Leonhard Euler (1707-1783) - นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสและรัสเซียที่มีชื่อเสียง สมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ใช้ชีวิตส่วนใหญ่ในรัสเซีย ที่มีชื่อเสียงที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ สถิติ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และตรรกะคือวงกลมออยเลอร์ (แผนภาพออยเลอร์-เวนน์) ใช้เพื่อระบุขอบเขตของแนวคิดและชุดขององค์ประกอบ
John Venn (1834-1923) - นักปรัชญาและนักตรรกวิทยาชาวอังกฤษ ผู้เขียนร่วมของแผนภาพออยเลอร์-เวนน์
แนวคิดที่เข้ากันได้และเข้ากันไม่ได้
ภายใต้แนวคิดในตรรกะหมายถึงรูปแบบการคิดที่สะท้อนคุณสมบัติที่สำคัญของคลาสของวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกัน พวกมันเขียนแทนด้วยคำหนึ่งหรือกลุ่ม: "แผนที่โลก", "คอร์ดที่ห้าและเจ็ดที่โดดเด่น", "วันจันทร์" ฯลฯ
ในกรณีที่องค์ประกอบของขอบเขตของแนวคิดหนึ่งทั้งหมดหรือบางส่วนอยู่ในขอบเขตของอีกแนวคิดหนึ่ง บุคคลหนึ่งพูดถึงแนวคิดที่เข้ากันได้ อย่างไรก็ตาม หากองค์ประกอบใดของขอบเขตของแนวคิดหนึ่งไม่อยู่ในขอบเขตของแนวคิดอื่น เราก็มีแนวคิดที่เข้ากันไม่ได้
ในทางกลับกัน แนวคิดแต่ละประเภทก็มีชุดความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ของตัวเอง สำหรับแนวคิดที่เข้ากันได้ สิ่งเหล่านี้คือ:
- เอกลักษณ์ (เทียบเท่า) ของปริมาณ;
- ข้าม (การแข่งขันบางส่วน)ปริมาณ;
- อยู่ใต้บังคับบัญชา (อยู่ใต้บังคับบัญชา).
สำหรับเข้ากันไม่ได้:
- ลูกน้อง (ประสานงาน);
- ตรงกันข้าม (ตรงกันข้าม);
- ขัดแย้ง (ขัดแย้ง).
ตามแผนผัง ความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดในตรรกะมักจะแสดงโดยใช้วงกลมออยเลอร์-เวนน์
ความสัมพันธ์เทียบเท่า
ในกรณีนี้ แนวคิดหมายถึงเรื่องเดียวกัน ดังนั้น ปริมาณของแนวคิดเหล่านี้จึงเหมือนกันหมด ตัวอย่างเช่น:
A - ซิกมันด์ ฟรอยด์;
B เป็นผู้ก่อตั้งจิตวิเคราะห์
หรือ:
A เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส;
B คือสี่เหลี่ยมด้านเท่า;
C เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
ใช้วงกลมออยเลอร์ร่วมกันอย่างสมบรูณ์แบบ
ทางแยก (การแข่งขันบางส่วน)
หมวดนี้รวมแนวคิดที่มีองค์ประกอบทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับการข้าม นั่นคือปริมาณของแนวคิดส่วนหนึ่งรวมอยู่ในปริมาณของอีกแนวคิดหนึ่ง:
A - ครู;
B เป็นคนรักดนตรี
ดังที่เห็นจากตัวอย่างนี้ ปริมาณของแนวคิดบางส่วนเกิดขึ้นพร้อมกัน: ครูบางกลุ่มอาจกลายเป็นคนรักดนตรี และในทางกลับกัน อาจมีตัวแทนของอาชีพการสอนในหมู่คนรักดนตรี ทัศนคติที่คล้ายกันจะเกิดขึ้นในกรณีที่แนวคิด A เช่น "พลเมือง" และ B เป็น "คนขับ"
ลูกน้อง (ลูกน้อง)
แสดงเป็นวงกลมออยเลอร์ที่มีมาตราส่วนต่างกัน ความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดในกรณีนี้มีลักษณะเฉพาะจากข้อเท็จจริงที่ว่าแนวคิดรอง (มีปริมาณน้อยกว่า) รวมอยู่ในผู้ใต้บังคับบัญชาอย่างสมบูรณ์ ในเวลาเดียวกัน แนวคิดรองไม่ได้ทำให้ผู้ใต้บังคับบัญชาหมดสิ้นอย่างสมบูรณ์
ตัวอย่าง:
A - ต้นไม้;
B - สน
แนวคิด B จะอยู่ภายใต้แนวคิด A เนื่องจากต้นสนเป็นต้นไม้ แนวคิด A ในตัวอย่างนี้จึงกลายเป็นผู้ใต้บังคับบัญชา "ดูดซับ" ขอบเขตของแนวคิด B
ประสานงาน (ประสานงาน)
Relation แสดงถึงแนวคิดตั้งแต่สองแนวคิดขึ้นไปที่ไม่รวมกันและกัน แต่อยู่ในแวดวงทั่วไปบางกลุ่ม ตัวอย่างเช่น:
A – คลาริเน็ต;
B - กีตาร์;
C - ไวโอลิน;
D เป็นเครื่องดนตรี
แนวคิด A B C ไม่ได้ตัดกัน แต่ทั้งหมดอยู่ในหมวดเครื่องดนตรี (แนวคิด D)
ตรงข้าม (ตรงกันข้าม)
ความสัมพันธ์ตรงข้ามระหว่างแนวคิดบ่งบอกว่าแนวคิดเหล่านี้อยู่ในสกุลเดียวกัน ในเวลาเดียวกัน แนวคิดหนึ่งมีคุณสมบัติ (คุณลักษณะ) บางอย่าง ในขณะที่แนวคิดอื่นปฏิเสธ โดยแทนที่ด้วยแนวคิดที่ตรงกันข้ามโดยธรรมชาติ ดังนั้นเราจึงจัดการกับคำตรงข้าม ตัวอย่างเช่น:
A เป็นดาวแคระ;
B คือยักษ์
วงกลมออยเลอร์ที่มีความสัมพันธ์ตรงข้ามกันระหว่างแนวคิดแบ่งออกเป็นสามส่วน โดยส่วนแรกสอดคล้องกับแนวคิด A ส่วนที่สองรองจากแนวคิด B และส่วนที่สามสำหรับแนวคิดที่เป็นไปได้อื่นๆ
ขัดแย้ง (ขัดแย้ง)
ในกรณีนี้ แนวคิดทั้งสองเป็นสปีชีส์ในสกุลเดียวกัน ในตัวอย่างที่แล้ว แนวคิดหนึ่งระบุคุณสมบัติบางอย่าง (คุณสมบัติ) ในขณะที่อีกแนวคิดหนึ่งปฏิเสธ อย่างไรก็ตาม ตรงกันข้ามกับความสัมพันธ์ของสิ่งที่ตรงกันข้าม แนวคิดที่สองที่ตรงกันข้ามไม่ได้แทนที่คุณสมบัติที่ถูกปฏิเสธด้วยคุณสมบัติทางเลือกอื่น ตัวอย่างเช่น:
A เป็นงานที่ยาก;
B เป็นเรื่องง่าย (ไม่ใช่-A)
แสดงปริมาณของแนวคิดประเภทนี้ วงกลมออยเลอร์แบ่งออกเป็นสองส่วน - ลิงก์ที่สาม ตรงกลางในกรณีนี้ไม่มีอยู่ ดังนั้นแนวคิดจึงเป็นคำตรงกันข้าม ในเวลาเดียวกัน หนึ่งในนั้น (A) กลายเป็นค่าบวก (ยืนยันคุณสมบัติบางอย่าง) และข้อที่สอง (B หรือไม่ใช่ A) จะกลายเป็นค่าลบ (ปฏิเสธคุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง): "กระดาษขาว" - "ไม่ใช่กระดาษขาว", " ประวัติศาสตร์ชาติ” – “ประวัติศาสตร์ต่างประเทศ” เป็นต้น
ดังนั้น อัตราส่วนของปริมาณแนวคิดที่สัมพันธ์กันเป็นคุณลักษณะสำคัญที่กำหนดวงกลมออยเลอร์
ความสัมพันธ์ระหว่างเซต
จำเป็นต้องแยกความแตกต่างระหว่างแนวคิดขององค์ประกอบและชุด ซึ่งปริมาณที่แสดงโดยวงกลมออยเลอร์ แนวคิดของเซตนั้นยืมมาจากวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์และมีความหมายที่ค่อนข้างกว้าง ตัวอย่างในตรรกะและคณิตศาสตร์แสดงเป็นชุดของวัตถุบางชุด วัตถุเองคือองค์ประกอบของชุดนี้ "หลายคนคิดมากเป็นหนึ่งเดียว" (Georg Kantor ผู้ก่อตั้งทฤษฎีเซต)
ชุดถูกกำหนดด้วยตัวพิมพ์ใหญ่: A, B, C, D… ฯลฯ องค์ประกอบของชุดถูกกำหนดด้วยตัวพิมพ์เล็ก: a, b, c, d… เป็นต้น ตัวอย่างของชุดสามารถเป็นนักเรียนที่ อยู่ในห้องเรียนเดียวกัน หนังสือบนชั้นบางชั้น (หรือหนังสือทุกเล่มในห้องสมุดบางแห่ง) หน้าในไดอารี่ เบอร์รี่ในป่าดงดิบ เป็นต้น
ในทางกลับกัน หากชุดใดชุดหนึ่งไม่มีองค์ประกอบเดียว จะเรียกว่าว่างและเขียนแทนด้วยเครื่องหมาย Ø ตัวอย่างเช่น เซตของจุดตัดของเส้นคู่ขนาน เซตของคำตอบของสมการ x2=-5.
การแก้ปัญหา
วงกลมออยเลอร์ถูกใช้อย่างแข็งขันในการแก้ปัญหาจำนวนมาก ตัวอย่างในตรรกะแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงความเชื่อมโยงระหว่างการดำเนินการเชิงตรรกะและทฤษฎีเซต ในกรณีนี้ จะใช้ตารางความจริงของแนวคิด ตัวอย่างเช่น วงกลมที่มีป้ายกำกับ A แสดงถึงขอบเขตความจริง ดังนั้นพื้นที่นอกวงกลมจะแสดงเป็นเท็จ ในการกำหนดพื้นที่ของไดอะแกรมสำหรับการดำเนินการเชิงตรรกะ คุณควรแรเงาพื้นที่ที่กำหนดวงกลมออยเลอร์ ซึ่งค่าขององค์ประกอบ A และ B จะเป็นจริง
การใช้วงกลมออยเลอร์พบว่ามีการใช้งานจริงอย่างกว้างขวางในอุตสาหกรรมต่างๆ ตัวอย่างเช่นในสถานการณ์ที่มีทางเลือกอย่างมืออาชีพ หากอาสาสมัครกังวลเกี่ยวกับการเลือกอาชีพในอนาคต เขาสามารถได้รับคำแนะนำจากเกณฑ์ต่อไปนี้:
W – ฉันชอบทำอะไร
D – ฉันกำลังทำอะไร
ป– ฉันจะทำเงินได้ดีได้อย่างไร
ลองวาดนี่เป็นแผนภาพ: วงกลมออยเลอร์ (ตัวอย่างในตรรกะ - ความสัมพันธ์ทางแยก):
ผลลัพธ์จะเป็นอาชีพที่จะอยู่ตรงจุดตัดของทั้งสามวงกลม
วงกลมออยเลอร์-เวนน์ใช้พื้นที่แยกต่างหากในวิชาคณิตศาสตร์ (ทฤษฎีเซต) เมื่อคำนวณชุดค่าผสมและคุณสมบัติ วงกลมออยเลอร์ของชุดองค์ประกอบอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งแสดงถึงชุดสากล (U) คุณสามารถใช้ตัวเลขปิดอื่น ๆ แทนวงกลมได้ แต่สาระสำคัญของสิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง ตัวเลขตัดกันตามเงื่อนไขของปัญหา (ในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่) นอกจากนี้ ตัวเลขเหล่านี้ควรติดฉลากให้สอดคล้องกัน องค์ประกอบของเซตที่อยู่ในการพิจารณาสามารถเป็นจุดที่อยู่ในส่วนต่างๆ ของไดอะแกรม คุณสามารถแรเงาพื้นที่เฉพาะได้ จึงกำหนดชุดที่เพิ่งสร้างใหม่ได้
ด้วยเซตเหล่านี้ เป็นไปได้ที่จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน: การบวก (ผลรวมของชุดองค์ประกอบ), การลบ (ผลต่าง), การคูณ (ผลคูณ) นอกจากนี้ ด้วยไดอะแกรมออยเลอร์-เวนน์ คุณจึงสามารถเปรียบเทียบชุดตามจำนวนองค์ประกอบที่รวมอยู่ในชุดโดยไม่นับรวมได้
