คำนวณมุมระหว่างเส้นในระนาบและในอวกาศ: สูตร

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

ปัญหาทางเรขาคณิตทั่วไปคือการหามุมระหว่างเส้น บนระนาบ ถ้าทราบสมการของเส้นตรง ก็สามารถวาดได้และวัดมุมด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ใช้ลำบากและไม่สามารถทำได้เสมอไป การหามุมที่มีชื่อไม่จำเป็นต้องวาดเส้นตรงก็สามารถคำนวณได้ บทความนี้จะตอบวิธีการทำ

เส้นตรงและสมการเวกเตอร์

เส้นตรงใดๆ สามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่ -∞ และสิ้นสุดที่ +∞ ในกรณีนี้ เวกเตอร์จะผ่านจุดหนึ่งในอวกาศ ดังนั้น เวกเตอร์ทั้งหมดที่สามารถลากระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรงจะขนานกัน คำจำกัดความนี้ให้คุณกำหนดสมการของเส้นตรงในรูปแบบเวกเตอร์:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

ที่นี่เวกเตอร์ที่มีพิกัด (a; b; c) เป็นแนวทางสำหรับเส้นนี้ที่ผ่านจุด (x₀; y_{0; z}0_{).พารามิเตอร์ α อนุญาตให้คุณถ่ายโอนจุดที่ระบุไปยังจุดอื่นสำหรับบรรทัดนี้ สมการนี้ใช้งานง่ายและใช้งานง่ายทั้งในพื้นที่ 3 มิติและบนเครื่องบิน สำหรับเครื่องบิน จะไม่มีพิกัด z และองค์ประกอบเวกเตอร์ทิศทางที่สาม}

ความสะดวกในการคำนวณและศึกษาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงอันเนื่องมาจากการใช้สมการเวกเตอร์นั้นเกิดจากการที่รู้เวกเตอร์ทิศทางของมัน พิกัดของมันถูกใช้ในการคำนวณมุมระหว่างเส้นและระยะห่างระหว่างเส้น

สมการทั่วไปสำหรับเส้นตรงบนเครื่องบิน

มาเขียนสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงสำหรับกรณีสองมิติให้ชัดเจนกัน ดูเหมือนว่า:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb}

ตอนนี้เราคำนวณพารามิเตอร์ α สำหรับแต่ละความเท่าเทียมกันและเท่ากับส่วนที่ถูกต้องของความเท่าเทียมกันที่ได้รับ:

α=(x - x_0)/a;

α=(y - y_0)/b;

(x - x₀)/a=(y - y_0)/b

เมื่อเปิดวงเล็บและถ่ายโอนเงื่อนไขทั้งหมดไปยังด้านใดด้านหนึ่งของความเสมอภาค เราได้:

1/ax +(-1/b)y+y₀/b- x_0/a=0=>

Ax + By + C=0, โดยที่ A=1/a, B=-1/b, C=y₀/b- x 0_/a

นิพจน์ผลลัพธ์เรียกว่าสมการทั่วไปสำหรับเส้นตรงที่กำหนดในพื้นที่สองมิติ (ในสามมิติสมการนี้จะสอดคล้องกับระนาบที่ขนานกับแกน z ไม่ใช่เส้นตรง)

ถ้าเราเขียน y ถึง x อย่างชัดเจนในนิพจน์นี้ เราก็จะได้รูปแบบต่อไปนี้ รู้จักนักเรียนแต่ละคน:

y=kx + p โดยที่ k=-A/B, p=-C/B

สมการเชิงเส้นนี้กำหนดเส้นตรงบนระนาบอย่างไม่ซ้ำใคร มันง่ายมากที่จะวาดตามสมการที่รู้จักกันดี สำหรับสิ่งนี้ คุณควรใส่ x=0 และ y=0 สลับกัน ทำเครื่องหมายจุดที่เกี่ยวข้องในระบบพิกัดและวาดเส้นตรงเชื่อมจุดที่ได้รับ

สูตรของมุมระหว่างบรรทัด

บนเครื่องบิน เส้นสองเส้นสามารถตัดกันหรือขนานกันก็ได้ ในอวกาศตัวเลือกเหล่านี้จะเพิ่มความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของเส้นเอียง ไม่ว่ารุ่นของตำแหน่งสัมพัทธ์ของวัตถุเรขาคณิตหนึ่งมิติเหล่านี้จะถูกนำไปใช้ มุมระหว่างพวกมันสามารถกำหนดได้โดยสูตรต่อไปนี้:

φ=arccos(|(v₁¯v₂¯)|/(|v₁ ¯||v_2¯|))

ที่ไหน v₁¯ และ v_{2¯ เป็นเวกเตอร์แนะนำสำหรับบรรทัดที่ 1 และ 2 ตามลำดับ ตัวเศษเป็นโมดูลัสของผลิตภัณฑ์ดอทที่ไม่รวมมุมป้านและพิจารณาเฉพาะมุมแหลม}

เวกเตอร์ v₁¯ และ v_{2¯ สามารถกำหนดได้จากพิกัดสองหรือสามตัว ในขณะที่สูตรสำหรับมุม φ ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง}

เส้นขนานและตั้งฉากของเส้น

หากมุมระหว่าง 2 บรรทัดที่คำนวณโดยใช้สูตรด้านบนคือ 0o จะเรียกว่าขนานกัน เพื่อตรวจสอบว่าเส้นขนานกันหรือไม่ คุณไม่สามารถคำนวณมุมφ ก็เพียงพอที่จะแสดงว่าเวกเตอร์ทิศทางเดียวสามารถแสดงผ่านเวกเตอร์ที่คล้ายกันของอีกบรรทัดหนึ่งได้ นั่นคือ:

v₁¯=qv_2¯

นี่คือจำนวนจริงของ q

ถ้าให้สมการของเส้นเป็น:

y=k₁x + p_1,

y=k₂x + p_2,

จากนั้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของ x เท่ากันเท่านั้น นั่นคือ:

k₁=k₂

ความจริงข้อนี้พิสูจน์ได้ถ้าเราพิจารณาว่าสัมประสิทธิ์ k แสดงในรูปพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงอย่างไร

ถ้ามุมของทางแยกระหว่างเส้นคือ 90^o จะเรียกว่าตั้งฉาก ในการพิจารณาความตั้งฉากของเส้นตรง ไม่จำเป็นต้องคำนวณมุม φ ด้วย เพราะสิ่งนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะคำนวณเฉพาะผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ v₁¯ และ v 2_{¯. ต้องเป็นศูนย์}

ในกรณีที่ตัดเส้นตรงในอวกาศ สามารถใช้สูตรของมุม φ ได้เช่นกัน ในกรณีนี้ ควรตีความผลลัพธ์ให้ถูกต้อง φ ที่คำนวณได้แสดงมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่ไม่ตัดกันและไม่ขนานกัน

งาน 1. เส้นตั้งฉาก

เป็นที่ทราบกันว่าสมการของเส้นมีรูปแบบดังนี้:

(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);

(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)

จำเป็นต้องพิจารณาว่าเส้นเหล่านี้คือตั้งฉาก

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น เพื่อตอบคำถาม การคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ของไกด์ก็เพียงพอแล้ว ซึ่งสอดคล้องกับพิกัด (1; 2) และ (-4; 2) เรามี:

(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0

ตั้งแต่เราได้ 0 นี่หมายความว่าเส้นที่พิจารณาตัดกันเป็นมุมฉาก นั่นคือ เส้นตั้งฉาก

งาน 2. มุมแยกเส้น

เป็นที่ทราบกันว่าสมการสองสมการสำหรับเส้นตรงมีรูปแบบดังนี้:

y=2x - 1;

y=-x + 3

จำเป็นต้องหามุมระหว่างเส้น

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ x มีค่าต่างกัน เส้นเหล่านี้จึงไม่ขนานกัน ในการหามุมที่เกิดขึ้นตอนที่มันตัดกัน เราแปลสมการแต่ละสมการให้อยู่ในรูปเวกเตอร์

สำหรับบรรทัดแรก เราได้:

(x; y)=(x; 2x - 1)

ทางด้านขวาของสมการ เราได้เวกเตอร์ซึ่งพิกัดขึ้นอยู่กับ x ลองแทนเป็นผลรวมของเวกเตอร์สองตัว และพิกัดของอันแรกจะมีตัวแปร x และพิกัดของอันที่สองจะประกอบด้วยตัวเลขเท่านั้น:

(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)

เนื่องจาก x ใช้ค่าใด ๆ จึงสามารถแทนที่ด้วยพารามิเตอร์ α ได้ สมการเวกเตอร์สำหรับบรรทัดแรกกลายเป็น:

(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)

เราทำสิ่งเดียวกันกับสมการที่สองของเส้นตรง เราได้:

(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>

(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)

เราเขียนสมการเดิมในรูปแบบเวกเตอร์ ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับมุมของทางแยก โดยแทนที่พิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นในนั้น:

(1; 2)(1; -1)=-1;

|(1; 2)|=√5;

|(1; -1)|=√2;

φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o

ดังนั้น เส้นที่พิจารณาตัดกันที่มุม 71.565o หรือ 1.249 เรเดียน

ปัญหานี้แก้ไขได้แตกต่างออกไป ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องใช้จุดใดก็ได้สองจุดของเส้นตรงแต่ละเส้น เขียนเวกเตอร์ตรงจากนั้นใช้สูตรสำหรับ φ