เมทริกซ์เป็นวัตถุพิเศษทางคณิตศาสตร์ มันถูกวาดในรูปแบบของตารางสี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมประกอบด้วยแถวและคอลัมน์จำนวนหนึ่ง ในวิชาคณิตศาสตร์ มีเมทริกซ์หลายประเภท ซึ่งมีขนาดหรือเนื้อหาต่างกัน ตัวเลขของแถวและคอลัมน์เรียกว่าคำสั่ง วัตถุเหล่านี้ใช้ในคณิตศาสตร์เพื่อจัดระเบียบการเขียนระบบสมการเชิงเส้นและค้นหาผลลัพธ์ได้อย่างสะดวก สมการที่ใช้เมทริกซ์ได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีการของ Carl Gauss, Gabriel Cramer, minors และ algebraic added และวิธีอื่นๆ อีกมากมาย ทักษะพื้นฐานเมื่อทำงานกับเมทริกซ์คือการทำให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน อย่างไรก็ตาม ก่อนอื่น มาคิดกันก่อนว่าเมทริกซ์ประเภทใดที่นักคณิตศาสตร์แยกแยะได้
ประเภท Null
ส่วนประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ประเภทนี้เป็นศูนย์ ในขณะเดียวกัน จำนวนแถวและคอลัมน์ต่างกันโดยสิ้นเชิง
แบบสี่เหลี่ยม
จำนวนคอลัมน์และแถวของเมทริกซ์ประเภทนี้เท่ากัน มันคือตารางรูปทรง "สี่เหลี่ยม" จำนวนคอลัมน์ (หรือแถว) เรียกว่าลำดับ กรณีพิเศษคือการมีอยู่ของเมทริกซ์ของลำดับที่สอง (เมทริกซ์ 2x2) ลำดับที่สี่ (4x4) ลำดับที่สิบ (10x10) สิบเจ็ด (17x17) เป็นต้น
เวกเตอร์คอลัมน์
นี่คือหนึ่งในประเภทเมทริกซ์ที่ง่ายที่สุด ซึ่งประกอบด้วยคอลัมน์เดียว ซึ่งรวมถึงค่าตัวเลขสามค่า มันแสดงถึงชุดของเงื่อนไขอิสระ (ตัวเลขที่ไม่ขึ้นกับตัวแปร) ในระบบสมการเชิงเส้น
เวกเตอร์แถว
ดูคล้ายกับอันที่แล้ว ประกอบด้วยองค์ประกอบตัวเลขสามตัว เรียงกันเป็นบรรทัดเดียว
แบบทแยง
เฉพาะส่วนของเส้นทแยงมุมหลัก (เน้นด้วยสีเขียว) เท่านั้นที่รับค่าตัวเลขในรูปแบบเส้นทแยงมุมของเมทริกซ์ เส้นทแยงมุมหลักเริ่มต้นด้วยองค์ประกอบที่มุมบนซ้ายและสิ้นสุดด้วยองค์ประกอบที่ด้านล่างขวาตามลำดับ ส่วนประกอบที่เหลือเป็นศูนย์ ประเภทเส้นทแยงมุมเป็นเพียงเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสของบางลำดับเท่านั้น ในบรรดาเมทริกซ์ของรูปแบบเส้นทแยงมุม เราสามารถเลือกสเกลาร์หนึ่งอันได้ ส่วนประกอบทั้งหมดใช้ค่าเดียวกัน
เมทริกซ์เอกลักษณ์
A ชนิดย่อยของเมทริกซ์แนวทแยง ค่าตัวเลขทั้งหมดเป็นหน่วย ใช้ตารางเมทริกซ์ประเภทเดียว ทำการแปลงพื้นฐานหรือค้นหาเมทริกซ์ผกผันกับตารางเดิม
ประเภท Canonical
รูปแบบบัญญัติของเมทริกซ์ถือเป็นหนึ่งในรูปแบบหลัก การคัดเลือกนักแสดงมักจะจำเป็นในการทำงาน จำนวนแถวและคอลัมน์ในเมทริกซ์บัญญัตินั้นแตกต่างกัน ไม่จำเป็นต้องเป็นของประเภทสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันค่อนข้างคล้ายกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ แต่ในกรณีของมัน องค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมไม่ได้มีค่าเท่ากับหนึ่ง สามารถมีหน่วยแนวทแยงหลักได้สองหรือสี่หน่วย (ทั้งหมดขึ้นอยู่กับความยาวและความกว้างของเมทริกซ์) หรืออาจจะไม่มีหน่วยเลยก็ได้ (แล้วถือว่าเป็นศูนย์) ส่วนประกอบที่เหลือของประเภทตามรูปแบบบัญญัติ เช่นเดียวกับองค์ประกอบของเส้นทแยงมุมและเอกลักษณ์ มีค่าเท่ากับศูนย์
แบบสามเหลี่ยม
เมทริกซ์ที่สำคัญที่สุดชนิดหนึ่ง ใช้สำหรับค้นหาดีเทอร์มีแนนต์และเมื่อดำเนินการอย่างง่าย ประเภทสามเหลี่ยมมาจากประเภทเส้นทแยงมุม ดังนั้นเมทริกซ์จึงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย มุมมองสามเหลี่ยมของเมทริกซ์แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมบนและสามเหลี่ยมล่าง
ในเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (รูปที่ 1) เฉพาะองค์ประกอบที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักเท่านั้นที่จะได้รับค่าเท่ากับศูนย์ ส่วนประกอบของเส้นทแยงมุมและส่วนของเมทริกซ์ด้านล่างมีค่าตัวเลข
ในเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (รูปที่ 2) ในทางกลับกัน องค์ประกอบที่อยู่ในส่วนล่างของเมทริกซ์มีค่าเท่ากับศูนย์
สเต็ปเมทริกซ์
มุมมองจำเป็นสำหรับการค้นหาอันดับของเมทริกซ์ เช่นเดียวกับการดำเนินการเบื้องต้นของพวกมัน (พร้อมกับประเภทสามเหลี่ยม) สเต็ปเมทริกซ์ตั้งชื่ออย่างนั้นเพราะมีลักษณะ "ขั้นตอน" ของศูนย์ (ดังแสดงในรูป) ในประเภทขั้นบันไดจะมีการสร้างเส้นทแยงมุมของศูนย์ (ไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์หลัก) และองค์ประกอบทั้งหมดภายใต้เส้นทแยงมุมนี้ก็มีค่าเท่ากับศูนย์เช่นกัน ข้อกำหนดเบื้องต้นมีดังต่อไปนี้: หากมีแถวศูนย์ในเมทริกซ์ขั้นตอน แถวที่เหลือด้านล่างก็ไม่มีค่าตัวเลขเช่นกัน
ดังนั้น เราจึงได้พิจารณาประเภทเมทริกซ์ที่สำคัญที่สุดที่จำเป็นในการทำงานกับพวกมันแล้ว ตอนนี้ มาจัดการกับงานในการแปลงเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบที่ต้องการกัน
ลดเป็นรูปสามเหลี่ยม
จะทำให้เมทริกซ์เป็นรูปสามเหลี่ยมได้อย่างไร? บ่อยครั้งในงานมอบหมาย คุณต้องแปลงเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมเพื่อหาดีเทอร์มีแนนต์ หรือเรียกว่าดีเทอร์มีแนนต์ เมื่อดำเนินการตามขั้นตอนนี้ เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้อง "รักษา" เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ไว้ เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมคือผลคูณของส่วนประกอบในแนวทแยงหลัก ผมขอเตือนคุณถึงวิธีอื่นในการหาดีเทอร์มีแนนต์ ดีเทอร์มีแนนต์แบบสี่เหลี่ยมหาได้จากสูตรพิเศษ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้วิธีสามเหลี่ยม สำหรับเมทริกซ์อื่นๆ จะใช้วิธีการสลายตัวตามแถว คอลัมน์ หรือองค์ประกอบ คุณยังสามารถใช้วิธีรองและการเติมเต็มเชิงพีชคณิตของเมทริกซ์ได้
รายละเอียดมาวิเคราะห์กระบวนการนำเมทริกซ์มาอยู่ในรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ตัวอย่างงานกัน
ภารกิจที่ 1
จำเป็นต้องหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่นำเสนอ โดยใช้วิธีการทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยม
เมทริกซ์ที่ให้เราเป็นเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่สาม ดังนั้น เพื่อแปลงเป็นรูปสามเหลี่ยม เราจำเป็นต้องลบล้างองค์ประกอบสองส่วนของคอลัมน์แรกและองค์ประกอบหนึ่งของคอลัมน์ที่สอง
ในการเปลี่ยนเป็นรูปสามเหลี่ยม ให้เริ่มการแปลงจากมุมล่างซ้ายของเมทริกซ์ - จากเลข 6 หากต้องการเปลี่ยนเป็นศูนย์ ให้คูณแถวแรกด้วยสามแล้วลบออกจากแถวสุดท้าย
สำคัญ! บรรทัดบนสุดไม่เปลี่ยนแปลง แต่ยังคงเหมือนเดิมในเมทริกซ์ดั้งเดิม คุณไม่จำเป็นต้องเขียนสตริงสี่ครั้งของสตริงเดิม แต่ค่าของสตริงที่ส่วนประกอบจำเป็นต้องถูกทำให้เป็นโมฆะนั้นเปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา
ต่อไป มาจัดการกับค่าถัดไปกัน - องค์ประกอบของแถวที่สองของคอลัมน์แรก หมายเลข 8 คูณแถวแรกด้วยสี่แล้วลบออกจากแถวที่สอง เราได้ศูนย์
เหลือเพียงค่าสุดท้าย - องค์ประกอบของแถวที่สามของคอลัมน์ที่สอง นี่คือตัวเลข (-1) หากต้องการเปลี่ยนเป็นศูนย์ ให้ลบที่สองออกจากบรรทัดแรก
มาลองดูกัน:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
ดังนั้นคำตอบของงานคือ -22.
ภารกิจที่ 2
เราต้องหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ด้วยการทำให้มันเป็นรูปสามเหลี่ยม
แสดงเมทริกซ์อยู่ในประเภทสแควร์และเป็นเมทริกซ์ของลำดับที่สี่ ซึ่งหมายความว่าสามองค์ประกอบของคอลัมน์แรก สององค์ประกอบของคอลัมน์ที่สอง และหนึ่งองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สามจะต้องเป็นศูนย์
มาเริ่มลดขนาดจากองค์ประกอบที่มุมล่างซ้าย - จากหมายเลข 4 เราต้องเปลี่ยนตัวเลขนี้เป็นศูนย์ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการคูณแถวบนด้วยสี่แล้วลบออกจากแถวที่สี่ มาจดผลลัพธ์ของการแปลงร่างขั้นแรกกัน
ดังนั้น ส่วนประกอบของบรรทัดที่สี่ถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ ไปที่องค์ประกอบแรกของบรรทัดที่สามไปที่หมายเลข 3 เราทำการดำเนินการที่คล้ายกัน คูณด้วยสามบรรทัดแรก ลบออกจากบรรทัดที่สามแล้วเขียนผลลัพธ์
ต่อไปเราจะเห็นเลข 2 ในบรรทัดที่สอง เราทำซ้ำการดำเนินการ: คูณแถวบนด้วยสองแล้วลบออกจากแถวที่สอง
เราตั้งค่าให้องค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์แรกของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้เป็นศูนย์ได้ ยกเว้นหมายเลข 1 ซึ่งเป็นองค์ประกอบหลักในแนวทแยงที่ไม่ต้องการการแปลง ตอนนี้มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะรักษาค่าศูนย์ที่เป็นผลลัพธ์เอาไว้ ดังนั้นเราจะทำการแปลงด้วยแถว ไม่ใช่คอลัมน์ ไปที่คอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์ที่นำเสนอ
มาเริ่มจากด้านล่างกันอีกครั้ง - จากองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สองของแถวสุดท้าย นี่คือตัวเลข (-7) อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้จะสะดวกกว่าที่จะเริ่มต้นด้วยตัวเลข (-1) - องค์ประกอบของคอลัมน์ที่สองของแถวที่สาม หากต้องการเปลี่ยนเป็นศูนย์ ให้ลบแถวที่สองออกจากแถวที่สาม จากนั้นเราคูณแถวที่สองด้วยเจ็ดแล้วลบออกจากแถวที่สี่ เราได้ศูนย์แทนที่จะเป็นองค์ประกอบที่อยู่ในแถวที่สี่ของคอลัมน์ที่สอง มาต่อกันที่ตอนที่สามกันคอลัมน์
ในคอลัมน์นี้ เราต้องเปลี่ยนเป็นศูนย์เพียงตัวเลขเดียว - 4 ทำได้ง่ายมาก เพียงเพิ่มตัวที่สามในบรรทัดสุดท้ายแล้วดูศูนย์ที่เราต้องการ
หลังจากการแปลงทั้งหมด เรานำเมทริกซ์ที่เสนอมาเป็นรูปสามเหลี่ยม ทีนี้ ในการหาดีเทอร์มีแนนต์ คุณก็แค่คูณองค์ประกอบผลลัพธ์ของเส้นทแยงมุมหลักเท่านั้น เราได้รับ: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160 ดังนั้นคำตอบคือหมายเลข 160
ดังนั้น ประเด็นเรื่องการนำเมทริกซ์ไปอยู่ในรูปสามเหลี่ยมจะไม่ทำให้ยากสำหรับคุณ
ลดแบบขั้น
ในการดำเนินการเบื้องต้นของเมทริกซ์ รูปแบบขั้นเป็น "ความต้องการ" น้อยกว่ารูปสามเหลี่ยม โดยทั่วไปจะใช้เพื่อค้นหาอันดับของเมทริกซ์ (เช่น จำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์) หรือเพื่อกำหนดแถวที่ขึ้นกับเชิงเส้นและอิสระ อย่างไรก็ตาม มุมมองเมทริกซ์แบบสเต็ปมีความหลากหลายมากกว่า เนื่องจากไม่เหมาะสำหรับประเภทสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่านั้น แต่ยังเหมาะสำหรับประเภทอื่นๆ ทั้งหมด
ในการย่อเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปขั้นขั้น คุณต้องหาดีเทอร์มีแนนต์ของมันก่อน ด้วยเหตุนี้วิธีการข้างต้นจึงเหมาะสม จุดประสงค์ในการหาดีเทอร์มีแนนต์คือหาว่าสามารถแปลงเป็นเมทริกซ์ขั้นตอนได้หรือไม่ หากดีเทอร์มีแนนต์มากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์ คุณสามารถดำเนินการได้อย่างปลอดภัย หากเท่ากับศูนย์ จะไม่สามารถลดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดได้ ในกรณีนี้ คุณต้องตรวจสอบว่ามีข้อผิดพลาดในเร็กคอร์ดหรือการแปลงเมทริกซ์หรือไม่ ถ้าไม่มีความไม่ถูกต้องดังกล่าว ภารกิจก็ไม่สามารถแก้ไขได้
ดูยังไงนำเมทริกซ์มาสู่รูปแบบขั้นบันไดโดยใช้ตัวอย่างงานต่างๆ
ภารกิจที่ 1. ค้นหาอันดับของตารางเมทริกซ์ที่กำหนด
ก่อนหน้าเราคือเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่สาม (3x3) เราทราบดีว่าในการหาอันดับนั้น จำเป็นต้องลดอันดับลงเป็นขั้นบันได ดังนั้น ต้องหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ก่อน โดยใช้วิธีสามเหลี่ยม detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
ดีเทอร์มิแนนต์=12. มันมากกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์สามารถถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดได้ มาเริ่มการแปลงร่างกันเถอะ
เริ่มด้วยองค์ประกอบของคอลัมน์ด้านซ้ายของแถวที่สาม - หมายเลข 2 คูณแถวบนสุดด้วยสองแล้วลบออกจากแถวที่สาม ด้วยการดำเนินการนี้ ทั้งองค์ประกอบที่เราต้องการและหมายเลข 4 - องค์ประกอบในคอลัมน์ที่สองของแถวที่สาม - กลายเป็นศูนย์
ถัดไป หมุนองค์ประกอบของแถวที่สองของคอลัมน์แรกเป็นศูนย์ - หมายเลข 3 ในการทำเช่นนี้ ให้คูณแถวบนสุดด้วยสามแล้วลบออกจากแถวที่สอง
เราเห็นว่าการลดลงทำให้เกิดเมทริกซ์สามเหลี่ยม ในกรณีของเรา การแปลงไม่สามารถดำเนินการต่อได้ เนื่องจากส่วนประกอบที่เหลือไม่สามารถเปลี่ยนเป็นศูนย์ได้
ดังนั้น เราสรุปได้ว่าจำนวนแถวที่มีค่าตัวเลขในเมทริกซ์นี้ (หรืออันดับ) คือ 3 คำตอบสำหรับงาน: 3.
ภารกิจที่ 2 กำหนดจำนวนแถวอิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์นี้
เราต้องค้นหาสตริงที่ไม่สามารถย้อนกลับด้วยการแปลงใดๆ ได้เป็นศูนย์ อันที่จริง เราจำเป็นต้องหาจำนวนแถวที่ไม่เป็นศูนย์ หรืออันดับของเมทริกซ์ที่แสดงแทน การทำเช่นนี้ มาทำให้ง่ายขึ้น
เราเห็นเมทริกซ์ที่ไม่ได้อยู่ในประเภทสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีขนาด 3x4 เรามาเริ่มการร่ายจากองค์ประกอบของมุมล่างซ้าย - ตัวเลข (-1).
เพิ่มบรรทัดแรกไปยังบรรทัดที่สาม ถัดไป ลบวินาทีจากนั้นเปลี่ยนตัวเลข 5 เป็นศูนย์
การเปลี่ยนแปลงต่อไปเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าจำนวนเส้นอิสระในนั้นและคำตอบของงานคือ 3.
ตอนนี้การนำเมทริกซ์มาสู่รูปแบบขั้นบันไดไม่ใช่งานที่เป็นไปไม่ได้สำหรับคุณ
ในตัวอย่างงานเหล่านี้ เราวิเคราะห์การลดขนาดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมและแบบขั้นบันได เพื่อลบล้างค่าที่ต้องการของตารางเมทริกซ์ ในบางกรณีจำเป็นต้องแสดงจินตนาการและแปลงคอลัมน์หรือแถวอย่างถูกต้อง ขอให้โชคดีในวิชาคณิตศาสตร์และทำงานกับเมทริกซ์!