ตอนนี้หาตัวกำเนิด g ในรูปของ h และ r กัน ตามเงื่อนไข ความสูง h ของรูปจะเท่ากับสองรัศมี r แล้ว:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

ควรแทนที่สูตรที่พบสำหรับ g และ r เป็นนิพจน์สำหรับพื้นที่ทั้งหมดของกรวย เราได้:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราแทนที่พื้นที่ของฐาน S_o และเขียนคำตอบ: S ≈ 161.8 cm².