ฟังครูคณิตศาสตร์ นักเรียนส่วนใหญ่ใช้สื่อนี้เป็นสัจธรรม ในเวลาเดียวกัน มีคนไม่กี่คนที่พยายามจะลงไปข้างล่างแล้วหาคำตอบว่าทำไม “ลบ” บนตัว “บวก” ถึงให้เครื่องหมาย “ลบ” และเมื่อคูณจำนวนลบสองจำนวนออกมา มันก็จะออกมาเป็นบวก
กฎของคณิตศาสตร์
ผู้ใหญ่ส่วนใหญ่ไม่สามารถอธิบายให้ตัวเองหรือลูกฟังได้ว่าทำไมถึงเป็นเช่นนี้ พวกเขาซึมซับเนื้อหานี้อย่างถี่ถ้วนในโรงเรียน แต่พวกเขาไม่ได้พยายามค้นหาว่ากฎดังกล่าวมาจากไหน แต่เปล่าประโยชน์ บ่อยครั้งที่เด็กสมัยใหม่ไม่ใจง่ายนัก พวกเขาจำเป็นต้องทำความเข้าใจกับประเด็นนี้ให้ได้ เช่น เหตุใด "บวก" บน "ลบ" จึงให้ "ลบ" และบางครั้งทอมบอยจงใจถามคำถามที่ยุ่งยากเพื่อสนุกกับช่วงเวลาที่ผู้ใหญ่ไม่สามารถให้คำตอบที่เข้าใจได้ และมันจะเป็นหายนะจริง ๆ ถ้าครูหนุ่มทำเรื่องเลอะเทอะ…
อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่ากฎที่กล่าวมาข้างต้นใช้ได้กับทั้งการคูณและการหาร ผลคูณของจำนวนลบและจำนวนบวกจะให้ค่าลบเท่านั้น หากเรากำลังพูดถึงตัวเลขสองหลักที่มีเครื่องหมาย "-" ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวก เดียวกันจะไปสำหรับการแบ่ง ถ้าตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเป็นลบ จากนั้นผลหารจะมีเครื่องหมาย “-” ด้วย
เพื่ออธิบายความถูกต้องของกฎคณิตศาสตร์นี้ จำเป็นต้องกำหนดสัจพจน์ของวงแหวน แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร ในวิชาคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกวงแหวนว่าเซตซึ่งมีการดำเนินการสองอย่างที่มีสององค์ประกอบ แต่จะดีกว่าที่จะจัดการกับสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง
สัจพจน์ของแหวน
กฎทางคณิตศาสตร์มีอยู่หลายข้อ
- อันแรกเป็นสับเปลี่ยนตามเขา C + V=V + C.
- อันที่สองเรียกว่า associative (V + C) + D=V + (C + D).
พวกเขายังเชื่อฟังการคูณ (V x C) x D=V x (C x D)
ไม่มีใครยกเลิกกฎโดยที่วงเล็บเปิด (V + C) x D=V x D + C x D ก็เป็นความจริงที่ว่า C x (V + D)=C x V + C x ดี.
นอกจากนี้ยังมีการกำหนดองค์ประกอบพิเศษที่เป็นกลางในแง่ของการบวกเข้าไปในวงแหวนโดยใช้ซึ่งต่อไปนี้จะเป็นจริง: C + 0=C นอกจากนี้สำหรับแต่ละ C มีองค์ประกอบตรงข้ามซึ่งสามารถแสดงเป็น (-C) ในกรณีนี้ C + (-C)=0.
ที่มาของสัจพจน์สำหรับจำนวนลบ
ยอมรับข้อความข้างต้น เราสามารถตอบคำถาม: "บวก" ถึง "ลบ" ให้เครื่องหมายอะไร เมื่อทราบสัจพจน์เกี่ยวกับการคูณจำนวนลบ จำเป็นต้องยืนยันว่าแน่นอน (-C) x V=-(C x V) และความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: (-(-C))=C.
ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นเราต้องพิสูจน์ว่าแต่ละองค์ประกอบมีเพียงองค์ประกอบเดียวพี่ชายตรงข้าม พิจารณาตัวอย่างการพิสูจน์ต่อไปนี้ ลองจินตนาการว่าตัวเลขสองตัวอยู่ตรงข้ามกับ C - V และ D จากนี้ไป C + V=0 และ C + D=0 นั่นคือ C + V=0=C + D จำกฎการกระจัด และเกี่ยวกับคุณสมบัติของเลข 0 เราสามารถพิจารณาผลรวมของตัวเลขทั้งสาม: C, V และ D ลองหาค่าของ V กัน เป็นตรรกะที่ V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D เนื่องจากค่าของ C + D ตามที่ยอมรับข้างต้น เท่ากับ 0 ดังนั้น V=V + C + D
ค่าของ D ได้รับในลักษณะเดียวกันทุกประการ: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D จากนี้ จะเห็นได้ชัดว่า V=D.
เพื่อให้เข้าใจว่าทำไม "บวก" บน "ลบ" ถึงให้ "ลบ" คุณต้องเข้าใจสิ่งต่อไปนี้ ดังนั้นสำหรับองค์ประกอบ (-C) ตรงกันข้ามคือ C และ (-(-C)) นั่นคือพวกมันมีค่าเท่ากัน
แล้วจะเห็นได้ว่า 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. ตามมาว่า C x V อยู่ตรงข้ามกับ (-)C x V ดังนั้น (-C) x V=-(C x V).
เพื่อความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์ จำเป็นต้องยืนยันด้วยว่า 0 x V=0 สำหรับองค์ประกอบใดๆ หากคุณปฏิบัติตามตรรกะ 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V ซึ่งหมายความว่าการเพิ่มผลิตภัณฑ์ 0 x V จะไม่เปลี่ยนจำนวนเงินที่ตั้งไว้ แต่อย่างใด ท้ายที่สุด ผลิตภัณฑ์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์
เมื่อรู้สัจพจน์เหล่านี้แล้ว คุณจะอนุมานได้ไม่เพียงแค่ว่า "บวก" ด้วย "ลบ" ให้เท่าไหร่ แต่จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณคูณจำนวนลบด้วย
การคูณและการหารเลขสองตัวที่มีเครื่องหมาย "-"
ถ้าคุณไม่ลงลึกในวิชาคณิตศาสตร์ความแตกต่าง คุณสามารถลองอธิบายกฎการดำเนินการด้วยตัวเลขติดลบในวิธีที่ง่ายกว่า
สมมุติว่า C - (-V)=D ดังนั้น C=D + (-V) เช่น C=D - V. โอน V แล้วได้ C + V=D นั่นคือ C + V=C - (-V). ตัวอย่างนี้อธิบายว่าทำไมในนิพจน์ที่มี "ลบ" สองตัวติดกัน เครื่องหมายที่กล่าวถึงควรเปลี่ยนเป็น "บวก" มาจัดการกับการคูณกัน
(-C) x (-V)=D คุณสามารถเพิ่มและลบผลิตภัณฑ์ที่เหมือนกันสองรายการในนิพจน์ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนค่าของมัน: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V)=D.
จำกฎการทำงานกับวงเล็บ เราได้:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
ตามนั้น C x V=(-C) x (-V).
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าการหารจำนวนลบสองจำนวนจะทำให้ได้เลขบวก
กฎคณิตศาสตร์ทั่วไป
แน่นอน คำอธิบายนี้ไม่เหมาะสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาที่เพิ่งเริ่มเรียนรู้ตัวเลขเชิงลบที่เป็นนามธรรม จะดีกว่าสำหรับพวกเขาที่จะอธิบายเกี่ยวกับวัตถุที่มองเห็นได้โดยใช้คำที่คุ้นเคยผ่านกระจกมอง ตัวอย่างเช่นมีการประดิษฐ์ขึ้น แต่ไม่มีของเล่นที่มีอยู่ พวกเขาสามารถแสดงด้วยเครื่องหมาย "-" การคูณของวัตถุคล้ายแก้วสองชิ้นถ่ายโอนไปยังอีกโลกหนึ่งซึ่งเท่ากับปัจจุบัน นั่นคือเป็นผลให้เรามีจำนวนบวก แต่การคูณจำนวนลบที่เป็นนามธรรมด้วยจำนวนบวกจะทำให้ทุกคนคุ้นเคยกับผลลัพธ์ที่คุ้นเคย เพราะ "บวก"คูณด้วย "ลบ" ให้ "ลบ" จริงอยู่ที่ในวัยประถม เด็ก ๆ ไม่ได้พยายามเจาะลึกความแตกต่างทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจริงๆ
ถึงแม้คุณต้องเผชิญกับความจริง สำหรับคนจำนวนมากถึงแม้จะเรียนสูงแล้ว กฎเกณฑ์มากมายยังคงเป็นปริศนา ทุกคนยอมรับในสิ่งที่ครูสอนพวกเขาโดยไม่สูญเสียที่จะเจาะลึกความซับซ้อนทั้งหมดที่คณิตศาสตร์เต็มไปด้วย "ลบ" บน "ลบ" ให้ "บวก" - ทุกคนรู้เรื่องนี้โดยไม่มีข้อยกเว้น สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน
