คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่เป็นนามธรรมโดยพื้นฐานแล้ว หากเราเปลี่ยนจากแนวคิดพื้นฐาน ดังนั้นในแอปเปิ้ลสองสามผล คุณสามารถพรรณนาการดำเนินการพื้นฐานที่อยู่ภายใต้คณิตศาสตร์ด้วยสายตาได้ แต่ทันทีที่ระนาบของกิจกรรมขยายออก วัตถุเหล่านี้จะไม่เพียงพอ มีใครพยายามพรรณนาการดำเนินการในชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดบนแอปเปิ้ลหรือไม่? นั่นคือสิ่งที่ไม่มี ยิ่งซับซ้อนมากขึ้นเท่าไร ก็ยิ่งกลายเป็นแนวคิดที่คณิตศาสตร์ใช้ในการตัดสิน การแสดงออกทางภาพก็ดูเหมือนมีปัญหามากขึ้นเท่านั้น ซึ่งได้รับการออกแบบมาเพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น อย่างไรก็ตาม เพื่อความสุขของนักเรียนสมัยใหม่และวิทยาศาสตร์โดยทั่วไป วงออยเลอร์จึงได้มา ตัวอย่างและความเป็นไปได้ที่เราจะพิจารณาด้านล่าง
ประวัติศาสตร์เล็กน้อย
ในวันที่ 17 เมษายน ค.ศ. 1707 โลกได้มอบวิทยาศาสตร์ให้ Leonhard Euler นักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นซึ่งมีส่วนสนับสนุนในวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ การต่อเรือ และแม้แต่ทฤษฎีดนตรีที่ประเมินค่าสูงไปไม่ได้
ผลงานของเขาเป็นที่รู้จักและเป็นที่ต้องการของผู้คนทั่วโลกจนถึงทุกวันนี้ แม้ว่าวิทยาศาสตร์จะไม่หยุดนิ่งก็ตาม สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือความจริงที่ว่านายออยเลอร์มีส่วนร่วมโดยตรงในการก่อตัวของโรงเรียนคณิตศาสตร์ระดับสูงของรัสเซียโดยเฉพาะอย่างยิ่งตั้งแต่นั้นมาด้วยความประสงค์ของโชคชะตาเขากลับมาที่สถานะของเราสองครั้ง นักวิทยาศาสตร์มีความสามารถเฉพาะตัวในการสร้างอัลกอริธึมที่โปร่งใสในตรรกะ ตัดทุกอย่างที่ไม่จำเป็นออก และย้ายจากขั้นตอนทั่วไปไปสู่เฉพาะในเวลาที่สั้นที่สุด เราจะไม่แสดงรายการข้อดีทั้งหมดของเขาเนื่องจากจะใช้เวลานานและเราจะพูดถึงหัวข้อของบทความโดยตรง เขาเป็นคนที่แนะนำให้ใช้การแสดงภาพกราฟิกของการดำเนินการในชุด วงกลมออยเลอร์สามารถเห็นภาพวิธีแก้ปัญหาของปัญหาใดๆ ก็ตาม แม้แต่ปัญหาที่ซับซ้อนที่สุด
ประเด็นคืออะไร
ในทางปฏิบัติ วงกลมออยเลอร์ ซึ่งมีรูปแบบดังแสดงด้านล่าง สามารถใช้ได้ไม่เฉพาะในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น เนื่องจากแนวคิดของ "เซต" มีอยู่ในระเบียบวินัยนี้เท่านั้น ดังนั้นจึงนำไปใช้ในการจัดการได้สำเร็จ
แผนภาพด้านบนแสดงความสัมพันธ์ของเซต A (จำนวนอตรรกยะ), B (จำนวนตรรกยะ) และ C (จำนวนธรรมชาติ) วงกลมแสดงว่าชุด C รวมอยู่ในชุด B ในขณะที่ชุด A ไม่ตัดกับชุดดังกล่าวแต่อย่างใด ตัวอย่างนี้ง่ายที่สุด แต่อธิบายอย่างชัดเจนถึงความเฉพาะเจาะจงของ "ความสัมพันธ์ของเซต" ซึ่งเป็นนามธรรมเกินไปสำหรับการเปรียบเทียบจริง หากเพียงเพราะความไม่มีที่สิ้นสุด
พีชคณิตของตรรกะ
บริเวณนี้ตรรกะทางคณิตศาสตร์ทำงานกับข้อความสั่งที่สามารถเป็นได้ทั้งจริงและเท็จ ตัวอย่างเช่น จากระดับประถมศึกษา: เลข 625 หารด้วย 25 ลงตัว, เลข 625 หารด้วย 5 ลงตัว, เลข 625 เป็นจำนวนเฉพาะ ประโยคแรกและประโยคที่สองเป็นจริง ในขณะที่ประโยคสุดท้ายเป็นเท็จ แน่นอนว่าในทางปฏิบัติทุกอย่างซับซ้อนกว่า แต่สาระสำคัญนั้นแสดงให้เห็นอย่างชัดเจน และแน่นอน วงออยเลอร์เข้ามามีส่วนร่วมในการแก้ปัญหาอีกครั้ง ตัวอย่างที่มีการใช้งานสะดวกเกินไปและมองเห็นได้ชัดเจน
ทฤษฎีเล็กน้อย:
- ให้เซต A และ B มีอยู่และไม่ว่างเปล่า จากนั้นให้กำหนดการดำเนินการต่อไปนี้ของสี่แยก สหภาพและการปฏิเสธ
- จุดตัดของเซต A และ B ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นของทั้งเซต A และเซต B พร้อมกัน
- การรวมกันของชุด A และ B ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นของชุด A หรือชุด B.
- การปฏิเสธของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่ไม่อยู่ในเซต A
ทั้งหมดนี้ถูกอธิบายอีกครั้งโดยวงกลมออยเลอร์ในเชิงตรรกะ เนื่องจากแต่ละงานจะมองเห็นได้ชัดเจน โดยไม่คำนึงถึงระดับความซับซ้อน
สัจพจน์ของพีชคณิตของตรรกะ
สมมติว่ามี 1 และ 0 และถูกกำหนดในชุด A จากนั้น:
- การปฏิเสธของเซต A ถูกตั้งค่า A;
- ยูเนียนของเซต A กับ not_A คือ 1;
- ยูเนียนของเซต A กับ 1 คือ 1;
- ยูเนียนของเซต A กับตัวมันเองคือเซต A;
- ยูเนี่ยนของเซต Aกับ 0 มีเซต A;
- ทางแยกของเซต A กับ not_A คือ 0;
- จุดตัดของเซต A กับตัวมันเองคือ เซต A;
- ทางแยกของเซต A กับ 0 คือ 0;
- ทางแยกของเซต A กับ 1 คือเซต A
คุณสมบัติพื้นฐานของพีชคณิตของตรรกะ
ให้ชุด A และ B มีอยู่และไม่ว่างเปล่า จากนั้น:
- สำหรับทางแยกและชุดรวมของเซต A และ B จะใช้กฎการสับเปลี่ยน
- กฎการรวมกันใช้กับทางแยกและการรวมชุด A และ B;
- กฎหมายการจำหน่ายใช้กับทางแยกและการรวมชุด A และ B;
- การปฏิเสธของจุดตัดของเซต A และ B คือจุดตัดของการปฏิเสธของเซต A และ B;
- การปฏิเสธของชุด A และ B คือการรวมกันของการปฏิเสธของชุด A และ B
ต่อไปนี้แสดงวงกลมออยเลอร์ ตัวอย่างทางแยกและการรวมเซต A, B และ C
อนาคต
ผลงานของ Leonhard ออยเลอร์ได้รับการพิจารณาอย่างสมเหตุสมผลว่าเป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แต่ตอนนี้ได้นำไปใช้อย่างประสบความสำเร็จในด้านกิจกรรมของมนุษย์ที่เพิ่งเกิดขึ้นไม่นาน นำการกำกับดูแลกิจการ ตัวอย่างเช่น วงกลมของออยเลอร์ ตัวอย่าง และกราฟอธิบายกลไกของ โมเดลการพัฒนา ไม่ว่าจะเป็นเวอร์ชั่นรัสเซียหรืออังกฤษ-อเมริกัน
