เพื่อให้ผู้อ่านจินตนาการได้ง่ายขึ้นว่าไฮเปอร์โบลอยด์คืออะไร - วัตถุสามมิติ - ก่อนอื่นคุณต้องพิจารณาไฮเปอร์โบลาโค้งที่มีชื่อเดียวกัน ซึ่งพอดีกับช่องว่างสองมิติ
ไฮเปอร์โบลามีสองแกน: แกนจริง ซึ่งในรูปนี้ตรงกับแกน abscissa และแกนจินตภาพที่มีแกน y หากคุณเริ่มคิดที่จะเปลี่ยนสมการไฮเพอร์โบลารอบแกนจินตภาพ จากนั้นพื้นผิวที่ "มองเห็น" ด้วยเส้นโค้งจะเป็นไฮเปอร์โบลาแผ่นเดียว
อย่างไรก็ตาม หากเราเริ่มหมุนไฮเปอร์โบลารอบแกนจริงของมันด้วยวิธีนี้ "ครึ่ง" ทั้งสองของเส้นโค้งจะสร้างพื้นผิวที่แยกจากกัน และเมื่อรวมกันจะเรียกว่าสอง- ไฮเปอร์โบลอยด์แบบแผ่น
ได้มาจากการหมุนเส้นโค้งระนาบที่สอดคล้องกัน พวกมันจะเรียกว่าไฮเปอร์โบลอยด์ของการหมุนตามลำดับ มีพารามิเตอร์ทุกทิศทางตั้งฉากกับแกนหมุนที่เป็นของเส้นโค้งที่หมุน โดยทั่วไป จะไม่เป็นเช่นนั้น
สมการไฮเปอร์โบลอยด์
โดยทั่วไป พื้นผิวสามารถกำหนดได้โดยสมการต่อไปนี้ในพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y, z):
ในกรณีของไฮเปอร์โบลอยด์ของการปฏิวัติ ความสมมาตรของมันเกี่ยวกับแกนรอบๆ ที่มันหมุนจะแสดงออกมาในความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์ a=b
ลักษณะไฮเปอร์โบลอยด์
เขามีทริค. เรารู้ว่าเส้นโค้งบนระนาบมีจุดโฟกัส - ในกรณีของไฮเพอร์โบลา ตัวอย่างเช่น โมดูลของความแตกต่างในระยะทางจากจุดใดก็ได้บนไฮเพอร์โบลาถึงหนึ่งโฟกัส และจุดที่สองคงที่ตามคำจำกัดความ อันที่จริง การโฟกัส คะแนน
เมื่อย้ายไปยังพื้นที่สามมิติ คำจำกัดความในทางปฏิบัติจะไม่เปลี่ยนแปลง: จุดโฟกัสคือสองจุดอีกครั้ง และความแตกต่างของระยะทางจากจุดเหล่านั้นไปยังจุดใดๆ ที่เป็นของพื้นผิวไฮเปอร์โบลอยด์จะคงที่ อย่างที่คุณเห็น มีเพียงพิกัดที่สามเท่านั้นที่ปรากฏจากการเปลี่ยนแปลงสำหรับจุดที่เป็นไปได้ทั้งหมด เพราะตอนนี้พวกมันถูกตั้งค่าในอวกาศแล้ว โดยทั่วไป การกำหนดโฟกัสจะเทียบเท่ากับการระบุประเภทของเส้นโค้งหรือพื้นผิว: โดยการพูดถึงตำแหน่งของพื้นผิวที่สัมพันธ์กับจุดโฟกัส จริง ๆ แล้วเราจะตอบคำถามว่าไฮเปอร์โบลอยด์คืออะไรและมีลักษณะอย่างไร
ควรจำไว้ว่าไฮเปอร์โบลามีเส้นกำกับ - เส้นตรงซึ่งกิ่งของมันมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด ถ้าเมื่อสร้างไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการปฏิวัติ คนๆ หนึ่งหมุนเส้นกำกับทางจิตใจร่วมกับไฮเพอร์โบลา จากนั้นนอกจากไฮเปอร์โบลาแล้ว เราจะได้รับกรวยที่เรียกว่าซีมโทติกด้วย กรวยกำกับคือสำหรับไฮเปอร์โบลอยด์แบบแผ่นเดียวและสองแผ่น
ลักษณะสำคัญอีกประการหนึ่งที่มีไฮเปอร์โบลอยด์เพียงแผ่นเดียวคือตัวสร้างเส้นตรง ตามชื่อที่บ่งบอก สิ่งเหล่านี้คือเส้น และพวกมันอยู่บนพื้นผิวที่กำหนดอย่างสมบูรณ์ เครื่องกำเนิดเส้นตรงสองเครื่องผ่านแต่ละจุดของไฮเปอร์โบลอยด์แบบแผ่นเดียว พวกเขาอยู่ในลำดับของสองตระกูลของเส้นซึ่งอธิบายโดยระบบสมการต่อไปนี้:
ดังนั้น ไฮเปอร์โบลอยด์แบบแผ่นเดียวจึงประกอบขึ้นจากเส้นตรงสองตระกูลเป็นจำนวนอนันต์ได้ และแต่ละบรรทัดของหนึ่งในนั้นจะตัดกับเส้นของอีกตระกูลหนึ่ง พื้นผิวที่สอดคล้องกับคุณสมบัติดังกล่าวเรียกว่าปกครอง สามารถสร้างได้โดยใช้การหมุนของเส้นตรงเส้นเดียว คำจำกัดความผ่านการจัดเรียงร่วมกันของเส้น (เครื่องกำเนิดเส้นตรง) ในอวกาศยังสามารถทำหน้าที่เป็นการกำหนดที่ชัดเจนว่าไฮเปอร์โบลอยด์คืออะไร
คุณสมบัติที่น่าสนใจของไฮเปอร์โบลอยด์
เส้นโค้งลำดับที่สองและพื้นผิวของการปฏิวัติที่สอดคล้องกัน แต่ละเส้นมีคุณสมบัติทางแสงที่น่าสนใจที่เกี่ยวข้องกับจุดโฟกัส ในกรณีของไฮเปอร์โบลอยด์ จะมีสูตรดังนี้: หากรังสีถูกยิงจากจุดโฟกัสหนึ่ง จากนั้นสะท้อนจาก "กำแพง" ที่อยู่ใกล้ที่สุด มันจะใช้ทิศทางราวกับว่ามาจากจุดโฟกัสที่สอง
ไฮเปอร์โบลอยด์ในชีวิต
เป็นไปได้มากที่ผู้อ่านส่วนใหญ่เริ่มทำความคุ้นเคยกับเรขาคณิตวิเคราะห์และพื้นผิวอันดับสองจากนิยายวิทยาศาสตร์โดย Alexei Tolstoy"วิศวกรไฮเปอร์โบลอยด์ การิน" อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนเองก็ไม่รู้เหมือนกันว่าไฮเปอร์โบลาคืออะไร หรือเสียสละความแม่นยำเพื่อศิลปะ: สิ่งประดิษฐ์ที่อธิบายในแง่ของลักษณะทางกายภาพ ค่อนข้างเป็นพาราโบลาที่รวบรวมรังสีทั้งหมดไว้ในจุดโฟกัสเดียว (ในขณะที่ คุณสมบัติทางแสงของไฮเปอร์โบลอยด์สัมพันธ์กับการกระเจิงของรังสี).
สิ่งที่เรียกว่าโครงสร้างไฮเปอร์โบลานั้นเป็นที่นิยมอย่างมากในสถาปัตยกรรม: โครงสร้างเหล่านี้มีรูปร่างเป็นไฮเปอร์โบลาแผ่นเดียวหรือพาราโบลาไฮเปอร์โบลิก ความจริงก็คือเฉพาะพื้นผิวของการปฏิวัติของลำดับที่สองเท่านั้นที่มีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเป็นเส้นตรง: ดังนั้นโครงสร้างโค้งจึงสามารถสร้างได้จากคานตรงเท่านั้น ข้อดีของโครงสร้างดังกล่าวอยู่ที่ความสามารถในการรับน้ำหนักได้มาก เช่น จากลม: ใช้รูปทรงไฮเปอร์โบลอยด์ในการก่อสร้างโครงสร้างสูง เช่น หอส่งสัญญาณโทรทัศน์
