ลำดับที่ 2 พื้นผิว: ตัวอย่าง

สารบัญ:

ลำดับที่ 2 พื้นผิว: ตัวอย่าง
ลำดับที่ 2 พื้นผิว: ตัวอย่าง
Anonim

นักเรียนมักพบเจอกับพื้นผิวของอันดับที่ 2 ในปีแรก ในตอนแรก งานในหัวข้อนี้อาจดูเหมือนง่าย แต่เมื่อคุณศึกษาคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้นและเจาะลึกในด้านวิทยาศาสตร์ คุณก็จะหยุดปรับทิศทางตัวเองในสิ่งที่เกิดขึ้นได้ เพื่อป้องกันไม่ให้สิ่งนี้เกิดขึ้น ไม่เพียงแต่จำเป็นต้องจดจำเท่านั้น แต่ยังต้องทำความเข้าใจว่าได้พื้นผิวนี้หรือพื้นผิวนั้นมาได้อย่างไร การเปลี่ยนแปลงค่าสัมประสิทธิ์ส่งผลกระทบอย่างไรต่อตำแหน่งและตำแหน่งของมันที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดเดิม และวิธีค้นหาระบบใหม่ (จุดศูนย์กลางตรงกับพิกัดกำเนิด และแกนสมมาตรขนานกับแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง) เริ่มจากจุดเริ่มต้นกันเถอะ

คำจำกัดความ

GMT เรียกว่าพื้นผิวอันดับ 2 ซึ่งพิกัดเป็นไปตามสมการทั่วไปของรูปแบบต่อไปนี้:

F(x, y, z)=0.

เป็นที่ชัดเจนว่าแต่ละจุดที่เป็นของพื้นผิวจะต้องมีสามพิกัดในบางพื้นฐานที่กำหนด แม้ว่าในบางกรณี ตำแหน่งของจุดอาจเสื่อมลง เช่น กลายเป็นระนาบ หมายความว่าหนึ่งในพิกัดคงที่และเท่ากับศูนย์ในช่วงค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมด

รูปวาดเต็มของความเท่าเทียมกันที่กล่าวถึงข้างต้นมีลักษณะดังนี้:

A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.

Anm – ค่าคงที่บางค่า, x, y, z – ตัวแปรที่สอดคล้องกับพิกัดความผูกพันของบางจุด ในกรณีนี้ ปัจจัยคงที่อย่างน้อยหนึ่งตัวต้องไม่เท่ากับศูนย์ นั่นคือไม่มีจุดใดที่จะสอดคล้องกับสมการ

ในตัวอย่างส่วนใหญ่ ตัวประกอบตัวเลขจำนวนมากยังคงเท่ากับศูนย์เหมือนกัน และสมการก็ลดความซับซ้อนลงอย่างมาก ในทางปฏิบัติ การพิจารณาว่าจุดนั้นเป็นของพื้นผิวหรือไม่นั้นไม่ยาก (เพียงแค่แทนที่พิกัดของจุดนั้นลงในสมการและตรวจสอบว่ามีการสังเกตตัวตนหรือไม่) ประเด็นสำคัญในงานดังกล่าวคือการนำส่วนหลังมาสู่รูปแบบบัญญัติ

สมการที่เขียนด้านบนกำหนดพื้นผิวใดๆ (ทั้งหมดที่ระบุไว้ด้านล่าง) ของลำดับที่ 2 เราจะพิจารณาตัวอย่างด้านล่าง

ประเภทพื้นผิวของลำดับที่ 2

สมการของพื้นผิวของลำดับที่ 2 ต่างกันเฉพาะในค่าสัมประสิทธิ์ Anm จากมุมมองทั่วไป สำหรับค่าคงที่บางค่า สามารถหาพื้นผิวต่างๆ ได้ จำแนกได้ดังนี้

  1. กระบอกสูบ
  2. แบบวงรี
  3. แบบไฮเปอร์โบลิก
  4. ทรงกรวย
  5. แบบพาราโบลา
  6. เครื่องบิน

แต่ละประเภทมีรูปแบบธรรมชาติและจินตภาพ: ในรูปแบบจินตภาพ ตำแหน่งของจุดจริงอาจเสื่อมลงเป็นตัวเลขที่เรียบง่าย หรือไม่มีอยู่เลย

กระบอกสูบ

นี่คือประเภทที่ง่ายที่สุด เนื่องจากเส้นโค้งที่ค่อนข้างซับซ้อนอยู่ที่ฐานเท่านั้นซึ่งทำหน้าที่เป็นแนวทาง เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเป็นเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบที่ฐานอยู่

พื้นผิวของคำสั่งที่ 2
พื้นผิวของคำสั่งที่ 2

กราฟแสดงรูปทรงกระบอกกลม กรณีพิเศษของทรงกระบอกรูปไข่ ในระนาบ XY การฉายภาพจะเป็นวงรี (ในกรณีของเราคือ วงกลม) - เส้นบอกแนว และใน XZ - สี่เหลี่ยมผืนผ้า - เนื่องจากเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขนานกับแกน Z เพื่อให้ได้มาจากสมการทั่วไป คุณต้องมี เพื่อให้สัมประสิทธิ์ค่าต่อไปนี้:

พื้นผิวของคำสั่งที่ 2
พื้นผิวของคำสั่งที่ 2

แทนที่จะใช้สัญลักษณ์ปกติ x, y, z, x ที่มีหมายเลขซีเรียลถูกใช้ - มันไม่สำคัญหรอก

อันที่จริง 1/a2และค่าคงที่อื่นๆ ที่ระบุในที่นี้เป็นค่าสัมประสิทธิ์เดียวกันที่ระบุในสมการทั่วไป แต่เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนมันในรูปแบบนี้ - นี่คือ การแสดงตามบัญญัติ นอกจากนี้ จะใช้สัญกรณ์ดังกล่าวเท่านั้น

พื้นผิวของคำสั่งที่ 2
พื้นผิวของคำสั่งที่ 2

นี่คือวิธีกำหนดรูปทรงกระบอกไฮเปอร์โบลิก รูปแบบเหมือนกัน - อติพจน์จะเป็นแนวทาง

y2=2px

รูปทรงกระบอกพาราโบลาถูกกำหนดค่อนข้างแตกต่าง: รูปแบบบัญญัติของมันประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ p ซึ่งเรียกว่าพารามิเตอร์ อันที่จริงสัมประสิทธิ์จะเท่ากับ q=2p แต่เป็นเรื่องปกติที่จะแบ่งออกเป็นสองปัจจัยที่นำเสนอ

มีรูปทรงกระบอกอีกประเภทหนึ่ง: จินตภาพ. ไม่มีจุดที่แท้จริงเป็นของทรงกระบอกดังกล่าว อธิบายโดยสมการทรงกระบอกรูปไข่ แต่แทนที่จะเป็นหน่วยคือ -1.

แบบวงรี

พื้นผิวของคำสั่งที่ 2
พื้นผิวของคำสั่งที่ 2

ทรงรีสามารถยืดไปตามแกนใดแกนหนึ่งได้ (ขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ a, b, c, ที่ระบุข้างต้น จะเห็นได้ชัดเจนว่าค่าสัมประสิทธิ์ที่มากกว่าจะสอดคล้องกับแกนที่ใหญ่กว่า).

พื้นผิวของคำสั่งที่ 2
พื้นผิวของคำสั่งที่ 2

ยังมีวงรีจินตภาพ - โดยที่ผลรวมของพิกัดคูณด้วยสัมประสิทธิ์คือ -1:

พื้นผิวของคำสั่งที่ 2
พื้นผิวของคำสั่งที่ 2

ไฮเปอร์โบลอยด์

พื้นผิวของคำสั่งที่ 2
พื้นผิวของคำสั่งที่ 2

เมื่อเครื่องหมายลบปรากฏในค่าคงที่ตัวใดตัวหนึ่ง สมการทรงรีจะกลายเป็นสมการของไฮเปอร์โบลอยด์แบบแผ่นเดียว ต้องเข้าใจว่าเครื่องหมายลบนี้ไม่จำเป็นต้องอยู่ก่อนพิกัด x3! โดยจะกำหนดว่าแกนใดจะเป็นแกนของการหมุนของไฮเปอร์โบลอยด์ (หรือขนานกัน เนื่องจากเมื่อคำเพิ่มเติมปรากฏในสี่เหลี่ยมจัตุรัส (เช่น (x-2)2) ศูนย์กลางของรูปจะเลื่อน อันเป็นผลให้ พื้นผิวเคลื่อนที่ขนานกับแกนพิกัด) สิ่งนี้ใช้กับพื้นผิวลำดับที่ 2 ทั้งหมด

สมการพื้นผิวอันดับที่ 2
สมการพื้นผิวอันดับที่ 2

นอกจากนี้ คุณต้องเข้าใจว่าสมการแสดงในรูปแบบบัญญัติและสามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยการเปลี่ยนค่าคงที่ (โดยที่เครื่องหมายถูกเก็บไว้!); ในขณะที่รูปร่างของมัน (ไฮเปอร์โบลอยด์ โคน และอื่นๆ) จะยังคงเหมือนเดิม

พื้นผิวของคำสั่งที่ 2
พื้นผิวของคำสั่งที่ 2

สมการนี้ถูกกำหนดโดยไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นแล้ว

การก่อสร้างคำสั่งพื้นผิว 2
การก่อสร้างคำสั่งพื้นผิว 2

พื้นผิวทรงกรวย

พื้นผิวของคำสั่งที่ 2
พื้นผิวของคำสั่งที่ 2

ไม่มีหน่วยในสมการรูปกรวย - เท่ากับศูนย์

รูปกรวยที่มีขอบเท่านั้นที่เรียกว่ากรวย ภาพด้านล่างแสดงให้เห็นว่าในความเป็นจริงจะมีกรวยสองอันบนแผนภูมิ

ประเภทของพื้นผิวลำดับที่ 2
ประเภทของพื้นผิวลำดับที่ 2

หมายเหตุสำคัญ: ในสมการบัญญัติที่พิจารณาทั้งหมด ค่าคงที่จะเป็นค่าบวกโดยค่าเริ่มต้น มิฉะนั้น สัญญาณอาจส่งผลต่อแผนภูมิสุดท้าย

ระนาบพิกัดกลายเป็นระนาบสมมาตรของกรวย จุดศูนย์กลางของสมมาตรอยู่ที่จุดกำเนิด

พื้นผิวของคำสั่งที่ 2
พื้นผิวของคำสั่งที่ 2

ในสมการกรวยจินตภาพมีข้อดีอยู่เท่านั้น มันเป็นเจ้าของแต้มจริงเพียงจุดเดียว

พาราโบลา

พื้นผิวของลำดับที่ 2 ในอวกาศอาจมีรูปทรงต่างกันได้แม้จะใช้สมการที่คล้ายคลึงกันก็ตาม ตัวอย่างเช่น พาราโบลามีสองประเภท

x2/a2+y2/b2=2z

พาราโบลาวงรี เมื่อแกน Z ตั้งฉากกับภาพวาด จะถูกฉายเป็นรูปวงรี

สร้างพื้นผิวลำดับที่ 2
สร้างพื้นผิวลำดับที่ 2

x2/a2-y2/b2=2z

ไฮเปอร์โบลาพาราโบลา: ส่วนที่มีระนาบขนานกับ ZY จะสร้างพาราโบลา และส่วนที่มีระนาบขนานกับ XY จะสร้างไฮเปอร์โบลา

พื้นผิวของคำสั่งที่ 2
พื้นผิวของคำสั่งที่ 2

เครื่องบินตัดกัน

มีบางกรณีที่พื้นผิวของลำดับที่ 2 เสื่อมลงในระนาบ เครื่องบินเหล่านี้สามารถจัดได้หลายวิธี

ลองพิจารณาระนาบที่ตัดกันก่อน:

x2/a2-y2/b2=0

การแก้ไขสมการบัญญัตินี้ส่งผลให้เกิดระนาบตัดกันเพียงสองระนาบ (จินตภาพ!); จุดจริงทั้งหมดอยู่บนแกนของพิกัดที่หายไปในสมการ (ในมาตรฐาน - แกน Z)

เครื่องบินคู่ขนาน

y2=a2

เมื่อมีพิกัดเดียว พื้นผิวของลำดับที่ 2 จะเสื่อมลงเป็นระนาบคู่ขนาน จำไว้ว่าตัวแปรอื่นใดสามารถแทนที่ Y ได้ จากนั้นจะได้ระนาบขนานกับแกนอื่น

y2=−a2

ในกรณีนี้ มันจะกลายเป็นจินตภาพ

เครื่องบินประจวบกัน

y2=0

ด้วยสมการง่ายๆ แบบนี้ เครื่องบินคู่หนึ่งจะเสื่อมเป็นหนึ่งเดียว - มันมาพร้อมกัน

อย่าลืมว่าในกรณีของพื้นฐานสามมิติ สมการข้างต้นไม่ได้กำหนดเส้นตรง y=0! ไม่มีตัวแปรอีก 2 ตัว แต่นั่นก็หมายความว่าค่าของพวกมันคงที่และเท่ากับศูนย์

ตึก

งานที่ยากที่สุดอย่างหนึ่งสำหรับนักเรียนคือการสร้างพื้นผิวของลำดับที่ 2 การย้ายจากระบบพิกัดหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งทำได้ยากยิ่งขึ้นไปอีก เมื่อพิจารณาจากมุมของเส้นโค้งที่สัมพันธ์กับแกนและออฟเซ็ตของจุดศูนย์กลาง มาทำซ้ำวิธีการกำหนดมุมมองในอนาคตของภาพวาดด้วยการวิเคราะห์อย่างสม่ำเสมอทาง

ในการสร้างพื้นผิวอันดับที่ 2 คุณต้อง:

  • นำสมการมาอยู่ในรูปแบบบัญญัติ
  • กำหนดประเภทของพื้นผิวที่ศึกษา
  • สร้างตามค่าสัมประสิทธิ์

ด้านล่างเป็นประเภททั้งหมด:

ตัวอย่างลำดับที่ 2 ของพื้นผิว
ตัวอย่างลำดับที่ 2 ของพื้นผิว

ในการรวม เราจะอธิบายตัวอย่างหนึ่งของงานประเภทนี้โดยละเอียด

ตัวอย่าง

สมมติว่ามีสมการ:

3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60y+144=0

มาในรูปแบบบัญญัติกันเถอะ ให้เราแยกเฉพาะกำลังสองเต็ม นั่นคือ เราจัดเรียงพจน์ที่มีในลักษณะที่เป็นการขยายกำลังสองของผลรวมหรือส่วนต่าง ตัวอย่างเช่น ถ้า (a+1)2=a2+2a+1 แล้ว a2+2a +1=(a+1)2. เราจะดำเนินการครั้งที่สอง ในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องเปิดวงเล็บ เนื่องจากจะทำให้การคำนวณซับซ้อนเท่านั้น แต่จำเป็นต้องนำปัจจัยร่วม 6 ออก (ในวงเล็บที่มีกำลังสองเต็มของ Y):

3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6

ตัวแปร z เกิดขึ้นในกรณีนี้เพียงครั้งเดียว - คุณสามารถปล่อยให้มันอยู่คนเดียวในตอนนี้

เราวิเคราะห์สมการในขั้นตอนนี้: ค่าที่ไม่รู้จักทั้งหมดนำหน้าด้วยเครื่องหมายบวก เมื่อหารด้วยหก จะเหลือหนึ่ง ดังนั้นเราจึงมีสมการที่กำหนดวงรี

สังเกตว่า 144 แยกตัวประกอบเป็น 150-6 หลังจากนั้น -6 จะถูกย้ายไปทางขวา ทำไมถึงต้องทำแบบนี้? เห็นได้ชัดว่าตัวหารที่ใหญ่ที่สุดในตัวอย่างนี้คือ -6 ดังนั้นหลังจากหารด้วยแล้วอันหนึ่งอยู่ทางขวาจำเป็นต้อง "เลื่อน" ตรง 6 จาก 144 (ความจริงที่ว่าหนึ่งควรอยู่ทางขวาจะแสดงโดยการปรากฏตัวของเทอมอิสระ - ค่าคงที่ไม่คูณด้วยสิ่งที่ไม่รู้จัก)

หารทุกอย่างด้วยหกแล้วได้สมการมาตรฐานของทรงรี:

(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1

ในการจำแนกพื้นผิวของลำดับที่ 2 ที่ใช้ก่อนหน้านี้ จะพิจารณากรณีพิเศษเมื่อจุดศูนย์กลางของตัวเลขอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด ในตัวอย่างนี้ จะออฟเซ็ต

เราถือว่าวงเล็บแต่ละอันที่ไม่ทราบค่าเป็นตัวแปรใหม่ นั่นคือ: a=x-1, b=y+5, c=z ในพิกัดใหม่ จุดศูนย์กลางของทรงรีจะตรงกับจุด (0, 0, 0) ดังนั้น a=b=c=0, โดยที่: x=1, y=-5, z=0 ในพิกัดเริ่มต้น ศูนย์กลางของรูปอยู่ที่จุด (1, -5, 0)

วงรีจะได้มาจากวงรีสองวง: วงแรกในระนาบ XY และวงที่สองในระนาบ XZ (หรือ YZ - มันไม่สำคัญ) สัมประสิทธิ์ซึ่งแบ่งตัวแปรออกจะยกกำลังสองในสมการบัญญัติ ดังนั้น ในตัวอย่างข้างต้น การหารด้วยรากของสอง หนึ่ง และรากของสามจึงจะถูกต้องมากกว่า

แกนรองของวงรีแรกขนานกับแกน Y คือสอง แกนหลักขนานกับแกน x คือสองรากของสอง แกนรองของวงรีที่สองซึ่งขนานกับแกน Y ยังคงเหมือนเดิม - เท่ากับสอง และแกนหลักขนานกับแกน Z เท่ากับสองรากของสาม

ด้วยความช่วยเหลือของข้อมูลที่ได้จากสมการดั้งเดิมโดยการแปลงเป็นรูปแบบบัญญัติ เราสามารถวาดทรงรีได้

สรุป

ครอบคลุมในบทความนี้หัวข้อค่อนข้างกว้างขวาง แต่ตามที่คุณเห็นตอนนี้ไม่ซับซ้อนมาก อันที่จริงการพัฒนาของมันสิ้นสุดลงเมื่อคุณจดจำชื่อและสมการของพื้นผิว (และแน่นอนว่ามีลักษณะอย่างไร) ในตัวอย่างข้างต้น เราได้พูดถึงแต่ละขั้นตอนอย่างละเอียดแล้ว แต่การนำสมการมาสู่รูปแบบบัญญัตินั้นต้องใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้นเพียงเล็กน้อย และไม่ควรสร้างปัญหาใดๆ สำหรับนักเรียน

การวิเคราะห์กำหนดการในอนาคตเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันที่มีอยู่เป็นงานที่ยากขึ้นแล้ว แต่สำหรับวิธีแก้ปัญหาที่ประสบความสำเร็จ ก็เพียงพอที่จะเข้าใจว่าเส้นโค้งอันดับสองที่สอดคล้องกันถูกสร้างขึ้นอย่างไร - วงรี พาราโบลา และอื่นๆ

กรณีความเสื่อม - ส่วนที่เรียบง่ายยิ่งขึ้น เนื่องจากไม่มีตัวแปรบางตัว ไม่เพียงแต่การคำนวณจะง่ายขึ้นดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ แต่ยังรวมถึงการสร้างด้วย

ทันทีที่คุณระบุชื่อพื้นผิวทุกประเภทได้อย่างมั่นใจ เปลี่ยนแปลงค่าคงที่ เปลี่ยนกราฟเป็นรูปร่างเดียวหรืออีกรูปแบบหนึ่ง - หัวข้อจะถูกควบคุม

ประสบความสำเร็จในการศึกษาของคุณ!

แนะนำ: