Fourier series เป็นตัวแทนของฟังก์ชันที่นำโดยพลการโดยมีช่วงเวลาเฉพาะเป็นอนุกรม โดยทั่วไป การแก้ปัญหานี้เรียกว่าการสลายตัวขององค์ประกอบในลักษณะมุมฉาก การขยายฟังก์ชันในอนุกรมฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพพอสมควรสำหรับการแก้ปัญหาต่างๆ เนื่องจากคุณสมบัติของการแปลงนี้เมื่อรวม แยกความแตกต่าง ตลอดจนเปลี่ยนนิพจน์ในการโต้แย้งและการโน้มน้าวใจ
คนที่ไม่คุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงรวมถึงผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อฟูริเยร์ มักจะไม่เข้าใจว่า “แถว” เหล่านี้คืออะไรและมีไว้เพื่ออะไร ในขณะเดียวกัน การเปลี่ยนแปลงนี้ค่อนข้างหนาแน่นในชีวิตของเรา มันไม่ได้ถูกใช้โดยนักคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้โดยนักฟิสิกส์ นักเคมี แพทย์ นักดาราศาสตร์ นักแผ่นดินไหววิทยา นักสมุทรศาสตร์ และอื่นๆ อีกมากมาย มาดูรายละเอียดผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ที่ค้นพบล่วงหน้ากันดีกว่า
มนุษย์กับการแปลงฟูริเยร์
อนุกรมฟูริเยร์เป็นหนึ่งในวิธีการ (พร้อมกับการวิเคราะห์และอื่นๆ) ของการแปลงฟูริเยร์ กระบวนการนี้เกิดขึ้นทุกครั้งที่มีคนได้ยินเสียง หูของเราจะแปลงเสียงโดยอัตโนมัติคลื่น การเคลื่อนที่แบบสั่นของอนุภาคมูลฐานในตัวกลางที่ยืดหยุ่นได้จะถูกย่อยสลายเป็นแถว (ตามสเปกตรัม) ของค่าที่ต่อเนื่องกันของระดับเสียงสำหรับโทนสีที่มีความสูงต่างกัน ต่อไป สมองจะเปลี่ยนข้อมูลนี้เป็นเสียงที่เราคุ้นเคย ทั้งหมดนี้เกิดขึ้นนอกเหนือจากความปรารถนาหรือจิตสำนึกของเราด้วยตัวมันเอง แต่เพื่อที่จะเข้าใจกระบวนการเหล่านี้ จะต้องใช้เวลาหลายปีในการศึกษาคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น
เพิ่มเติมเกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์
การแปลงฟูริเยร์สามารถทำได้โดยการวิเคราะห์ ตัวเลข และวิธีอื่นๆ อนุกรมฟูริเยร์หมายถึงวิธีตัวเลขในการย่อยสลายกระบวนการแกว่งใดๆ ตั้งแต่กระแสน้ำในมหาสมุทรและคลื่นแสง ไปจนถึงวัฏจักรของกิจกรรมสุริยะ (และวัตถุทางดาราศาสตร์อื่นๆ) ด้วยการใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ จึงสามารถวิเคราะห์ฟังก์ชันต่างๆ โดยแสดงกระบวนการออสซิลเลเตอร์ใดๆ ในรูปแบบชุดขององค์ประกอบไซน์ที่เปลี่ยนจากต่ำสุดไปสูงสุดและในทางกลับกัน การแปลงฟูริเยร์เป็นฟังก์ชันที่อธิบายเฟสและแอมพลิจูดของไซนูซอยด์ที่สอดคล้องกับความถี่เฉพาะ กระบวนการนี้สามารถใช้เพื่อแก้สมการที่ซับซ้อนมากซึ่งอธิบายกระบวนการไดนามิกที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของความร้อน แสง หรือพลังงานไฟฟ้า นอกจากนี้ อนุกรมฟูริเยร์ยังทำให้สามารถแยกส่วนประกอบคงที่ในสัญญาณออสซิลเลเตอร์ที่ซับซ้อนได้ ซึ่งทำให้สามารถตีความการสังเกตการทดลองที่ได้รับในด้านการแพทย์ เคมี และดาราศาสตร์ได้อย่างถูกต้อง
ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์
ผู้ก่อตั้งทฤษฎีนี้Jean Baptiste Joseph Fourier เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส การเปลี่ยนแปลงนี้ถูกตั้งชื่อตามเขาในเวลาต่อมา ในขั้นต้น นักวิทยาศาสตร์ใช้วิธีการของเขาในการศึกษาและอธิบายกลไกของการนำความร้อน - การแพร่กระจายของความร้อนในของแข็ง ฟูริเยร์แนะนำว่าการกระจายคลื่นความร้อนที่ไม่สม่ำเสมอในช่วงเริ่มต้นสามารถย่อยสลายเป็นไซนูซอยด์ที่ง่ายที่สุด ซึ่งแต่ละอันจะมีอุณหภูมิต่ำสุดและสูงสุดของตนเอง ตลอดจนเฟสของตัวเอง ในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบดังกล่าวจะถูกวัดจากต่ำสุดไปสูงสุดและในทางกลับกัน ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายจุดสูงสุดและจุดสูงสุดของเส้นโค้ง ตลอดจนเฟสของแต่ละฮาร์โมนิก เรียกว่า การแปลงฟูริเยร์ของนิพจน์การกระจายอุณหภูมิ ผู้เขียนทฤษฎีนี้ลดฟังก์ชันการแจกแจงทั่วไปซึ่งยากต่อการอธิบายทางคณิตศาสตร์ ไปเป็นอนุกรมของฟังก์ชันโคไซน์และไซน์ตามคาบที่จัดการได้ง่าย ซึ่งรวมกันเป็นการกระจายดั้งเดิม
หลักการของการเปลี่ยนแปลงและมุมมองของผู้ร่วมสมัย
นักวิทยาศาสตร์ร่วมสมัย - นักคณิตศาสตร์ชั้นนำของต้นศตวรรษที่ 19 - ไม่ยอมรับทฤษฎีนี้ การคัดค้านหลักคือการยืนยันของฟูริเยร์ว่าฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งอธิบายเส้นตรงหรือเส้นโค้งที่ไม่ต่อเนื่องกันสามารถแสดงเป็นผลรวมของนิพจน์ไซน์ที่ต่อเนื่องกันได้ ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณา "ขั้นตอน" ของ Heaviside: ค่าของมันคือศูนย์ทางด้านซ้ายของช่องว่างและอีกหนึ่งค่าทางด้านขวา ฟังก์ชันนี้อธิบายการพึ่งพากระแสไฟฟ้ากับตัวแปรเวลาเมื่อปิดวงจร โคตรของทฤษฎีในเวลานั้นไม่เคยเจอแบบนี้สถานการณ์ที่นิพจน์ไม่ต่อเนื่องจะอธิบายโดยการรวมกันของฟังก์ชันธรรมดาที่ต่อเนื่องกัน เช่น เลขชี้กำลัง ไซนัส เชิงเส้น หรือกำลังสอง
นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสสับสนอะไรในทฤษฎีฟูริเยร์
ท้ายที่สุด หากนักคณิตศาสตร์พูดถูกในประโยคของเขา จากนั้นจึงสรุปอนุกรมฟูริเยร์ตรีโกณมิติอนันต์ คุณจะได้รับการแสดงนิพจน์ขั้นตอนที่แน่นอน แม้ว่าจะมีขั้นตอนที่คล้ายกันมากมาย ในตอนต้นของศตวรรษที่สิบเก้า ถ้อยแถลงดังกล่าวดูเหมือนไร้สาระ แต่ถึงแม้จะมีข้อสงสัยทั้งหมด นักคณิตศาสตร์หลายคนได้ขยายขอบเขตของการศึกษาปรากฏการณ์นี้ ซึ่งทำให้เกินขอบเขตของการศึกษาการนำความร้อน อย่างไรก็ตาม นักวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ยังคงทนทุกข์กับคำถามที่ว่า "ผลรวมของอนุกรมไซน์สามารถมาบรรจบกันเป็นค่าที่แน่นอนของฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องได้หรือไม่"
การบรรจบกันของอนุกรมฟูริเยร์: ตัวอย่าง
คำถามของการบรรจบกันเกิดขึ้นทุกครั้งที่จำเป็นต้องสรุปอนุกรมจำนวนอนันต์ เพื่อทำความเข้าใจปรากฏการณ์นี้ ให้พิจารณาตัวอย่างคลาสสิก คุณเคยไปถึงกำแพงได้ไหมถ้าแต่ละขั้นตอนต่อเนื่องกันมีขนาดครึ่งหนึ่งของขั้นตอนก่อนหน้า? สมมติว่าคุณอยู่ห่างจากเป้าหมาย 2 เมตร ก้าวแรกจะพาคุณเข้าใกล้จุดกึ่งกลาง ก้าวต่อไปถึงจุดสามในสี่ และหลังจากขั้นที่ห้า คุณจะครอบคลุมเกือบ 97 เปอร์เซ็นต์ของทาง อย่างไรก็ตาม ไม่ว่าคุณจะเดินกี่ก้าว คุณจะไม่บรรลุเป้าหมายตามความหมายทางคณิตศาสตร์ที่เคร่งครัด การใช้การคำนวณเชิงตัวเลขสามารถพิสูจน์ได้ว่าในท้ายที่สุดเราสามารถเข้าใกล้ได้มากเท่าที่ใครจะชอบระยะทางที่กำหนดขนาดเล็ก หลักฐานนี้เทียบเท่ากับการแสดงให้เห็นว่าผลรวมของครึ่งหนึ่ง หนึ่งในสี่ ฯลฯ จะมีแนวโน้มเป็นหนึ่ง
คำถามของการบรรจบกัน: การมาครั้งที่สอง หรืออุปกรณ์ของลอร์ดเคลวิน
ซ้ำแล้วซ้ำเล่าคำถามนี้ถูกหยิบยกขึ้นมาเมื่อปลายศตวรรษที่ 19 เมื่อพยายามใช้อนุกรมฟูริเยร์เพื่อทำนายความรุนแรงของการขึ้นลงและกระแสน้ำ ในเวลานี้ Lord Kelvin ได้คิดค้นอุปกรณ์ซึ่งเป็นอุปกรณ์คอมพิวเตอร์แบบแอนะล็อกที่อนุญาตให้ลูกเรือของกองทัพและกองเรือเดินสมุทรติดตามปรากฏการณ์ทางธรรมชาตินี้ กลไกนี้กำหนดชุดของเฟสและแอมพลิจูดจากตารางความสูงของน้ำขึ้นน้ำลงและช่วงเวลาที่สอดคล้องกัน โดยวัดอย่างระมัดระวังในท่าเรือที่กำหนดในระหว่างปี พารามิเตอร์แต่ละตัวเป็นองค์ประกอบไซน์ของการแสดงออกของความสูงของกระแสน้ำและเป็นหนึ่งในองค์ประกอบปกติ ผลการวัดถูกป้อนลงในเครื่องคำนวณของลอร์ดเคลวิน ซึ่งสังเคราะห์เส้นโค้งที่ทำนายความสูงของน้ำเป็นฟังก์ชันของเวลาในปีหน้า ในไม่ช้าเส้นโค้งที่คล้ายกันก็ถูกวาดขึ้นสำหรับท่าเรือทั้งหมดของโลก
และถ้ากระบวนการหยุดชะงักโดยฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง?
ในขณะนั้น เห็นได้ชัดว่าเครื่องทำนายคลื่นยักษ์ที่มีองค์ประกอบการนับจำนวนมากสามารถคำนวณเฟสและแอมพลิจูดจำนวนมาก ดังนั้นจึงให้การคาดการณ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น อย่างไรก็ตามปรากฎว่าความสม่ำเสมอนี้ไม่ได้สังเกตในกรณีที่การแสดงออกของกระแสน้ำซึ่งตามมาสังเคราะห์ที่มีการกระโดดที่คมชัดนั่นคือมันไม่ต่อเนื่อง ในกรณีที่ข้อมูลถูกป้อนลงในอุปกรณ์จากตารางช่วงเวลา มันจะคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์หลายค่า ฟังก์ชั่นดั้งเดิมได้รับการฟื้นฟูด้วยส่วนประกอบไซน์ (ตามค่าสัมประสิทธิ์ที่พบ) สามารถวัดความคลาดเคลื่อนระหว่างนิพจน์ดั้งเดิมและนิพจน์ที่คืนค่าได้ทุกจุด เมื่อทำการคำนวณและเปรียบเทียบซ้ำๆ จะเห็นได้ว่าค่าความผิดพลาดที่ใหญ่ที่สุดไม่ลดลง อย่างไรก็ตาม มีการแปลเป็นภาษาท้องถิ่นในภูมิภาคที่สอดคล้องกับจุดไม่ต่อเนื่อง และมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่จุดอื่น ในปี 1899 ผลลัพธ์นี้ได้รับการยืนยันในทางทฤษฎีโดย Joshua Willard Gibbs จากมหาวิทยาลัยเยล
การบรรจบกันของอนุกรมฟูริเยร์กับพัฒนาการของคณิตศาสตร์โดยทั่วไป
การวิเคราะห์ฟูริเยร์ใช้ไม่ได้กับนิพจน์ที่มีการระเบิดเป็นจำนวนอนันต์ในช่วงเวลาหนึ่ง โดยทั่วไป อนุกรมฟูริเยร์ หากฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นผลจากการวัดทางกายภาพจริง ให้มาบรรจบกันเสมอ คำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันของกระบวนการนี้สำหรับชั้นเรียนเฉพาะของฟังก์ชันได้นำไปสู่การเกิดขึ้นของส่วนใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีของฟังก์ชันทั่วไป มีความเกี่ยวข้องกับชื่อเช่น L. Schwartz, J. Mikusinsky และ J. Temple ภายในกรอบของทฤษฎีนี้ มีการสร้างพื้นฐานทางทฤษฎีที่ชัดเจนและแม่นยำสำหรับนิพจน์ เช่น ฟังก์ชัน Dirac delta (อธิบายพื้นที่ของพื้นที่เดียวที่กระจุกตัวอยู่ในบริเวณใกล้เคียงจุดเล็กๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด) และ Heaviside “ขั้นตอน”. ด้วยงานนี้ ซีรีส์ฟูริเยร์จึงใช้ได้กับการแก้สมการและปัญหาที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดแบบสัญชาตญาณ: ประจุจุด มวลจุด ไดโพลแม่เหล็ก และโหลดเข้มข้นบนลำแสง
วิธีฟูเรียร์
Fourier series ตามหลักการของการแทรกแซง เริ่มต้นด้วยการสลายตัวของรูปแบบที่ซับซ้อนเป็นแบบที่เรียบง่าย ตัวอย่างเช่น การเปลี่ยนแปลงของการไหลของความร้อนอธิบายได้โดยการเคลื่อนผ่านสิ่งกีดขวางต่างๆ ที่ทำจากวัสดุฉนวนความร้อนที่มีรูปทรงไม่สม่ำเสมอ หรือการเปลี่ยนแปลงของพื้นผิวโลก - แผ่นดินไหว การเปลี่ยนแปลงในวงโคจรของเทห์ฟากฟ้า - อิทธิพลของ ดาวเคราะห์ ตามกฎแล้ว สมการที่คล้ายคลึงกันซึ่งอธิบายระบบคลาสสิกอย่างง่ายจะได้รับการแก้ไขเบื้องต้นสำหรับแต่ละคลื่น ฟูริเยร์แสดงให้เห็นว่าสามารถสรุปวิธีแก้ปัญหาแบบง่าย ๆ เพื่อแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นได้ ในภาษาของคณิตศาสตร์ อนุกรมฟูริเยร์เป็นเทคนิคในการแสดงนิพจน์เป็นผลรวมของฮาร์โมนิก - โคไซน์และไซนัส ดังนั้น การวิเคราะห์นี้จึงเรียกอีกอย่างว่า "การวิเคราะห์ฮาร์โมนิก"
Fourier series - เทคนิคในอุดมคติก่อน "ยุคคอมพิวเตอร์"
ก่อนสร้างเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ เทคนิคฟูริเยร์เป็นอาวุธที่ดีที่สุดในคลังแสงของนักวิทยาศาสตร์ เมื่อทำงานกับธรรมชาติของคลื่นในโลกของเรา อนุกรมฟูริเยร์ในรูปแบบที่ซับซ้อนไม่เพียงแต่ช่วยแก้ปัญหาง่ายๆ ที่สามารถประยุกต์ใช้กับกฎของกลศาสตร์ของนิวตันได้โดยตรง แต่ยังรวมถึงสมการพื้นฐานด้วย การค้นพบทางวิทยาศาสตร์ของนิวตันส่วนใหญ่ในศตวรรษที่สิบเก้าเกิดขึ้นได้ด้วยเทคนิคของฟูริเยร์เท่านั้น
ซีรีย์ฟูเรียร์วันนี้
กับการพัฒนาฟูริเยร์ทรานส์ฟอร์มคอมพิวเตอร์ยกระดับขึ้นสู่ระดับใหม่ทั้งหมด เทคนิคนี้ฝังแน่นในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีเกือบทุกด้าน ตัวอย่างคือสัญญาณเสียงและวิดีโอดิจิทัล การตระหนักรู้เป็นไปได้เพียงต้องขอบคุณทฤษฎีที่พัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสเมื่อต้นศตวรรษที่สิบเก้า ดังนั้นอนุกรมฟูริเยร์ในรูปแบบที่ซับซ้อนจึงทำให้เกิดความก้าวหน้าในการศึกษาอวกาศ นอกจากนี้ยังมีอิทธิพลต่อการศึกษาฟิสิกส์ของวัสดุเซมิคอนดักเตอร์และพลาสมา อะคูสติกไมโครเวฟ สมุทรศาสตร์ เรดาร์ แผ่นดินไหววิทยา
อนุกรมฟูริเยร์ตรีโกณมิติ
ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมฟูริเยร์เป็นวิธีแสดงฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยพลการเป็นผลรวมของฟังก์ชันที่ง่ายกว่า ในกรณีทั่วไป จำนวนของนิพจน์ดังกล่าวสามารถมีได้ไม่จำกัด ยิ่งกว่านั้นยิ่งจำนวนของพวกเขาถูกนำมาพิจารณาในการคำนวณมากเท่าไหร่ผลลัพธ์สุดท้ายก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น ส่วนใหญ่แล้วฟังก์ชันตรีโกณมิติของโคไซน์หรือไซน์ถูกใช้เป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด ในกรณีนี้เรียกว่าอนุกรมฟูริเยร์และคำตอบของนิพจน์ดังกล่าวเรียกว่าการขยายตัวของฮาร์มอนิก วิธีนี้มีบทบาทสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ อย่างแรกเลย อนุกรมตรีโกณมิติเป็นสื่อกลางสำหรับรูปภาพ เช่นเดียวกับการศึกษาฟังก์ชัน ซึ่งเป็นเครื่องมือหลักของทฤษฎี นอกจากนี้ยังช่วยแก้ปัญหาฟิสิกส์คณิตศาสตร์จำนวนหนึ่ง ในที่สุด ทฤษฎีนี้มีส่วนในการพัฒนาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทำให้เกิดส่วนที่สำคัญมากของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ (ทฤษฎีปริพันธ์ ทฤษฎีฟังก์ชันคาบ) นอกจากนี้ยังเป็นจุดเริ่มต้นของการพัฒนาทฤษฎีต่างๆ ดังนี้ ชุด ฟังก์ชันตัวแปรจริง การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน และวางรากฐานสำหรับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก