ความเร่งในแนวดิ่งหรือแนวสัมผัส

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

ร่างกายทั้งหมดที่อยู่รอบตัวเราเคลื่อนไหวอย่างต่อเนื่อง การเคลื่อนที่ของวัตถุในอวกาศนั้นสังเกตได้ในทุกระดับ เริ่มจากการเคลื่อนที่ของอนุภาคมูลฐานในอะตอมของสสารและจบลงด้วยการเคลื่อนที่อย่างรวดเร็วของดาราจักรในจักรวาล ไม่ว่าในกรณีใดกระบวนการเคลื่อนที่จะเกิดขึ้นด้วยความเร่ง ในบทความนี้ เราจะพิจารณารายละเอียดแนวคิดของการเร่งความเร็วในแนวสัมผัสและให้สูตรที่สามารถคำนวณได้

ปริมาณจลนศาสตร์

ก่อนจะพูดถึงความเร่งในแนวสัมผัส ลองมาคิดกันดูก่อนว่าปริมาณใดเป็นธรรมเนียมที่จะต้องกำหนดลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุในอวกาศตามอำเภอใจ

อย่างแรกนี่คือเส้นทาง L แสดงระยะทางเป็นเมตร เซนติเมตร กิโลเมตร เป็นต้น ร่างกายได้เดินทางในช่วงระยะเวลาหนึ่ง

ลักษณะสำคัญที่สองของจลนศาสตร์คือความเร็วของร่างกาย ต่างจากเส้นทาง มันเป็นปริมาณเวกเตอร์และชี้ไปตามวิถีการเคลื่อนไหวของร่างกาย ความเร็วกำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงของพิกัดเชิงพื้นที่ในเวลา สูตรการคำนวณคือ

v¯=dL/dt

ความเร็วเป็นเวลาอนุพันธ์ของเส้นทาง

สุดท้าย ลักษณะสำคัญที่สามของการเคลื่อนไหวของร่างกายคือการเร่งความเร็ว ตามคำจำกัดความในฟิสิกส์ ความเร่งคือปริมาณที่กำหนดการเปลี่ยนแปลงของความเร็วตามเวลา สูตรสามารถเขียนได้ดังนี้:

a¯=dv¯/dt

ความเร่งเช่นเดียวกับความเร็วก็เป็นปริมาณเวกเตอร์เช่นกัน แต่ต่างจากมันตรงที่ความเร็วจะเปลี่ยนไป ทิศทางของความเร่งยังเกิดขึ้นพร้อมกับเวกเตอร์ของแรงที่เกิดขึ้นที่กระทำต่อร่างกาย

วิถีและความเร่ง

ปัญหามากมายในฟิสิกส์ถือว่าอยู่ในกรอบของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ตามกฎแล้วพวกเขาจะไม่พูดถึงความเร่งในแนวสัมผัสของจุด แต่ทำงานด้วยความเร่งเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม หากการเคลื่อนไหวของร่างกายไม่เป็นเชิงเส้น ความเร่งเต็มที่สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วน:

• แทนเจนต์;
• ปกติ

ในกรณีของการเคลื่อนที่เชิงเส้น องค์ประกอบปกติคือศูนย์ เราจะไม่พูดถึงเวกเตอร์การขยายตัวของการเร่งความเร็ว

ดังนั้น วิถีการเคลื่อนที่ส่วนใหญ่จะกำหนดลักษณะและองค์ประกอบของความเร่งเต็มที่ วิถีการเคลื่อนที่เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นเส้นจินตภาพในอวกาศตามร่างกายเคลื่อนไหว ใดๆวิถีโคจรโค้งนำไปสู่การปรากฏตัวของส่วนประกอบการเร่งความเร็วที่ไม่เป็นศูนย์ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น

การหาความเร่งในแนวสัมผัส

สัมผัสหรือที่เรียกอีกอย่างว่าความเร่งในแนวสัมผัสเป็นองค์ประกอบของการเร่งความเร็วเต็มที่ซึ่งมุ่งตรงไปยังวิถีการเคลื่อนที่ เนื่องจากความเร็วยังมุ่งไปตามวิถีด้วย เวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัสจึงเกิดขึ้นพร้อมกับเวกเตอร์ความเร็ว

แนวคิดของการเร่งความเร็วเป็นตัววัดการเปลี่ยนแปลงของความเร็วได้รับข้างต้น เนื่องจากความเร็วเป็นเวกเตอร์ จึงสามารถเปลี่ยนแปลงได้ทั้งแบบโมดูโลหรือแบบทิศทาง ความเร่งในแนวสัมผัสกำหนดเฉพาะการเปลี่ยนแปลงในโมดูลัสความเร็ว

โปรดทราบว่าในกรณีของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง เวกเตอร์ความเร็วจะไม่เปลี่ยนทิศทาง ดังนั้น ตามคำจำกัดความข้างต้น ความเร่งในแนวสัมผัสและความเร่งเชิงเส้นจึงเป็นค่าเดียวกัน

รับสมการความเร่งในแนวสัมผัส

สมมติว่าร่างกายเคลื่อนไปตามวิถีโค้งบ้าง จากนั้นความเร็วของ v¯ ที่จุดที่เลือกสามารถแสดงได้ดังนี้:

v¯=vu_t¯

ที่นี่ v คือโมดูลัสของเวกเตอร์ v¯, u_{t¯ คือเวกเตอร์ความเร็วของหน่วยที่กำกับในแนวสัมผัสไปยังวิถีโคจร}

ใช้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของการเร่งความเร็ว เราได้รับ:

a¯=dv¯/dt=d(vu_t¯)/dt=dv/dtu_t ¯ + vd(u_t¯)/dt

เมื่อหาอนุพันธ์ คุณสมบัติของผลคูณของสองฟังก์ชันถูกนำมาใช้ที่นี่ เราจะเห็นว่าความเร่งรวม a¯ ณ จุดที่พิจารณานั้นสอดคล้องกับผลรวมของสองเทอม พวกมันคือแทนเจนต์และความเร่งปกติของจุดตามลำดับ

พูดถึงความเร่งปกติสักสองสามคำ มีหน้าที่ในการเปลี่ยนเวกเตอร์ความเร็ว นั่นคือ การเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุตามแนวโค้ง หากเราคำนวณค่าของเทอมที่สองอย่างชัดแจ้ง เราจะได้สูตรสำหรับการเร่งความเร็วปกติ:

a=vd(u_t¯)/dt=v^{2/ ร}

ความเร่งปกติจะพุ่งไปตามเส้นปกติที่คืนค่าไปยังจุดที่กำหนดของเส้นโค้ง ในกรณีของการเคลื่อนที่เป็นวงกลม ความเร่งปกติคือศูนย์กลาง

สมการความเร่งในแนวดิ่ง a_{t¯ is:}

a_t¯=dv/dtu_t¯

นิพจน์นี้บอกว่าความเร่งในแนวสัมผัสไม่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงทิศทาง แต่กับการเปลี่ยนแปลงในโมดูลัสความเร็ว v¯ ในช่วงเวลาหนึ่ง เนื่องจากความเร่งในแนวสัมผัสถูกชี้ในแนวสัมผัสไปยังจุดที่พิจารณาของวิถี มันจึงตั้งฉากกับองค์ประกอบปกติเสมอ

ความเร่งในแนวดิ่งและโมดูลัสความเร่งรวม

ข้อมูลทั้งหมดข้างต้นถูกนำเสนอที่ให้คุณคำนวณความเร่งทั้งหมดผ่านแทนเจนต์และค่าปกติ อันที่จริง เนื่องจากองค์ประกอบทั้งสองตั้งฉากกัน เวกเตอร์ของพวกมันจึงสร้างขาของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งด้านตรงข้ามมุมฉากคือเวกเตอร์ความเร่งรวม ข้อเท็จจริงนี้ทำให้เราสามารถเขียนสูตรสำหรับโมดูลการเร่งความเร็วทั้งหมดในรูปแบบต่อไปนี้:

a=√(a² + a_t2)

มุม θ ระหว่างความเร่งเต็มที่และความเร่งในแนวสัมผัสสามารถกำหนดได้ดังนี้:

θ=arccos(a_t/a)

ยิ่งความเร่งในแนวดิ่งมาก ทิศทางของเส้นสัมผัสยิ่งใกล้และความเร่งเต็มที่

ความสัมพันธ์ระหว่างการเร่งความเร็วในแนวสัมผัสและเชิงมุม

วิถีโค้งโดยทั่วไปที่ร่างกายเคลื่อนไหวในเทคโนโลยีและธรรมชาติเป็นวงกลม อันที่จริงการเคลื่อนที่ของเฟือง ใบมีด และดาวเคราะห์รอบแกนของมันเองหรือรอบดวงดารานั้นเกิดขึ้นเป็นวงกลมอย่างแม่นยำ การเคลื่อนไหวที่สอดคล้องกับวิถีนี้เรียกว่าการหมุน

จลนศาสตร์ของการหมุนนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยค่าเดียวกันกับจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรง อย่างไรก็ตาม พวกมันมีลักษณะเชิงมุม ดังนั้น เพื่ออธิบายการหมุน จึงใช้มุมศูนย์กลางของการหมุน θ ความเร็วเชิงมุม ω และความเร่ง α สูตรต่อไปนี้ใช้ได้กับปริมาณเหล่านี้:

ω=dθ/dt;

α=dω/dt

สมมติว่าร่างกายทำการหมุนรอบแกนของการหมุนหนึ่งครั้งในเวลา t จากนั้นสำหรับความเร็วเชิงมุม เราสามารถเขียนได้ว่า:

ω=2pi/t

ความเร็วเชิงเส้นในกรณีนี้จะเท่ากับ:

v=2pir/t

โดยที่ r คือรัศมีของวิถี สองนิพจน์สุดท้ายทำให้เราเขียนสูตรสำหรับการเชื่อมต่อของสองความเร็ว:

v=ωr

ตอนนี้เราคำนวณอนุพันธ์เวลาของด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ เราจะได้:

dv/dt=rdω/dt

ด้านขวาของความเท่ากันเป็นผลคูณของความเร่งเชิงมุมและรัศมีของวงกลม ด้านซ้ายของสมการคือการเปลี่ยนแปลงของโมดูลัสความเร็ว นั่นคือ ความเร่งในแนวสัมผัส

ดังนั้น ความเร่งในแนวสัมผัสและค่าเชิงมุมที่คล้ายกันสัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกัน:

a_t=αr

ถ้าเราคิดว่าจานหมุนอยู่ ความเร่งในแนวสัมผัสของจุดที่ค่าคงที่ของ α จะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงตามระยะห่างที่เพิ่มขึ้นจากจุดนี้ไปยังแกนหมุน r

ต่อไป เราจะแก้ปัญหาสองข้อโดยใช้สูตรข้างต้น

การหาความเร่งในแนวสัมผัสจากฟังก์ชันความเร็วที่รู้จัก

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความเร็วของร่างกายที่เคลื่อนที่ไปตามวิถีโค้งนั้นอธิบายโดยฟังก์ชันของเวลาต่อไปนี้:

v=2t2+ 3t + 5

จำเป็นต้องกำหนดสูตรเพื่อความเร่งในแนวสัมผัสและหาค่าของมัน ณ เวลา t=5 วินาที

ขั้นแรก มาเขียนสูตรสำหรับโมดูลความเร่งแนวสัมผัสกัน:

a_t=dv/dt

นั่นคือ ในการคำนวณฟังก์ชัน a_{t(t) คุณควรหาอนุพันธ์ของความเร็วตามเวลา เรามี:}

a_t=d(2t^{2+ 3t + 5)/dt=4t + 3}

เวลาแทนที่ t=5 วินาทีในนิพจน์ผลลัพธ์ เรามาถึงคำตอบ: a_t=23 m/s²

โปรดทราบว่ากราฟความเร็วเทียบกับเวลาในปัญหานี้เป็นพาราโบลา ในขณะที่กราฟของการเร่งในแนวสัมผัสเป็นเส้นตรง

งานเร่งความเร็วในแนวดิ่ง

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าจุดวัสดุเริ่มหมุนเร็วขึ้นอย่างสม่ำเสมอจากจุดศูนย์ของเวลา 10 วินาทีหลังจากเริ่มการหมุน ความเร่งสู่ศูนย์กลางของมันก็เท่ากับ 20 เมตร/วินาที2 จำเป็นต้องกำหนดความเร่งในแนวสัมผัสของจุดหลังจาก 10 วินาที หากทราบว่ารัศมีการหมุนคือ 1 เมตร

ขั้นแรก ให้เขียนสูตรความเร่งสู่ศูนย์กลางหรือความเร่งปกติ a_c:

a_c=v^2/r

ใช้สูตรสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุม เราได้:

a_c=ω^2r

ในการเคลื่อนที่ที่เร่งความเร็วสม่ำเสมอ ความเร็วและความเร่งเชิงมุมสัมพันธ์กันโดยสูตร:

ω=αt

แทนที่ ω ลงในสมการของ a_{c เราจะได้:}

a_c=α²t^2r

ความเร่งเชิงเส้นตามความเร่งในแนวสัมผัสมีการแสดงดังนี้:

α=a_t/r

แทนที่ความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็นอันสุดท้าย เราจะได้:

a_c=a_t²/r² t²r=a_t²/rt^2=>

a_t=√(a_cr)/t

สูตรสุดท้ายโดยคำนึงถึงข้อมูลจากสภาพปัญหานำไปสู่คำตอบ: a_t=0, 447m/s^2.