เมทริกซ์: วิธีเกาส์ การคำนวณเมทริกซ์เกาส์: ตัวอย่าง

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

พีชคณิตเชิงเส้นซึ่งสอนในมหาวิทยาลัยในสาขาต่างๆ ที่รวมหัวข้อที่ซับซ้อนมากมาย บางส่วนเกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ เช่นเดียวกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีเกาส์และเกาส์-จอร์แดน ไม่ใช่นักเรียนทุกคนที่เข้าใจหัวข้อเหล่านี้ ซึ่งเป็นอัลกอริธึมในการแก้ปัญหาต่างๆ มาทำความเข้าใจเมทริกซ์และวิธีการของเกาส์และเกาส์-จอร์แดนกัน

แนวคิดพื้นฐาน

เมทริกซ์ในพีชคณิตเชิงเส้นคืออาร์เรย์ขององค์ประกอบสี่เหลี่ยม (ตาราง) ด้านล่างนี้คือชุดขององค์ประกอบที่อยู่ในวงเล็บ นี่คือเมทริกซ์ จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่าองค์ประกอบในอาร์เรย์สี่เหลี่ยมไม่ได้เป็นเพียงตัวเลขเท่านั้น เมทริกซ์สามารถประกอบด้วยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ สัญลักษณ์พีชคณิต

เพื่อให้เข้าใจแนวคิดบางอย่าง เรามาสร้างเมทริกซ์ A จากองค์ประกอบ a_ij ดัชนีไม่ได้เป็นเพียงตัวอักษร: i คือจำนวนแถวในตารางและ j คือหมายเลขของคอลัมน์ในบริเวณจุดตัดที่องค์ประกอบตั้งอยู่a_ij. ดังนั้น เราจะเห็นว่าเรามีเมทริกซ์ขององค์ประกอบ เช่น a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ และอื่นๆ ตัวอักษร n หมายถึงจำนวนคอลัมน์ และตัวอักษร m หมายถึงจำนวนแถว สัญลักษณ์ m × n แสดงถึงมิติของเมทริกซ์ นี่คือแนวคิดที่กำหนดจำนวนแถวและคอลัมน์ในอาร์เรย์ขององค์ประกอบสี่เหลี่ยม

หรือ เมทริกซ์ต้องมีหลายคอลัมน์และหลายแถว ด้วยมิติข้อมูล 1 × n อาร์เรย์ขององค์ประกอบจะเป็นแบบแถวเดียว และด้วยขนาด m × 1 จะเป็นอาร์เรย์แบบคอลัมน์เดียว เมื่อจำนวนแถวและจำนวนคอลัมน์เท่ากัน เมทริกซ์จะเรียกว่า สี่เหลี่ยม เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสทุกอันมีดีเทอร์มีแนนต์ (det A) คำนี้หมายถึงตัวเลขที่กำหนดให้กับเมทริกซ์ A

แนวคิดที่สำคัญอีกสองสามข้อที่ต้องจำเพื่อที่จะแก้เมทริกซ์ได้สำเร็จคือเส้นทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุม เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์คือเส้นทแยงมุมที่ลงไปที่มุมขวาของตารางจากมุมซ้ายบน เส้นทแยงมุมด้านข้างไปที่มุมขวาขึ้นจากมุมซ้ายจากด้านล่าง

มุมมองเมทริกซ์แบบสเต็ป

ดูภาพด้านล่างครับ คุณจะเห็นเมทริกซ์และไดอะแกรม มาจัดการกับเมทริกซ์กันก่อน ในพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์ประเภทนี้เรียกว่าเมทริกซ์แบบขั้นตอน มีหนึ่งคุณสมบัติ: ถ้า a_ij เป็นองค์ประกอบแรกที่ไม่ใช่ศูนย์ในแถวที่ i แล้วองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดจากเมทริกซ์ด้านล่างและด้านซ้ายของ a_ij เป็นโมฆะ (เช่น องค์ประกอบทั้งหมดที่สามารถกำหนดตัวอักษร a_kl โดยที่ k>i และl<j).

ลองพิจารณาแผนภาพดู มันสะท้อนถึงรูปแบบขั้นบันไดของเมทริกซ์ โครงร่างแสดงเซลล์ 3 ประเภท แต่ละประเภทแสดงถึงองค์ประกอบบางอย่าง:

• เซลล์ว่าง - ศูนย์องค์ประกอบของเมทริกซ์
• เซลล์ที่แรเงาเป็นองค์ประกอบที่กำหนดได้เองซึ่งสามารถเป็นได้ทั้งศูนย์และไม่ใช่ศูนย์
• สี่เหลี่ยมสีดำเป็นองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งเรียกว่าองค์ประกอบมุม “ขั้นตอน” (ในเมทริกซ์ที่แสดงข้างๆ องค์ประกอบดังกล่าวคือตัวเลข –1, 5, 3, 8)

เมื่อแก้เมทริกซ์ บางครั้งผลลัพธ์ก็คือ "ความยาว" ของขั้นตอนมากกว่า 1 ซึ่งทำได้ เฉพาะ "ความสูง" ของขั้นบันไดเท่านั้นที่มีความสำคัญ ในเมทริกซ์ขั้นตอน พารามิเตอร์นี้ต้องเท่ากับหนึ่งเสมอ

ลดขนาดเมทริกซ์เป็นขั้นตอน

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมใดๆ สามารถแปลงเป็นรูปแบบขั้นบันไดได้ สิ่งนี้ทำผ่านการแปลงเบื้องต้น ได้แก่

• การจัดเรียงสตริง;
• เพิ่มบรรทัดอื่นในหนึ่งบรรทัด ถ้าจำเป็น คูณด้วยตัวเลข (คุณสามารถดำเนินการลบได้)

ลองพิจารณาการแปลงเบื้องต้นในการแก้ปัญหาเฉพาะ รูปด้านล่างแสดงเมทริกซ์ A ซึ่งต้องถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปขั้น

เพื่อแก้ปัญหา เราจะทำตามอัลกอริทึม:

• สะดวกในการแปลงเมทริกซ์ด้วยองค์ประกอบแรกที่มุมซ้ายบน (เช่น องค์ประกอบ "นำหน้า") คือ 1 หรือ -1 ในกรณีของเรา องค์ประกอบแรกในแถวบนสุดคือ 2 ดังนั้น เรามาสลับแถวแรกและแถวที่สองกัน
• มาดำเนินการลบกัน โดยมีผลกับแถวที่ 2, 3 และ 4 เราควรได้ค่าศูนย์ในคอลัมน์แรกภายใต้องค์ประกอบ "นำหน้า" เพื่อให้ได้ผลลัพธ์นี้: จากองค์ประกอบของบรรทัดที่ 2 เราลบองค์ประกอบของบรรทัดที่ 1 ตามลำดับ คูณด้วย 2; จากองค์ประกอบของบรรทัดที่ 3 เราลบองค์ประกอบของบรรทัดที่ 1 ตามลำดับคูณด้วย 4; จากองค์ประกอบของบรรทัดที่ 4 เราลบองค์ประกอบของบรรทัดที่ 1 ตามลำดับ
• ต่อไป เราจะทำงานกับเมทริกซ์ที่ถูกตัดทอน (ไม่มีคอลัมน์ 1 และไม่มีแถว 1) องค์ประกอบ "นำ" ใหม่ ซึ่งยืนอยู่ที่จุดตัดของคอลัมน์ที่สองและแถวที่สอง มีค่าเท่ากับ -1 ไม่จำเป็นต้องจัดเรียงบรรทัดใหม่ ดังนั้นเราจึงเขียนคอลัมน์แรกและแถวแรกและแถวที่สองใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง มาดำเนินการลบกันเพื่อให้ได้ค่าศูนย์ในคอลัมน์ที่สองภายใต้องค์ประกอบ "นำหน้า": จากองค์ประกอบของบรรทัดที่สามเราลบองค์ประกอบของบรรทัดที่สองตามลำดับคูณด้วย 3; ลบองค์ประกอบของบรรทัดที่สองคูณด้วย 2 จากองค์ประกอบของบรรทัดที่สี่
• ยังคงเปลี่ยนบรรทัดสุดท้าย จากองค์ประกอบเราลบองค์ประกอบของแถวที่สามอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์แบบก้าว

การลดเมทริกซ์เป็นรูปแบบขั้นตอนใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (SLE) โดยวิธีเกาส์ ก่อนดูวิธีนี้ เรามาทำความเข้าใจคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องกับ SLN กันก่อน

เมทริกซ์และระบบสมการเชิงเส้น

เมทริกซ์ใช้ในศาสตร์ต่างๆ คุณสามารถใช้ตารางตัวเลข เช่น แก้สมการเชิงเส้นที่รวมกันเป็นระบบโดยใช้วิธีเกาส์ ขั้นแรก มาทำความคุ้นเคยกับคำศัพท์สองสามคำและคำจำกัดความของคำศัพท์ แล้วดูวิธีการสร้างเมทริกซ์จากระบบที่รวมสมการเชิงเส้นหลาย ๆ อันเข้าด้วยกัน

SLU – สมการพีชคณิตรวมหลายสมการที่ไม่ทราบเลขยกกำลังแรกและไม่มีเงื่อนไขผลิตภัณฑ์

SLE solution – พบค่าของสิ่งที่ไม่รู้จัก แทนที่สมการในระบบจะกลายเป็นเอกลักษณ์

SLE ร่วมกันคือระบบสมการที่มีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำ

SLE ที่ไม่สอดคล้องกันคือระบบสมการที่ไม่มีคำตอบ

เมทริกซ์เกิดขึ้นจากระบบที่รวมสมการเชิงเส้นได้อย่างไร มีแนวคิดเช่นเมทริกซ์หลักและขยายของระบบ เพื่อให้ได้เมทริกซ์หลักของระบบ จำเป็นต้องใส่ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดสำหรับค่านิรนามลงในตาราง เมทริกซ์แบบขยายได้มาจากการเพิ่มคอลัมน์คำศัพท์อิสระลงในเมทริกซ์หลัก (รวมถึงองค์ประกอบที่รู้จักซึ่งแต่ละสมการในระบบถูกเท่ากัน) คุณสามารถเข้าใจกระบวนการทั้งหมดนี้ได้โดยศึกษาจากภาพด้านล่าง

สิ่งแรกที่เราเห็นในภาพคือระบบที่มีสมการเชิงเส้น องค์ประกอบของมัน: a_ij – สัมประสิทธิ์ตัวเลข x_j – ค่าที่ไม่รู้จัก b_i – พจน์คงที่ (โดยที่ i=1, 2, …, m, และ j=1, 2, …, n) องค์ประกอบที่สองในภาพคือเมทริกซ์หลักของสัมประสิทธิ์ จากสมการแต่ละสมการ สัมประสิทธิ์จะเขียนเรียงกันเป็นแถว เป็นผลให้มีแถวในเมทริกซ์มากเท่ากับที่มีสมการในระบบ จำนวนคอลัมน์เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์จำนวนมากที่สุดในสมการใดๆ องค์ประกอบที่สามในภาพคือเมทริกซ์เสริมที่มีคอลัมน์คำศัพท์อิสระ

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับวิธีการเกาส์

ในพีชคณิตเชิงเส้น วิธีเกาส์เป็นวิธีคลาสสิกในการแก้ SLE มีชื่อเรียกว่าคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 18-19 นี่คือหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล สาระสำคัญของวิธีเกาส์คือการแปลงเบื้องต้นในระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ด้วยความช่วยเหลือของการแปลง SLE จะลดลงเป็นระบบที่เทียบเท่ากับรูปแบบสามเหลี่ยม (ขั้นบันได) ซึ่งสามารถหาตัวแปรทั้งหมดได้

เป็นที่น่าสังเกตว่า Carl Friedrich Gauss ไม่ได้เป็นผู้ค้นพบวิธีการดั้งเดิมในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการนี้ถูกคิดค้นขึ้นก่อนหน้านี้มาก คำอธิบายแรกพบในสารานุกรมความรู้ของนักคณิตศาสตร์จีนโบราณที่เรียกว่า "คณิตศาสตร์ในหนังสือ 9 เล่ม"

ตัวอย่างการแก้ปัญหา SLE โดยวิธีเกาส์

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของระบบด้วยวิธีเกาส์ในตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง เราจะทำงานกับ SLU ที่แสดงในภาพ

อัลกอริทึมการแก้:

1. เราจะลดระบบให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอนโดยการย้ายวิธีเกาส์โดยตรง แต่ก่อนอื่นเราจะเขียนเมทริกซ์ขยายของสัมประสิทธิ์ตัวเลขและสมาชิกอิสระ
2. ในการแก้เมทริกซ์โดยใช้วิธีเกาส์เซียน (เช่น นำไปอยู่ในรูปแบบขั้นบันได) จากองค์ประกอบของแถวที่สองและแถวที่สาม เราจะลบองค์ประกอบของแถวแรกตามลำดับ เราได้ศูนย์ในคอลัมน์แรกภายใต้องค์ประกอบ "นำหน้า" ต่อไปเราจะเปลี่ยนบรรทัดที่สองและสามในสถานที่เพื่อความสะดวก ในองค์ประกอบของแถวสุดท้าย ให้เพิ่มองค์ประกอบของแถวที่สองตามลำดับ คูณด้วย 3.
3. จากการคำนวณเมทริกซ์โดยวิธีเกาส์ เราได้อาร์เรย์ขององค์ประกอบแบบขั้นบันได จากนั้นเราจะสร้างระบบสมการเชิงเส้นใหม่ โดยวิธีย้อนกลับของวิธีเกาส์ เราจะพบค่าของคำที่ไม่รู้จัก จากสมการเชิงเส้นสุดท้ายที่ x₃ เท่ากับ 1 เราแทนที่ค่านี้ลงในบรรทัดที่สองของระบบ คุณจะได้สมการ x₂ – 4=–4 ตามด้วย x₂ เท่ากับ 0 แทนที่ x₂ และ x₃ ลงในสมการแรกของระบบ: x1 _{+ 0 +3=2 คำที่ไม่รู้จักคือ -1.}

เฉลย: ใช้เมทริกซ์ วิธีเกาส์เซียน เราพบค่าของนิรนาม x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

วิธีเกาส์-จอร์แดน

ในพีชคณิตเชิงเส้น ยังมีวิธีแบบเกาส์-จอร์แดนด้วย ถือเป็นการปรับเปลี่ยนวิธีเกาส์เซียนและใช้ในการหาเมทริกซ์ผกผัน คำนวณเงื่อนไขที่ไม่รู้จักของระบบกำลังสองของสมการเชิงเส้นเกี่ยวกับพีชคณิต วิธี Gauss-Jordan นั้นสะดวกเพราะช่วยให้แก้ SLE ได้ในขั้นตอนเดียว (โดยไม่ต้องใช้ direct และ inverseเคลื่อนไหว)

มาเริ่มกันที่คำว่า "เมทริกซ์ผกผัน" สมมติว่าเรามีเมทริกซ์ A ส่วนผกผันของมันคือเมทริกซ์ A^-1 ในขณะที่เงื่อนไขจำเป็นต้องเป็นไปตามนั้น: A × A^-1=A -1 ^{× A=E นั่นคือผลคูณของเมทริกซ์เหล่านี้เท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ (องค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์เอกลักษณ์คือองค์ประกอบและองค์ประกอบที่เหลือเป็นศูนย์).}

ความแตกต่างที่สำคัญ: ในพีชคณิตเชิงเส้นมีทฤษฎีบทหนึ่งเกี่ยวกับการมีอยู่ของเมทริกซ์ผกผัน เงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นสำหรับการมีอยู่ของเมทริกซ์ A^-1 คือเมทริกซ์ A ไม่เป็นเอกพจน์

ขั้นตอนพื้นฐานที่ใช้วิธีการเกาส์-จอร์แดน:

1. ดูแถวแรกของเมทริกซ์เฉพาะ วิธี Gauss-Jordan สามารถเริ่มต้นได้หากค่าแรกไม่เท่ากับศูนย์ หากตำแหน่งแรกเป็น 0 ให้สลับแถวเพื่อให้องค์ประกอบแรกมีค่าที่ไม่เป็นศูนย์ (ควรให้ตัวเลขนั้นใกล้กว่าหนึ่ง)
2. หารองค์ประกอบทั้งหมดของแถวแรกด้วยตัวเลขแรก คุณจะจบลงด้วยสตริงที่ขึ้นต้นด้วยหนึ่ง
3. จากบรรทัดที่สอง ลบบรรทัดแรกคูณด้วยองค์ประกอบแรกของบรรทัดที่สอง นั่นคือ ในที่สุดคุณจะได้บรรทัดที่เริ่มจากศูนย์ ทำเช่นเดียวกันกับบรรทัดที่เหลือ แบ่งแต่ละบรรทัดด้วยองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์แรกเพื่อให้ได้ 1 ในแนวทแยง
4. ดังนั้น คุณจะได้เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนโดยใช้วิธีเกาส์ - จอร์แดน ในนั้นเส้นทแยงมุมหลักจะแสดงด้วยหน่วย มุมด้านล่างเต็มไปด้วยศูนย์และมุมบน - ค่าต่างๆ
5. จากบรรทัดสุดท้าย ลบบรรทัดสุดท้ายคูณด้วยสัมประสิทธิ์ที่ต้องการ คุณควรได้สตริงที่มีศูนย์และหนึ่ง สำหรับบรรทัดที่เหลือ ให้ทำซ้ำขั้นตอนเดิม หลังจากการแปลงทั้งหมด จะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์

ตัวอย่างการหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธีเกาส์-จอร์แดน

ในการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน คุณต้องเขียนเมทริกซ์เสริม A|E และทำการแปลงที่จำเป็น ลองพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ รูปด้านล่างแสดงเมทริกซ์ A

วิธีแก้ไข:

1. อันดับแรก หาดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์โดยใช้วิธีเกาส์เซียน (det A) หากพารามิเตอร์นี้ไม่เท่ากับศูนย์ เมทริกซ์จะถือว่าไม่มีเอกพจน์ นี่จะทำให้เราสรุปได้ว่า A มี A^-1 อย่างแน่นอน ในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ เราแปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบขั้นตอนโดยการแปลงเบื้องต้น ลองนับจำนวน K เท่ากับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนแถว เราเปลี่ยนสายเพียง 1 ครั้ง ลองคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ ค่าของมันจะเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก คูณด้วย (–1)^K ผลการคำนวณ: det A=2.
2. เขียนเมทริกซ์เสริมโดยเพิ่มเมทริกซ์เอกลักษณ์ให้กับเมทริกซ์ดั้งเดิม อาร์เรย์ผลลัพธ์ขององค์ประกอบจะถูกใช้เพื่อค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยวิธีเกาส์-จอร์แดน
3. องค์ประกอบแรกในแถวแรกมีค่าเท่ากับหนึ่ง นี่เหมาะกับเราเพราะไม่จำเป็นต้องจัดเรียงเส้นใหม่และหารเส้นที่กำหนดด้วยจำนวนหนึ่ง เริ่มทำงานกันเลยด้วยบรรทัดที่สองและสาม ในการเปลี่ยนองค์ประกอบแรกในแถวที่สองเป็น 0 ให้ลบแถวแรกคูณด้วย 3 จากแถวที่สอง ลบแถวแรกออกจากแถวที่สาม (ไม่ต้องคูณ)
4. ในเมทริกซ์ผลลัพธ์ องค์ประกอบที่สองของแถวที่สองคือ -4 และองค์ประกอบที่สองของแถวที่สามคือ -1 มาสลับบรรทัดกันเพื่อความสะดวก จากแถวที่สามลบแถวที่สองคูณด้วย 4 หารแถวที่สองด้วย -1 และแถวที่สามด้วย 2 เราได้เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน
5. ลองลบบรรทัดสุดท้ายคูณ 4 จากบรรทัดที่สองและบรรทัดสุดท้ายคูณด้วย 5 จากบรรทัดแรก จากนั้นลบบรรทัดที่สองคูณด้วย 2 จากบรรทัดแรก ทางด้านซ้าย เราได้ เมทริกซ์เอกลักษณ์ ทางด้านขวาคือเมทริกซ์ผกผัน

ตัวอย่างการแก้ปัญหา SLE โดยวิธีเกาส์-จอร์แดน

รูปแสดงระบบสมการเชิงเส้น จำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้เมทริกซ์ วิธีเกาส์-จอร์แดน

วิธีแก้ไข:

1. มาสร้างเมทริกซ์เสริมกันเถอะ ในการทำเช่นนี้ เราจะใส่ค่าสัมประสิทธิ์และพจน์อิสระในตาราง
2. แก้เมทริกซ์ด้วยวิธีเกาส์-จอร์แดน จากบรรทัดที่ 2 เราลบบรรทัดที่ 1 จากบรรทัดที่ 3 เราลบบรรทัดที่ 1 ก่อนหน้านี้คูณด้วย 2.
3. สลับแถวที่ 2 และ 3
4. จากบรรทัด 3 ลบบรรทัด 2 คูณ 2 หารบรรทัดที่สามที่เป็นผลลัพธ์ด้วย –1.
5. ลบบรรทัดที่ 3 จากบรรทัดที่ 2
6. ลบบรรทัด 1 จากบรรทัด 12 ครั้ง -1 ด้านข้าง เราได้คอลัมน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข 0, 1 และ -1 จากนี้ เราสรุปได้ว่า x₁=0, x₂=1 และ x₃ =–1.

หากต้องการ คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบได้โดยแทนที่ค่าที่คำนวณแล้วลงในสมการ:

• 0 – 1=–1 ข้อมูลประจำตัวแรกจากระบบถูกต้อง
• 0 + 1 + (–1)=0 ข้อมูลประจำตัวที่สองจากระบบถูกต้อง
• 0 – 1 + (–1)=–2 ข้อมูลประจำตัวที่สามจากระบบถูกต้อง

บทสรุป: การใช้วิธีเกาส์-จอร์แดน เราพบวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องสำหรับระบบกำลังสองที่รวมสมการพีชคณิตเชิงเส้นเข้าไว้ด้วยกัน

เครื่องคิดเลขออนไลน์

ชีวิตของเยาวชนในปัจจุบันที่เรียนในมหาวิทยาลัยและเรียนพีชคณิตเชิงเส้นนั้นเรียบง่ายมาก เมื่อสองสามปีก่อน เราต้องหาวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยใช้วิธีเกาส์และเกาส์-จอร์แดนด้วยตัวเราเอง นักเรียนบางคนจัดการกับงานได้สำเร็จ ในขณะที่คนอื่นๆ สับสนในการแก้ปัญหา ทำผิดพลาด ขอความช่วยเหลือจากเพื่อนร่วมชั้น วันนี้ คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ในการทำการบ้านได้ ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ให้ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน มีการเขียนโปรแกรมที่แสดงให้เห็นไม่เพียงแต่คำตอบที่ถูกต้อง แต่ยังแสดงความคืบหน้าในการแก้ปัญหาเฉพาะด้วย

มีแหล่งข้อมูลมากมายบนอินเทอร์เน็ตพร้อมเครื่องคิดเลขออนไลน์ในตัว เมทริกซ์เกาส์เซียน ระบบสมการจะแก้ได้ด้วยโปรแกรมเหล่านี้ในไม่กี่วินาที นักเรียนจะต้องระบุพารามิเตอร์ที่จำเป็นเท่านั้น (เช่น จำนวนสมการจำนวนตัวแปร).