ปัญหาทางเรขาคณิตทั่วไปคือการหามุมระหว่างเส้น บนระนาบ ถ้าทราบสมการของเส้นตรง ก็สามารถวาดได้และวัดมุมด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ใช้ลำบากและไม่สามารถทำได้เสมอไป การหามุมที่มีชื่อไม่จำเป็นต้องวาดเส้นตรงก็สามารถคำนวณได้ บทความนี้จะตอบวิธีการทำ
เส้นตรงและสมการเวกเตอร์
เส้นตรงใดๆ สามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่ -∞ และสิ้นสุดที่ +∞ ในกรณีนี้ เวกเตอร์จะผ่านจุดหนึ่งในอวกาศ ดังนั้น เวกเตอร์ทั้งหมดที่สามารถลากระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรงจะขนานกัน คำจำกัดความนี้ให้คุณกำหนดสมการของเส้นตรงในรูปแบบเวกเตอร์:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
ที่นี่เวกเตอร์ที่มีพิกัด (a; b; c) เป็นแนวทางสำหรับเส้นนี้ที่ผ่านจุด (x0; y0; z0).พารามิเตอร์ α อนุญาตให้คุณถ่ายโอนจุดที่ระบุไปยังจุดอื่นสำหรับบรรทัดนี้ สมการนี้ใช้งานง่ายและใช้งานง่ายทั้งในพื้นที่ 3 มิติและบนเครื่องบิน สำหรับเครื่องบิน จะไม่มีพิกัด z และองค์ประกอบเวกเตอร์ทิศทางที่สาม
ความสะดวกในการคำนวณและศึกษาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงอันเนื่องมาจากการใช้สมการเวกเตอร์นั้นเกิดจากการที่รู้เวกเตอร์ทิศทางของมัน พิกัดของมันถูกใช้ในการคำนวณมุมระหว่างเส้นและระยะห่างระหว่างเส้น
สมการทั่วไปสำหรับเส้นตรงบนเครื่องบิน
มาเขียนสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงสำหรับกรณีสองมิติให้ชัดเจนกัน ดูเหมือนว่า:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
ตอนนี้เราคำนวณพารามิเตอร์ α สำหรับแต่ละความเท่าเทียมกันและเท่ากับส่วนที่ถูกต้องของความเท่าเทียมกันที่ได้รับ:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
เมื่อเปิดวงเล็บและถ่ายโอนเงื่อนไขทั้งหมดไปยังด้านใดด้านหนึ่งของความเสมอภาค เราได้:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, โดยที่ A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
นิพจน์ผลลัพธ์เรียกว่าสมการทั่วไปสำหรับเส้นตรงที่กำหนดในพื้นที่สองมิติ (ในสามมิติสมการนี้จะสอดคล้องกับระนาบที่ขนานกับแกน z ไม่ใช่เส้นตรง)
ถ้าเราเขียน y ถึง x อย่างชัดเจนในนิพจน์นี้ เราก็จะได้รูปแบบต่อไปนี้ รู้จักนักเรียนแต่ละคน:
y=kx + p โดยที่ k=-A/B, p=-C/B
สมการเชิงเส้นนี้กำหนดเส้นตรงบนระนาบอย่างไม่ซ้ำใคร มันง่ายมากที่จะวาดตามสมการที่รู้จักกันดี สำหรับสิ่งนี้ คุณควรใส่ x=0 และ y=0 สลับกัน ทำเครื่องหมายจุดที่เกี่ยวข้องในระบบพิกัดและวาดเส้นตรงเชื่อมจุดที่ได้รับ
สูตรของมุมระหว่างบรรทัด
บนเครื่องบิน เส้นสองเส้นสามารถตัดกันหรือขนานกันก็ได้ ในอวกาศตัวเลือกเหล่านี้จะเพิ่มความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของเส้นเอียง ไม่ว่ารุ่นของตำแหน่งสัมพัทธ์ของวัตถุเรขาคณิตหนึ่งมิติเหล่านี้จะถูกนำไปใช้ มุมระหว่างพวกมันสามารถกำหนดได้โดยสูตรต่อไปนี้:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
ที่ไหน v1¯ และ v2¯ เป็นเวกเตอร์แนะนำสำหรับบรรทัดที่ 1 และ 2 ตามลำดับ ตัวเศษเป็นโมดูลัสของผลิตภัณฑ์ดอทที่ไม่รวมมุมป้านและพิจารณาเฉพาะมุมแหลม
เวกเตอร์ v1¯ และ v2¯ สามารถกำหนดได้จากพิกัดสองหรือสามตัว ในขณะที่สูตรสำหรับมุม φ ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
เส้นขนานและตั้งฉากของเส้น
หากมุมระหว่าง 2 บรรทัดที่คำนวณโดยใช้สูตรด้านบนคือ 0o จะเรียกว่าขนานกัน เพื่อตรวจสอบว่าเส้นขนานกันหรือไม่ คุณไม่สามารถคำนวณมุมφ ก็เพียงพอที่จะแสดงว่าเวกเตอร์ทิศทางเดียวสามารถแสดงผ่านเวกเตอร์ที่คล้ายกันของอีกบรรทัดหนึ่งได้ นั่นคือ:
v1¯=qv2¯
นี่คือจำนวนจริงของ q
ถ้าให้สมการของเส้นเป็น:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
จากนั้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของ x เท่ากันเท่านั้น นั่นคือ:
k1=k2
ความจริงข้อนี้พิสูจน์ได้ถ้าเราพิจารณาว่าสัมประสิทธิ์ k แสดงในรูปพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงอย่างไร
ถ้ามุมของทางแยกระหว่างเส้นคือ 90o จะเรียกว่าตั้งฉาก ในการพิจารณาความตั้งฉากของเส้นตรง ไม่จำเป็นต้องคำนวณมุม φ ด้วย เพราะสิ่งนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะคำนวณเฉพาะผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ v1¯ และ v 2¯. ต้องเป็นศูนย์
ในกรณีที่ตัดเส้นตรงในอวกาศ สามารถใช้สูตรของมุม φ ได้เช่นกัน ในกรณีนี้ ควรตีความผลลัพธ์ให้ถูกต้อง φ ที่คำนวณได้แสดงมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่ไม่ตัดกันและไม่ขนานกัน
งาน 1. เส้นตั้งฉาก
เป็นที่ทราบกันว่าสมการของเส้นมีรูปแบบดังนี้:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
จำเป็นต้องพิจารณาว่าเส้นเหล่านี้คือตั้งฉาก
ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น เพื่อตอบคำถาม การคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ของไกด์ก็เพียงพอแล้ว ซึ่งสอดคล้องกับพิกัด (1; 2) และ (-4; 2) เรามี:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
ตั้งแต่เราได้ 0 นี่หมายความว่าเส้นที่พิจารณาตัดกันเป็นมุมฉาก นั่นคือ เส้นตั้งฉาก
งาน 2. มุมแยกเส้น
เป็นที่ทราบกันว่าสมการสองสมการสำหรับเส้นตรงมีรูปแบบดังนี้:
y=2x - 1;
y=-x + 3
จำเป็นต้องหามุมระหว่างเส้น
เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ x มีค่าต่างกัน เส้นเหล่านี้จึงไม่ขนานกัน ในการหามุมที่เกิดขึ้นตอนที่มันตัดกัน เราแปลสมการแต่ละสมการให้อยู่ในรูปเวกเตอร์
สำหรับบรรทัดแรก เราได้:
(x; y)=(x; 2x - 1)
ทางด้านขวาของสมการ เราได้เวกเตอร์ซึ่งพิกัดขึ้นอยู่กับ x ลองแทนเป็นผลรวมของเวกเตอร์สองตัว และพิกัดของอันแรกจะมีตัวแปร x และพิกัดของอันที่สองจะประกอบด้วยตัวเลขเท่านั้น:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
เนื่องจาก x ใช้ค่าใด ๆ จึงสามารถแทนที่ด้วยพารามิเตอร์ α ได้ สมการเวกเตอร์สำหรับบรรทัดแรกกลายเป็น:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
เราทำสิ่งเดียวกันกับสมการที่สองของเส้นตรง เราได้:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
เราเขียนสมการเดิมในรูปแบบเวกเตอร์ ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับมุมของทางแยก โดยแทนที่พิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นในนั้น:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
ดังนั้น เส้นที่พิจารณาตัดกันที่มุม 71.565o หรือ 1.249 เรเดียน
ปัญหานี้แก้ไขได้แตกต่างออกไป ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องใช้จุดใดก็ได้สองจุดของเส้นตรงแต่ละเส้น เขียนเวกเตอร์ตรงจากนั้นใช้สูตรสำหรับ φ
