แม้ที่โรงเรียน นักเรียนทุกคนจะคุ้นเคยกับแนวคิดของ "เรขาคณิตแบบยุคลิด" ซึ่งบทบัญญัติหลักจะเน้นไปที่สัจพจน์หลายประการตามองค์ประกอบทางเรขาคณิต เช่น จุด ระนาบ เส้น การเคลื่อนที่ ทั้งหมดรวมกันเป็นสิ่งที่รู้จักกันมานานภายใต้คำว่า "Euclidean space"
Euclidean space ซึ่งมีคำจำกัดความตามแนวคิดของการคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ เป็นกรณีพิเศษของปริภูมิเชิงเส้น (affine) ที่ตรงตามข้อกำหนดจำนวนหนึ่ง อย่างแรก ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์มีความสมมาตรอย่างยิ่ง กล่าวคือ เวกเตอร์ที่มีพิกัด (x;y) นั้นเหมือนกันในเชิงปริมาณกับเวกเตอร์ที่มีพิกัด (y;x) แต่มีทิศทางตรงกันข้าม
ประการที่สอง หากทำผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ด้วยตัวมันเอง ผลลัพธ์ของการกระทำนี้จะเป็นค่าบวก ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือกรณีที่พิกัดเริ่มต้นและสุดท้ายของเวกเตอร์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์: ในกรณีนี้ ผลคูณของตัวมันเองจะเท่ากับศูนย์ด้วย
ประการที่สาม ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เป็นแบบกระจาย กล่าวคือ เป็นไปได้ที่จะแยกพิกัดหนึ่งในพิกัดของมันเป็นผลรวมของสองค่า ซึ่งจะไม่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงใดๆ ในผลลัพธ์สุดท้ายของการคูณเวกเตอร์สเกลาร์ สุดท้าย ประการที่สี่ เมื่อเวกเตอร์คูณด้วยจำนวนจริงเดียวกัน ผลคูณของสเกลาร์ก็จะเพิ่มขึ้นด้วยปัจจัยเดียวกัน
หากตรงตามเงื่อนไขทั้งสี่นี้ เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าเรามีช่องว่างแบบยุคลิด
พื้นที่ยุคลิดจากมุมมองที่ใช้งานได้จริงสามารถอธิบายได้ด้วยตัวอย่างเฉพาะต่อไปนี้:
- กรณีที่ง่ายที่สุดคือการมีอยู่ของชุดเวกเตอร์ที่มีผลคูณสเกลาร์ซึ่งกำหนดตามกฎพื้นฐานของเรขาคณิต
- พื้นที่แบบยุคลิดจะได้มาด้วย หากเวกเตอร์เราหมายถึงชุดจำนวนจริงจำนวนจำกัดที่แน่นอนด้วยสูตรที่กำหนดซึ่งอธิบายผลรวมสเกลาร์หรือผลคูณของพวกมัน
- กรณีพิเศษของสเปซแบบยุคลิดคือสิ่งที่เรียกว่าสเปซศูนย์ ซึ่งได้มาหากความยาวสเกลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสองเท่ากับศูนย์
Euclidean space มีคุณสมบัติเฉพาะจำนวนหนึ่ง ประการแรก ตัวประกอบสเกลาร์สามารถนำออกจากวงเล็บได้ทั้งจากปัจจัยที่หนึ่งและตัวที่สองของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ผลลัพธ์จากสิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงแต่อย่างใด ประการที่สอง พร้อมกับการกระจายตัวขององค์ประกอบแรกของสเกลาร์ผลิตภัณฑ์การกระจายขององค์ประกอบที่สองก็ทำหน้าที่เช่นกัน นอกจากนี้ นอกเหนือจากผลรวมสเกลาร์ของเวกเตอร์แล้ว การแจกแจงยังเกิดขึ้นในกรณีของการลบเวกเตอร์ด้วย สุดท้าย ประการที่สาม เมื่อเวกเตอร์คูณสเกลาร์ด้วยศูนย์ ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์ด้วย
ดังนั้น ปริภูมิแบบยุคลิดจึงเป็นแนวคิดทางเรขาคณิตที่สำคัญที่สุดที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยการจัดเรียงเวกเตอร์ที่สัมพันธ์กันซึ่งมีลักษณะเฉพาะโดยแนวคิดเช่นผลคูณสเกลาร์
