ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาพิเศษของคณิตศาสตร์ซึ่งศึกษาโดยนักเรียนของสถาบันอุดมศึกษาเท่านั้น คุณชอบการคำนวณและสูตรหรือไม่? คุณไม่กลัวโอกาสในการทำความรู้จักกับการแจกแจงแบบปกติ เอนโทรปีของวงดนตรี ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องหรือไม่? จากนั้นหัวข้อนี้จะน่าสนใจสำหรับคุณ มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานที่สำคัญที่สุดบางส่วนของวิทยาศาสตร์หมวดนี้กัน
เรียกคืนพื้นฐาน
แม้ว่าคุณจะจำแนวคิดที่ง่ายที่สุดของทฤษฎีความน่าจะเป็นได้ อย่าละเลยย่อหน้าแรกของบทความ ความจริงก็คือหากไม่มีความเข้าใจพื้นฐานที่ชัดเจน คุณจะไม่สามารถทำงานกับสูตรที่กล่าวถึงด้านล่าง
ดังนั้น มีเหตุการณ์สุ่ม การทดลองบางอย่าง จากการกระทำที่ได้กระทำไป เราจะได้รับผลลัพธ์หลายอย่าง - บางส่วนพบได้บ่อยกว่า อื่นๆ พบน้อยกว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่ได้รับจริงของประเภทหนึ่งต่อจำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมด เพียงรู้คำจำกัดความคลาสสิกของแนวคิดนี้ คุณก็จะเริ่มศึกษาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของความต่อเนื่องได้ตัวแปรสุ่ม
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
แม้ที่โรงเรียน ในบทเรียนคณิตศาสตร์ คุณเริ่มทำงานด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิต แนวคิดนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีความน่าจะเป็น ดังนั้นจึงไม่สามารถละเลยได้ สิ่งสำคัญสำหรับเราในตอนนี้คือเราจะพบมันในสูตรสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม
เรามีลำดับตัวเลขและต้องการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ทั้งหมดที่เราต้องการคือการรวมทุกอย่างที่มีและหารด้วยจำนวนขององค์ประกอบในลำดับ ให้เรามีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ผลรวมขององค์ประกอบจะเป็น 45 และเราจะหารค่านี้ด้วย 9 คำตอบ: - 5.
กระจาย
ในทางวิทยาศาสตร์ ความแปรปรวนคือกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของค่าคุณลักษณะที่ได้รับจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต หนึ่งเขียนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ D. จำเป็นต้องคำนวณอะไร? สำหรับแต่ละองค์ประกอบของลำดับ เราจะคำนวณความแตกต่างระหว่างจำนวนที่มีอยู่กับค่าเฉลี่ยเลขคณิตและยกกำลังสอง จะมีค่ามากที่สุดเท่าที่จะมีได้สำหรับเหตุการณ์ที่เรากำลังพิจารณา ต่อไป เราจะสรุปทุกอย่างที่ได้รับและหารด้วยจำนวนองค์ประกอบในลำดับ ถ้าเรามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ห้าอย่าง ให้หารด้วยห้า
Dispersion ยังมีคุณสมบัติที่คุณต้องจำไว้เพื่อใช้ในการแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น หากตัวแปรสุ่มเพิ่มขึ้น X เท่า ความแปรปรวนจะเพิ่มขึ้น X คูณกำลังสอง (นั่นคือ XX) ไม่ต่ำกว่าศูนย์และไม่ขึ้นกับการเลื่อนค่าด้วยค่าที่เท่ากันขึ้นหรือลง นอกจากนี้ สำหรับการทดลองอิสระ ความแปรปรวนของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน
ตอนนี้เราต้องพิจารณาตัวอย่างความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน
สมมติว่าเราทำการทดลอง 21 ครั้งและได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน 7 แบบ เราสังเกตแต่ละอันตามลำดับ 1, 2, 2, 3, 4, 4 และ 5 ครั้ง ความแปรปรวนจะเป็นอย่างไร
อันดับแรก มาคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตกัน: แน่นอนว่าผลรวมขององค์ประกอบคือ 21 หารด้วย 7 ได้ 3 ลบ 3 จากตัวเลขแต่ละตัวในลำดับเดิม ยกกำลังสองแต่ละค่าแล้วบวก ผลลัพธ์ร่วมกัน ปรากฎว่า 12 ตอนนี้ยังคงเป็นสำหรับเราที่จะหารจำนวนด้วยจำนวนขององค์ประกอบและดูเหมือนว่านั่นคือทั้งหมด แต่มีการจับ! มาคุยกันครับ
ขึ้นอยู่กับจำนวนการทดลอง
ปรากฎว่าเมื่อคำนวณความแปรปรวน ตัวส่วนสามารถเป็นหนึ่งในสองจำนวน: N หรือ N-1 โดยที่ N คือจำนวนการทดลองที่ทำหรือจำนวนองค์ประกอบในลำดับ (ซึ่งที่จริงแล้วเหมือนกัน) ขึ้นอยู่กับอะไร
ถ้าจำนวนการทดสอบเป็นร้อยๆ ก็ต้องใส่ N เป็นตัวส่วน ถ้าอยู่ในหน่วย ก็เท่ากับ N-1 นักวิทยาศาสตร์ตัดสินใจวาดเส้นขอบอย่างเป็นสัญลักษณ์: วันนี้มันวิ่งไปตามหมายเลข 30 ถ้าเราทำการทดลองน้อยกว่า 30 ครั้ง เราจะหารจำนวนด้วย N-1 และถ้ามากกว่านั้นก็ N
งาน
กลับไปที่ตัวอย่างการแก้ปัญหาความแปรปรวนและความคาดหวังกัน เราได้เลขกลาง 12 ซึ่งต้องหารด้วย N หรือ N-1 เนื่องจากเราทำการทดลอง 21 ครั้ง ซึ่งน้อยกว่า 30 ครั้ง เราจะเลือกตัวเลือกที่สอง คำตอบก็คือ ความแปรปรวนคือ 12 / 2=2.
ความคาดหวัง
มาต่อกันที่แนวคิดที่สองซึ่งเราต้องพิจารณาในบทความนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นผลมาจากการบวกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคูณด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าค่าผลลัพธ์รวมถึงผลลัพธ์ของการคำนวณความแปรปรวนจะได้รับเพียงครั้งเดียวสำหรับงานทั้งหมดไม่ว่าจะพิจารณาผลลัพธ์จำนวนเท่าใด
สูตรความคาดหวังนั้นค่อนข้างง่าย: เรานำผลลัพธ์ คูณด้วยความน่าจะเป็น บวกเหมือนกันสำหรับผลลัพธ์ที่สอง ที่สาม ฯลฯ ทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้ง่ายต่อการคำนวณ ตัวอย่างเช่น ผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเท่ากับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวม เช่นเดียวกับการทำงาน ไม่ใช่ทุกปริมาณในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่อนุญาตให้ดำเนินการอย่างง่ายเช่นนั้นได้ มาทำงานและคำนวณค่าของสองแนวคิดที่เราศึกษาพร้อมกัน นอกจากนี้เรายังฟุ้งซ่านโดยทฤษฎี - ถึงเวลาฝึกแล้ว
ตัวอย่างอื่น
เราทดลอง 50 ครั้งและได้ผลลัพธ์ 10 แบบ - ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 - ปรากฏในเปอร์เซ็นต์ที่ต่างกัน เหล่านี้ตามลำดับ: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. จำไว้ว่าเพื่อให้ได้ความน่าจะเป็น คุณต้องหารค่าเปอร์เซ็นต์ด้วย 100 ดังนั้นเราจึงได้ 0.02; 0, 1 เป็นต้น ให้เราแทนค่าความแปรปรวนของการสุ่มตัวอย่างมูลค่าและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแก้ปัญหา
คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยใช้สูตรที่เราจำได้จากโรงเรียนประถม: 50/10=5.
ตอนนี้ เรามาแปลงความน่าจะเป็นเป็นจำนวนผลลัพธ์ "เป็นชิ้น" เพื่อให้นับง่ายขึ้น เราได้ 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 และ 9 ลบค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากแต่ละค่าที่ได้รับ หลังจากนั้นเราจะยกกำลังสองผลลัพธ์ที่ได้ ดูวิธีทำโดยใช้องค์ประกอบแรกเป็นตัวอย่าง: 1 - 5=(-4) เพิ่มเติม: (-4)(-4)=16 สำหรับค่าอื่นๆ ให้ดำเนินการเหล่านี้ด้วยตนเอง หากคุณทำทุกอย่างถูกต้องแล้ว หลังจากเพิ่มผลลัพธ์ขั้นกลางทั้งหมดแล้ว คุณจะได้ 90
คำนวณความแปรปรวนและค่าเฉลี่ยต่อไปโดยหาร 90 ด้วย N ทำไมเราถึงเลือก N ไม่ใช่ N-1 ถูกต้องแล้ว เพราะจำนวนการทดสอบที่ดำเนินการเกิน 30 ครั้ง ดังนั้น: 90/10=9 เราได้การกระจายตัว หากคุณได้รับหมายเลขอื่นอย่าสิ้นหวัง เป็นไปได้มากว่าคุณทำผิดพลาดซ้ำซากในการคำนวณ ตรวจสอบสิ่งที่คุณเขียนอีกครั้ง แล้วทุกอย่างจะเข้าที่
สุดท้าย มาจำสูตรคาดหวังกัน เราจะไม่ให้การคำนวณทั้งหมด เราจะเขียนคำตอบที่คุณสามารถตรวจสอบได้หลังจากทำตามขั้นตอนที่จำเป็นทั้งหมดแล้วเท่านั้น ความคาดหวังจะเท่ากับ 5, 48 เราจำได้เพียงวิธีการดำเนินการ โดยใช้ตัวอย่างขององค์ประกอบแรก: 00, 02 + 10, 1… และอื่นๆ อย่างที่คุณเห็น เราแค่คูณมูลค่าของผลลัพธ์ด้วยความน่าจะเป็น
เบี่ยงเบน
อีกแนวคิดหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับความแปรปรวนและมูลค่าที่คาดไว้อย่างใกล้ชิดคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน. มันเขียนแทนด้วยตัวอักษรละติน sd หรือโดย "sigma" ตัวพิมพ์เล็กกรีก แนวคิดนี้แสดงให้เห็นว่าค่าเบี่ยงเบนไปจากจุดศูนย์กลางโดยเฉลี่ย คุณต้องคำนวณรากที่สองของความแปรปรวนเพื่อหาค่าของมัน
หากคุณสร้างกราฟของการแจกแจงแบบปกติและต้องการดูค่าของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยตรงบนกราฟ สามารถทำได้ในหลายขั้นตอน นำภาพครึ่งหนึ่งไปทางซ้ายหรือขวาของโหมด (ค่ากลาง) วาดเส้นตั้งฉากกับแกนนอนเพื่อให้พื้นที่ของตัวเลขผลลัพธ์เท่ากัน ค่าของเซ็กเมนต์ระหว่างกึ่งกลางของการกระจายและการฉายผลลัพธ์บนแกนนอนจะเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ซอฟต์แวร์
ดังที่คุณเห็นจากคำอธิบายของสูตรและตัวอย่างที่นำเสนอ การคำนวณความแปรปรวนและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ขั้นตอนที่ง่ายที่สุดจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ เพื่อไม่ให้เป็นการเสียเวลา การใช้โปรแกรมที่ใช้ในการศึกษาระดับอุดมศึกษาจึงเป็นเรื่องสมเหตุผล - เรียกว่า "R" มีฟังก์ชันที่ให้คุณคำนวณค่าของแนวคิดมากมายจากสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น
ตัวอย่างเช่น คุณกำหนดเวกเตอร์ของค่า ทำได้ดังนี้: vector <-c(1, 5, 2…). ตอนนี้ เมื่อคุณต้องการคำนวณค่าบางอย่างสำหรับเวกเตอร์นี้ คุณต้องเขียนฟังก์ชันและให้เป็นอาร์กิวเมนต์ ในการหาค่าความแปรปรวน คุณจะต้องใช้ var ตัวอย่างของเธอการใช้งาน: var(เวกเตอร์) จากนั้นกด Enter ก็ได้ผล
สรุป
ความแปรปรวนและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น หากปราศจากสิ่งนี้ ก็จะเป็นการยากที่จะคำนวณสิ่งใดในอนาคต ในหลักสูตรหลักของการบรรยายในมหาวิทยาลัย พวกเขาได้รับการพิจารณาแล้วในเดือนแรกของการเรียนวิชานี้ เป็นเพราะขาดความเข้าใจในแนวคิดง่ายๆ เหล่านี้และไม่สามารถคำนวณได้ ทำให้นักเรียนจำนวนมากเริ่มล้าหลังในโครงการทันที และต่อมาได้เกรดแย่เมื่อสิ้นสุดภาคเรียน ซึ่งทำให้ขาดทุนการศึกษา
ฝึกอย่างน้อยหนึ่งสัปดาห์ครึ่งชั่วโมงต่อวัน แก้ปัญหาคล้ายกับที่นำเสนอในบทความนี้ จากนั้นในการทดสอบทฤษฎีความน่าจะเป็นใด ๆ คุณจะรับมือกับตัวอย่างโดยไม่มีคำแนะนำจากภายนอกและสูตรโกง