ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขายกกำลังสอง

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

นักเรียนทุกคนรู้ว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากมีค่าเท่ากับผลรวมของขาเสมอ ซึ่งแต่ละอันเป็นกำลังสอง ข้อความนี้เรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงที่สุดในวิชาตรีโกณมิติและคณิตศาสตร์โดยทั่วไป พิจารณาให้ละเอียดยิ่งขึ้น

แนวคิดของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก่อนพิจารณาทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขาที่ยกกำลังสอง ควรพิจารณาแนวคิดและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งทฤษฎีบทนั้น ถูกต้อง

สามเหลี่ยมเป็นรูปแบนที่มีสามมุมและสามด้าน สามเหลี่ยมมุมฉาก ตามชื่อของมัน มีมุมฉากหนึ่งมุม นั่นคือ มุมนี้คือ 90o.

จากคุณสมบัติทั่วไปของสามเหลี่ยมทั้งหมด เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าผลรวมของทั้งสามมุมของรูปนี้คือ 180^o ซึ่งหมายความว่าสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นผลรวมของ สองมุมที่ไม่ถูกต้อง คือ 180^o -90^o=90^o. ความจริงข้อสุดท้ายหมายความว่ามุมใดๆ ในสามเหลี่ยมมุมฉากที่ไม่ใช่มุมฉากจะน้อยกว่า 90^{o. เสมอ}

ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก อีกสองข้างที่เหลือคือขาของสามเหลี่ยม พวกมันจะเท่ากัน หรือต่างกันก็ได้ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วจากตรีโกณมิติว่ายิ่งมุมตรงข้ามกับด้านอยู่ในรูปสามเหลี่ยมมากเท่าใด ความยาวของด้านนี้ก็จะยิ่งมากขึ้น ซึ่งหมายความว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก (อยู่ตรงข้ามมุม 90^o) จะมากกว่าขาใดๆ เสมอ (อยู่ตรงข้ามมุม < 90^o).

สัญกรณ์คณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขาซึ่งแต่ละอันจะถูกยกกำลังสองก่อนหน้านี้ ในการเขียนสูตรนี้ทางคณิตศาสตร์ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่ด้าน a, b และ c คือขาทั้งสองข้างและด้านตรงข้ามมุมฉากตามลำดับ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทซึ่งระบุเป็นกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของขา สามารถแสดงได้ด้วยสูตรต่อไปนี้: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. จากที่นี่ สามารถหาสูตรอื่นๆ ที่สำคัญสำหรับการปฏิบัติได้: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) และ c=√(a}2 ^{+ b}2⁾

โปรดทราบว่าในกรณีของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีมุมฉาก นั่นคือ a=b สูตร: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขาแต่ละอันกำลังสอง เขียนทางคณิตศาสตร์เป็น: c²=a² + b²=2a ^{2ซึ่งแสดงถึงความเท่าเทียมกัน: c=a√2.}

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งบอกว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขาซึ่งแต่ละอันมีกำลังสอง เป็นที่ทราบกันมานานแล้วก่อนที่ปราชญ์ชาวกรีกผู้โด่งดังจะให้ความสนใจ papyri จำนวนมากของอียิปต์โบราณรวมทั้งแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนยืนยันว่าคนเหล่านี้ใช้คุณสมบัติที่ระบุไว้ของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่างเช่น ปิรามิดแห่งอียิปต์แห่งแรกคือพีระมิดแห่งคาเฟรซึ่งมีการก่อสร้างย้อนหลังไปถึงศตวรรษที่ 26 ก่อนคริสตกาล (2,000 ปีก่อนชีวิตของพีธากอรัส) สร้างขึ้นจากความรู้เรื่องอัตราส่วนในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3x4x5

แล้วทำไมทฤษฎีบทถึงตั้งชื่อตามภาษากรีกล่ะ? คำตอบนั้นง่าย: พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ทางคณิตศาสตร์ งานเขียนของชาวบาบิโลนและอียิปต์ที่รอดตายกล่าวถึงการใช้งานเท่านั้น แต่ไม่ได้ให้หลักฐานทางคณิตศาสตร์ใดๆ

เชื่อกันว่าพีทาโกรัสได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่กำลังพิจารณาโดยใช้คุณสมบัติของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ซึ่งเขาได้มาจากการวาดความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจากมุม 90o ถึง ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พิจารณาปัญหาง่ายๆ: จำเป็นต้องกำหนดความยาวของบันไดเอียง L หากทราบว่ามีความสูง H=3เมตร และระยะห่างจากผนังที่บันไดติดกับเท้าคือ P=2.5 เมตร

ในกรณีนี้ H และ P คือขา และ L คือด้านตรงข้ามมุมฉาก เนื่องจากความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของขา เราได้: L²=H² + P 2 ^{โดยที่ L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3.905 เมตร หรือ 3 เมตร และ 90.5 ซม.}