ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันทำให้เด็กนักเรียนลำบาก ความสามารถในการคำนวณอาร์คแทนเจนต์ของตัวเลขอาจจำเป็นในงาน USE ในการวัดระนาบและสเตอริโอเมทรี หากต้องการแก้สมการและปัญหากับพารามิเตอร์ให้สำเร็จ คุณต้องเข้าใจคุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์คแทนเจนต์
คำจำกัดความ
อาร์คแทนเจนต์ของจำนวน x คือจำนวน y ที่มีแทนเจนต์เป็น x นี่คือคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์
ฟังก์ชันอาร์คแทนเจนต์เขียนเป็น y=arctg x.
โดยทั่วไป: y=Carctg (kx + a).
การคำนวณ
เพื่อให้เข้าใจว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันของอาร์กแทนเจนต์ทำงานอย่างไร ก่อนอื่นคุณต้องจำวิธีการหาค่าของแทนเจนต์ของตัวเลข มาดูกันดีกว่า
แทนเจนต์ของ x คืออัตราส่วนของไซน์ของ x ต่อโคไซน์ของ x หากทราบปริมาณอย่างน้อยหนึ่งในสองจำนวนนี้ โมดูลัสของวินาทีสามารถรับได้จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:
sin2 x + cos2 x=1.
เป็นที่ยอมรับว่าจะต้องทำการประเมินเพื่อปลดล็อกโมดูล
ถ้าตัวเลขนั้นเป็นที่รู้จัก ไม่ใช่ลักษณะตรีโกณมิติ ในกรณีส่วนใหญ่ จำเป็นต้องประมาณค่าแทนเจนต์ของตัวเลขโดยประมาณโดยอ้างอิงจากตาราง Bradis
ข้อยกเว้นคือสิ่งที่เรียกว่าค่ามาตรฐาน
แสดงในตารางต่อไปนี้:
นอกเหนือจากข้างต้น ค่าใดๆ ที่ได้รับจากข้อมูลโดยการเพิ่มตัวเลขของรูปแบบ ½πк (к - จำนวนเต็มใดๆ π=3, 14) ถือเป็นมาตรฐานได้
ก็เช่นเดียวกันสำหรับอาร์คแทนเจนต์: ส่วนใหญ่มักจะเห็นค่าโดยประมาณจากตาราง แต่ค่าที่แน่นอนเท่านั้นที่ทราบ:
ในทางปฏิบัติ เมื่อแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน เป็นเรื่องปกติที่จะให้คำตอบในรูปแบบของนิพจน์ที่มีแทนเจนต์ส่วนโค้ง ไม่ใช่ค่าประมาณโดยประมาณ ตัวอย่างเช่น arctg 6, arctg (-¼).
พล็อตกราฟ
เนื่องจากแทนเจนต์สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ โดเมนของฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์จึงเป็นเส้นจำนวนทั้งหมด มาอธิบายให้ละเอียดกันดีกว่า
แทนเจนต์เดียวกันสอดคล้องกับอาร์กิวเมนต์จำนวนอนันต์ ตัวอย่างเช่น ไม่ใช่แค่แทนเจนต์ของศูนย์เท่ากับศูนย์ แต่ยังรวมถึงแทนเจนต์ของตัวเลขใดๆ ของรูปแบบ π k โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มด้วย ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงตกลงที่จะเลือกค่าสำหรับอาร์คแทนเจนต์จากช่วงเวลาตั้งแต่ -½ π ถึง ½ π จะต้องเข้าใจในลักษณะนี้ พิสัยของฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์คือช่วง (-½ π; ½ π) ไม่รวมจุดสิ้นสุดของช่องว่าง เนื่องจากไม่มีแทนเจนต์ -½p และ ½p
ในช่วงเวลาที่กำหนด แทนเจนต์จะต่อเนื่องเพิ่มขึ้น ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันผกผันของอาร์คแทนเจนต์ยังเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องในเส้นจำนวนทั้งหมด แต่ถูกจำกัดจากด้านบนและด้านล่าง เป็นผลให้มีเส้นกำกับแนวนอนสองเส้น: y=-½ π และ y=½ π.
ในกรณีนี้ tg 0=0, จุดตัดอื่นๆ ที่มีแกน abscissa ยกเว้น (0;0) กราฟไม่สามารถมีได้เนื่องจากการเพิ่มขึ้น
จากพาริตีของฟังก์ชันแทนเจนต์ อาร์กแทนเจนต์มีคุณสมบัติคล้ายกัน
ในการสร้างกราฟ หาค่าหลายจุดจากค่ามาตรฐาน:
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=arctg x ณ จุดใดๆ คำนวณโดยสูตร:
สังเกตว่าอนุพันธ์ของมันเป็นบวกทุกที่ ซึ่งสอดคล้องกับข้อสรุปที่ทำไว้ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องของฟังก์ชัน
อนุพันธ์อันดับสองของอาร์คแทนเจนต์หายไปที่จุด 0 เป็นลบสำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์ และในทางกลับกัน
นี่หมายความว่ากราฟของฟังก์ชันอาร์คแทนเจนต์มีจุดเปลี่ยนเว้าที่ศูนย์และนูนลงที่ช่วง (-∞; 0] และนูนขึ้นบนช่วง [0; +∞)
