ด้วยการแบ่งคณิตศาสตร์ออกเป็นพีชคณิตและเรขาคณิต สื่อการเรียนรู้จะกลายเป็นเรื่องยากขึ้น ตัวเลขใหม่และกรณีพิเศษปรากฏขึ้น เพื่อให้เข้าใจเนื้อหาได้ดี จำเป็นต้องศึกษาแนวคิด คุณสมบัติของวัตถุ และทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง
แนวคิดทั่วไป
รูปสี่เหลี่ยมหมายถึงรูปทรงเรขาคณิต ประกอบด้วย 4 จุด ยิ่งกว่านั้น 3 ในนั้นไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มีส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่ระบุในชุด
รูปสี่เหลี่ยมทั้งหมดที่เรียนในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนแสดงในแผนภาพต่อไปนี้ สรุป: วัตถุใด ๆ จากรูปที่นำเสนอมีคุณสมบัติของรูปก่อนหน้า
รูปสี่เหลี่ยมสามารถเป็นประเภทต่อไปนี้:
- สี่เหลี่ยมด้านขนาน. ความขนานของด้านตรงข้ามได้รับการพิสูจน์โดยทฤษฎีบทที่สอดคล้องกัน
- ห้อยโหน. รูปสี่เหลี่ยมที่มีฐานขนานกัน อีกสองฝ่ายไม่ใช่
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า. รูปที่มีทั้ง 4 มุม=90º.
- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน. ตัวเลขที่มีทุกด้านเท่ากัน
- สแควร์. รวมคุณสมบัติของสองตัวเลขสุดท้าย มันมีทุกด้านเท่ากันและทุกมุมก็ถูก
คำจำกัดความหลักของหัวข้อนี้คือรูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลม ประกอบด้วยดังต่อไปนี้ นี่คือรูปที่มีวงกลมอธิบายไว้ ต้องผ่านจุดยอดทั้งหมด มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมรวมกันได้ 360º
ไม่สามารถจารึกได้ทุกรูปสี่เหลี่ยม ทั้งนี้เพราะว่าเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านทั้ง 4 อาจไม่ตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งจะทำให้ไม่สามารถหาจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ 4 เหลี่ยมได้
กรณีพิเศษ
มีข้อยกเว้นสำหรับทุกกฎ ดังนั้นในหัวข้อนี้ยังมีกรณีพิเศษ:
- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเช่นนี้ไม่สามารถจารึกเป็นวงกลมได้ เฉพาะกรณีพิเศษของเขาเท่านั้น มันคือสี่เหลี่ยม
- ถ้าจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งหมดอยู่บนเส้นล้อมรอบ มันจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส
- จุดยอดทั้งหมดของสี่เหลี่ยมคางหมูอยู่บนขอบเขตของวงกลม ในกรณีนี้ พวกเขาพูดถึงร่างหน้าจั่ว
คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ในวงกลม
ก่อนที่จะแก้ปัญหาที่ง่ายและซับซ้อนในหัวข้อที่กำหนด คุณต้องตรวจสอบความรู้ของคุณเสียก่อน หากไม่มีการศึกษาสื่อการสอน ก็ไม่สามารถแก้ปัญหาตัวอย่างเดียวได้
ทฤษฎีบท 1
ผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมคือ 180º
หลักฐาน
ให้: รูปสี่เหลี่ยม ABCD ถูกจารึกไว้ในวงกลม จุดศูนย์กลางคือจุด O เราต้องพิสูจน์ว่า <A + <C=180º และ < B + <D=180º.
ต้องพิจารณาตัวเลขที่นำเสนอ
- <A ถูกจารึกไว้ในวงกลมตรงกลางที่จุด O ซึ่งวัดจาก ½ BCD (ครึ่งอาร์ค)
- <C ถูกจารึกไว้ในวงกลมเดียวกัน วัดจาก ½ BAD (ครึ่งอาร์ค)
- BAD และ BCD ก่อตัวเป็นวงกลม นั่นคือ ขนาดของพวกมันคือ360º
- <A + <C เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของครึ่งโค้งที่แสดง
- ดังนั้น <A + <C=360º / 2=180º.
ในทำนองเดียวกัน หลักฐานของ <B และ <D อย่างไรก็ตาม มีวิธีแก้ไขปัญหาที่สอง
- เป็นที่ทราบกันดีว่าผลรวมของมุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 360º
- เพราะ <A + <C=180º. ดังนั้น <B + <D=360º – 180º=180º
ทฤษฎีบท 2
(มักเรียกว่าผกผัน) หากเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส <A + <C=180º และ <B + <D=180º (หากอยู่ตรงข้าม) จากนั้นวงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ ตัวเลขดังกล่าว
หลักฐาน
ผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยม ABCD เท่ากับ 180º <A + <C=180º, <B +<D=180º. เราต้องพิสูจน์ว่าวงกลมสามารถล้อมรอบ ABCD ได้
จากหลักสูตรเรขาคณิต เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าสามารถวาดวงกลมผ่านจุด 3 จุดของรูปสี่เหลี่ยม ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้จุด A, B, C จุด D จะอยู่ที่ใด? มีการเดา 3 แบบ:
- เธอเข้าไปอยู่ในวงกลม ในกรณีนี้ D จะไม่แตะเส้น
- นอกวงกลม. เธอก้าวไปไกลกว่าเส้นโครงร่าง
- กลายเป็นวงกลม
ควรถือว่า D อยู่ในวงกลม ตำแหน่งของจุดยอดที่ระบุนั้นถูกครอบครองโดย D´ มันกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยม ABCD´.
ผลลัพธ์คือ:<B + <D´=2d.
ถ้าเราต่อ AD´ จนถึงทางแยกที่มีวงกลมอยู่ตรงกลางที่จุด E และเชื่อมต่อ E กับ C เราจะได้ ABCE สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ จากทฤษฎีบทแรกเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน:
ตามกฎของเรขาคณิต นิพจน์ไม่ถูกต้องเพราะ <D´ คือมุมด้านนอกของสามเหลี่ยม CD´E ดังนั้นควรมากกว่า <E จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่า D จะต้องอยู่บนวงกลมหรือนอกวงกลม
ในทำนองเดียวกัน สมมติฐานที่สามสามารถพิสูจน์ได้ว่าผิดเมื่อ D´´ ก้าวข้ามขอบเขตของตัวเลขที่อธิบายไว้
จากสมมติฐานสองข้อคือข้อเดียวที่ถูกต้อง จุดยอด D อยู่บนเส้นวงกลม กล่าวอีกนัยหนึ่ง D เกิดขึ้นพร้อมกับ E ตามมาด้วยว่าจุดทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมจะอยู่ในบรรทัดที่อธิบายไว้
จากพวกนี้สองทฤษฎีบท ผลสืบเนื่องตามมา:
รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอะไรก็ได้ที่เขียนเป็นวงกลมได้ มีผลอีกอย่างหนึ่ง วงกลมสามารถล้อมรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้าใดๆ
สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีสะโพกเท่ากันสามารถจารึกเป็นวงกลมได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังดูเหมือน: วงกลมสามารถอธิบายได้รอบสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีขอบเท่ากัน
หลายตัวอย่าง
ปัญหาที่ 1 รูปสี่เหลี่ยม ABCD ถูกจารึกไว้ในวงกลม <ABC=105º, <CAD=35º. ต้องหาให้เจอ <ABD. คำตอบจะต้องเขียนเป็นองศา
ตัดสินใจ. ในตอนแรกอาจดูเหมือนยากที่จะหาคำตอบ
1. คุณต้องจำคุณสมบัติจากหัวข้อนี้ กล่าวคือ ผลรวมของมุมตรงข้าม=180º.
<ADC=180º – <ABC=180º – 105º=75º
ในทางเรขาคณิต ดีกว่าที่จะยึดหลักการ: ค้นหาทุกสิ่งที่ทำได้ มีประโยชน์ในภายหลัง
2. ขั้นตอนต่อไป: ใช้ทฤษฎีบทผลรวมสามเหลี่ยม
<ACD=180º – <CAD – <ADC=180º – 35º – 75º=70º
<ABD และ <ACD ถูกจารึกไว้ ตามเงื่อนไขพวกเขาพึ่งพาส่วนโค้งเดียว ดังนั้นจึงมีค่าเท่ากัน:
<ABD=<ACD=70º
คำตอบ: <ABD=70º.
ปัญหาที่ 2 BCDE เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลม <B=69º, <C=84º. จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุด E ค้นหา - <E.
การตัดสินใจ
- จำเป็นต้องหา <E โดยทฤษฎีบท 1.
<E=180º – <C=180º – 84º=96º
คำตอบ: < E=96º.
ปัญหาที่ 3. ให้รูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลม ข้อมูลแสดงในรูป จำเป็นต้องค้นหาค่าที่ไม่รู้จัก x, y, z.
วิธีแก้ไข:
z=180º – 93º=87º (ตามทฤษฎีบท 1)
x=½(58º + 106º)=82º
y=180º – 82º=98º (ตามทฤษฎีบท 1)
คำตอบ: z=87º, x=82º, y=98º.
ปัญหาที่ 4 มีรูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลม ค่าจะแสดงในรูป ค้นหา x, y.
วิธีแก้ไข:
x=180º – 80º=100º
y=180º – 71º=109º
คำตอบ: x=100º, y=109º.
ปัญหาในการแก้ปัญหาอย่างอิสระ
ตัวอย่าง 1. ให้วงกลม จุดศูนย์กลางของมันคือจุด O AC และ BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง <ACB=38º. ต้องหาให้เจอ <AOD. ต้องให้คำตอบเป็นองศา
ตัวอย่างที่ 2 ให้รูปสี่เหลี่ยม ABCD และมีวงกลมล้อมรอบ <ABC=110º, <ABD=70º. ค้นหา <CAD เขียนคำตอบเป็นองศา
ตัวอย่างที่ 3 ให้วงกลมและรูปสี่เหลี่ยม ABCD ที่จารึกไว้ มุมทั้งสองของมันคือ82ºและ58º คุณต้องหามุมที่ใหญ่ที่สุดและเขียนคำตอบเป็นองศา
ตัวอย่างที่ 4 ให้ ABCD รูปสี่เหลี่ยม มุม A, B, C กำหนดไว้ในอัตราส่วน 1:2:3 จำเป็นต้องหามุม D ถ้ารูปสี่เหลี่ยมที่ระบุสามารถจารึกไว้ในวงกลมได้ ต้องให้คำตอบเป็นองศา
ตัวอย่าง 5. ให้ ABCD รูปสี่เหลี่ยม ด้านข้างสร้างส่วนโค้งของวงกลมที่ล้อมรอบ ค่าดีกรี AB, BC, CD และ AD ตามลำดับ ได้แก่ 78˚, 107˚, 39˚, 136˚ คุณควรหา <จากสี่เหลี่ยมที่กำหนดและเขียนคำตอบเป็นองศา