บ่อยครั้งในวิชาฟิสิกส์ เราต้องแก้ปัญหาเพื่อคำนวณสมดุลในระบบที่ซับซ้อนซึ่งมีแรงกระทำ คาน และแกนหมุนจำนวนมาก ในกรณีนี้ เป็นการง่ายที่สุดที่จะใช้แนวคิดเรื่องโมเมนต์ของแรง บทความนี้มีสูตรที่จำเป็นทั้งหมดพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดซึ่งควรใช้เพื่อแก้ไขปัญหาของประเภทที่มีชื่อ
จะคุยอะไรกัน
หลายคนคงสังเกตเห็นว่าถ้าคุณกระทำด้วยแรงใดๆ กับวัตถุที่กำหนดจุดใดจุดหนึ่ง วัตถุนั้นจะเริ่มหมุน ตัวอย่างที่เด่นชัดคือประตูบ้านหรือห้อง หากคุณจับมันด้วยมือจับแล้วกด (ออกแรง) จากนั้นมันก็จะเปิดออก (เปิดบานพับ) กระบวนการนี้เป็นการแสดงออกในชีวิตประจำวันของการกระทำของปริมาณทางกายภาพซึ่งเรียกว่าช่วงเวลาของแรง
จากตัวอย่างที่อธิบายกับประตู ค่าที่เป็นปัญหาบ่งชี้ความสามารถของแรงในการหมุน ซึ่งเป็นความหมายทางกายภาพ ค่านี้ด้วยเรียกว่า โมเมนต์บิด
กำหนดโมเมนต์ของแรง
ก่อนกำหนดปริมาณที่พิจารณา ลองนึกภาพง่ายๆ ก่อน
ดังนั้น รูปแสดงคันโยก (สีน้ำเงิน) ซึ่งยึดอยู่กับแกน (สีเขียว) คันโยกนี้มีความยาว d และแรง F ถูกนำไปใช้กับส่วนท้าย จะเกิดอะไรขึ้นกับระบบในกรณีนี้? ถูกต้อง คันโยกจะเริ่มหมุนทวนเข็มนาฬิกาเมื่อมองจากด้านบน (โปรดทราบว่าหากคุณยืดจินตนาการออกไปเล็กน้อยแล้วจินตนาการว่ามุมมองนั้นถูกนำจากด้านล่างไปยังคันโยกแล้ว มันจะหมุนตามเข็มนาฬิกา)
ให้จุดยึดของแกนเรียกว่า O และจุดบังคับ - P จากนั้น เราสามารถเขียนนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้:
OP¯ F¯=M¯FO.
โดยที่ OP¯ คือเวกเตอร์ที่ชี้จากแกนไปยังปลายคันโยก เรียกอีกอย่างว่าก้านบังคับ F¯คือเวกเตอร์ที่ใช้บังคับกับจุด P และ M¯FO คือโมเมนต์ของแรงรอบจุด O (แกน) สูตรนี้เป็นคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของปริมาณทางกายภาพที่เป็นปัญหา
ทิศทางของโมเมนต์และกฎมือขวา
นิพจน์ข้างต้นเป็นผลคูณ อย่างที่คุณทราบ ผลลัพธ์ของมันคือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านเวกเตอร์ตัวคูณที่สอดคล้องกัน เงื่อนไขนี้เป็นไปตามค่าสองทิศทาง M¯FO (ขึ้นและลง).
เพื่อเอกลักษณ์เพื่อกำหนด เราควรใช้สิ่งที่เรียกว่ากฎมือขวา สามารถกำหนดได้ดังนี้: ถ้าคุณงอสี่นิ้วของมือขวาให้เป็นครึ่งโค้งแล้วชี้ครึ่งโค้งนี้ไปตามเวกเตอร์แรก (ปัจจัยแรกในสูตร) และไปที่จุดสิ้นสุดของ ประการที่สองจากนั้นนิ้วโป้งที่ยื่นออกมาด้านบนจะระบุทิศทางของโมเมนต์บิด โปรดทราบด้วยว่าก่อนใช้กฎนี้ คุณต้องตั้งค่าเวกเตอร์ที่คูณเพื่อให้ออกมาจากจุดเดียวกัน (ที่มาต้องตรงกัน)
ในกรณีของรูปในย่อหน้าก่อนหน้า เราสามารถพูดได้โดยใช้กฎมือขวา ว่าโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับแกนจะพุ่งขึ้นไปข้างบน นั่นคือ เข้าหาเรา
นอกจากวิธีการทำเครื่องหมายเพื่อกำหนดทิศทางของเวกเตอร์ M¯FO ยังมีอีกสองวิธี นี่คือพวกเขา:
- โมเมนต์ของแรงบิดจะถูกกำหนดในลักษณะที่ถ้าคุณดูที่คันโยกที่หมุนได้จากปลายเวกเตอร์ของมัน อันหลังจะเคลื่อนไปตามนาฬิกา เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าทิศทางของช่วงเวลานี้เป็นไปในเชิงบวกเมื่อแก้ไขปัญหาประเภทต่างๆ
- ถ้าคุณบิดด้ามปืนตามเข็มนาฬิกา แรงบิดจะพุ่งไปที่การเคลื่อนที่ (ลึกขึ้น) ของปลอกยาง
คำจำกัดความข้างต้นทั้งหมดเท่ากัน ดังนั้นทุกคนสามารถเลือกคำที่สะดวกสำหรับเขา
ดังนั้น พบว่าทิศทางของโมเมนต์แรงขนานกับแกนรอบซึ่งคันโยกที่เกี่ยวข้องจะหมุน
แรงทำมุม
พิจารณาภาพด้านล่าง
ที่นี่เราเห็นคันโยกยาว L จับจ้องอยู่ที่จุดหนึ่ง (ระบุด้วยลูกศร) แรง F กระทำต่อมัน อย่างไรก็ตาม มันถูกชี้ไปที่มุมหนึ่ง Φ (phi) ไปยังคันโยกแนวนอน ทิศทางของช่วงเวลา M¯FO ในกรณีนี้จะเหมือนกับในรูปก่อนหน้า (สำหรับเรา) ในการคำนวณค่าสัมบูรณ์หรือโมดูลัสของปริมาณนี้ คุณต้องใช้คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ข้าม ตามที่เขาพูด สำหรับตัวอย่างที่กำลังพิจารณา คุณสามารถเขียนนิพจน์: MFO=LFsin(180 o -Φ) หรือใช้คุณสมบัติไซน์ เราเขียนใหม่:
MFO=LFsin(Φ).
รูปยังแสดงรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เสร็จสมบูรณ์ โดยด้านข้างคือคันโยก (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) เส้นการกระทำของแรง (ขา) และด้านของความยาว d (ขาที่สอง) เนื่องจาก sin(Φ)=d/L สูตรนี้จะอยู่ในรูปแบบ: MFO=dF. จะเห็นได้ว่าระยะ d คือระยะจากจุดยึดคันโยกถึงแนวแรง กล่าวคือ d คือคันบังคับ
สูตรทั้งสองที่พิจารณาในย่อหน้านี้ ซึ่งเป็นไปตามคำจำกัดความของโมเมนต์ของแรงบิดโดยตรง มีประโยชน์ในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ
หน่วยทอร์ค
ใช้คำจำกัดความได้ว่าค่า MFOควรวัดเป็นนิวตันต่อเมตร (Nm). แท้จริงแล้ว ในรูปแบบของหน่วยเหล่านี้ มันถูกใช้ใน SI.
หมายเหตุ Nm คือหน่วยของงานซึ่งแสดงเป็นจูล เช่น พลังงาน อย่างไรก็ตาม จูลไม่ได้ใช้สำหรับแนวคิดของโมเมนต์ของแรง เนื่องจากค่านี้สะท้อนถึงความเป็นไปได้ของการดำเนินการหลังอย่างแม่นยำ อย่างไรก็ตาม มีการเชื่อมต่อกับหน่วยของงาน: หากเป็นผลมาจากแรง F คันโยกหมุนไปรอบๆ จุดหมุน O อย่างสมบูรณ์ งานที่ทำจะเท่ากับ A=MF O 2pi (2pi คือมุมในหน่วยเรเดียนที่สอดคล้องกับ 360o) ในกรณีนี้ หน่วยของแรงบิด MFO สามารถแสดงเป็นจูลต่อเรเดียน (J/rad.) ส่วนหลังพร้อมกับ Hm ก็ใช้ในระบบ SI ด้วย
ทฤษฎีบทวาริญง
ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อ Pierre Varignon ได้ศึกษาความสมดุลของระบบด้วยคันโยก ได้เริ่มสร้างทฤษฎีบทขึ้นเป็นครั้งแรก ซึ่งปัจจุบันใช้นามสกุลของเขา มีสูตรดังนี้ โมเมนต์รวมของแรงหลายแรงจะเท่ากับโมเมนต์ของแรงที่เกิดขึ้น ซึ่งนำไปใช้กับจุดใดจุดหนึ่งที่สัมพันธ์กับแกนหมุนเดียวกัน ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i )=d¯F¯.
ทฤษฎีบทนี้สะดวกที่จะใช้ในการคำนวณโมเมนต์บิดในระบบที่มีแรงกระทำหลายตัว
ต่อไป เราจะยกตัวอย่างการใช้สูตรข้างต้นเพื่อแก้ปัญหาทางฟิสิกส์
ปัญหาประแจ
หนึ่งในตัวอย่างที่เด่นชัดของการแสดงให้เห็นถึงความสำคัญของการพิจารณาโมเมนต์ของแรงคือกระบวนการคลายเกลียวน็อตด้วยประแจ ในการคลายเกลียวน็อต คุณต้องใช้แรงบิด จำเป็นต้องคำนวณว่าควรใช้แรงเท่าใดที่จุด A เพื่อเริ่มคลายเกลียวน็อต หากแรงนี้ที่จุด B คือ 300 N (ดูรูปด้านล่าง)
จากรูปด้านบน สิ่งสำคัญสองอย่างตามมา: อันดับแรก ระยะทาง OB เป็นสองเท่าของ OA; ประการที่สอง แรง FA และ FBตั้งฉากกับคันโยกที่สอดคล้องกันโดยมีแกนหมุนประจวบกับจุดศูนย์กลางของน็อต (จุด O)
แรงบิดสำหรับกรณีนี้สามารถเขียนในรูปแบบสเกลาร์ดังนี้: M=OBFB=OAFA เนื่องจาก OB/OA=2 ความเท่าเทียมกันนี้จะคงอยู่ก็ต่อเมื่อ FA มากกว่า FB 2 เท่า จากเงื่อนไขของปัญหา เราจะได้ FA=2300=600 N นั่นคือ ยิ่งกุญแจยาวเท่าไหร่ก็ยิ่งคลายเกลียวน็อตได้ง่ายขึ้น
ปัญหากับลูกบอลสองก้อนที่มีมวลต่างกัน
รูปด้านล่างแสดงระบบที่อยู่ในภาวะสมดุล จำเป็นต้องหาตำแหน่งของจุดศูนย์กลางหากความยาวของกระดานคือ 3 เมตร
เนื่องจากระบบอยู่ในสมดุล ผลรวมของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดจึงเท่ากับศูนย์ มีแรงกระทำสามอย่างบนกระดาน (น้ำหนักของลูกบอลสองลูกและแรงปฏิกิริยาของตัวรองรับ) เนื่องจากแรงสนับสนุนไม่ได้สร้างโมเมนต์แรงบิด (ความยาวของคันโยกเป็นศูนย์) จึงมีเพียงสองช่วงเวลาที่สร้างโดยน้ำหนักของลูกบอล
ให้จุดสมดุลอยู่ในระยะ x จากขอบที่มีลูก 100 กก. จากนั้นเราสามารถเขียนความเท่าเทียมกัน: M1-M2=0 เนื่องจากน้ำหนักของร่างกายถูกกำหนดโดยสูตร mg, แล้วเรามี: m 1gx - m2g(3-x)=0. เราลด g และแทนที่ข้อมูล เราได้: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0.143 m หรือ 14.3 cm.
ดังนั้น เพื่อให้ระบบอยู่ในสมดุล จำเป็นต้องสร้างจุดอ้างอิงที่ระยะ 14.3 ซม. จากขอบ โดยที่ลูกบอลมวล 100 กก. จะวางอยู่
