รูปกรวยคืออะไร? วิธีหาพื้นที่ส่วนแกนของกรวย

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

หนึ่งในตัวเลขที่เกิดขึ้นเมื่อแก้ปัญหาเรขาคณิตในอวกาศคือรูปกรวย มันแตกต่างจากรูปทรงหลายเหลี่ยมที่อยู่ในชั้นเรียนของตัวเลขการหมุน ลองพิจารณาในบทความว่าในเรขาคณิตมีความหมายว่าอย่างไร และสำรวจลักษณะของส่วนต่างๆ ของกรวย

กรวยในเรขาคณิต

สมมติว่ามีโค้งบนเครื่องบิน อาจเป็นพาราโบลา วงกลม วงรี และอื่นๆ หาจุดที่ไม่ได้เป็นของระนาบที่ระบุ และเชื่อมทุกจุดของเส้นโค้งเข้ากับระนาบนั้น ผิวที่ได้จะเรียกว่ากรวยหรือกรวย

ถ้าปิดโค้งเดิม พื้นผิวทรงกรวยก็สามารถเติมสสารได้ ตัวเลขที่ได้ในลักษณะนี้เป็นร่างสามมิติ เรียกอีกอย่างว่ากรวย แสดงกรวยกระดาษหลายอันด้านล่าง

พื้นผิวทรงกรวยที่พบได้ในชีวิตประจำวัน ตัวอย่างเช่น กรวยไอศกรีมหรือกรวยจราจรลายทางมีรูปร่างนี้ ซึ่งออกแบบมาเพื่อดึงดูดความสนใจของผู้ขับขี่และคนเดินเท้า

ประเภทโคน

คุณอาจเดาได้ว่าตัวเลขที่พิจารณาจะแตกต่างกันไปตามประเภทของเส้นโค้งที่เกิด ตัวอย่างเช่นมีกรวยกลมหรือรูปไข่ เส้นโค้งนี้เรียกว่าฐานของรูป อย่างไรก็ตาม รูปร่างของฐานไม่ใช่คุณสมบัติเดียวที่ช่วยให้สามารถจำแนกกรวยได้

ลักษณะสำคัญที่สองคือตำแหน่งของความสูงที่สัมพันธ์กับฐาน ความสูงของรูปกรวยเป็นส่วนที่เป็นเส้นตรงซึ่งลดระดับจากด้านบนของรูปไปยังระนาบของฐานและตั้งฉากกับระนาบนี้ หากความสูงตัดกับฐานในศูนย์กลางทางเรขาคณิต (เช่น ในศูนย์กลางของวงกลม) กรวยก็จะเป็นเส้นตรง หากส่วนตั้งฉากตกลงไปยังจุดอื่นของฐานหรือเกินกว่านั้น ตัวเลขจะเป็น เฉียง

เพิ่มเติมในบทความ เราจะพิจารณาเฉพาะกรวยตรงกลมเท่านั้นที่เป็นตัวแทนที่สดใสของคลาสของตัวเลขที่พิจารณา

ชื่อเรขาคณิตขององค์ประกอบกรวย

ข้างบนว่าโคนมีฐาน. มันถูกล้อมรอบด้วยวงกลมซึ่งเรียกว่าไกด์ของกรวย ส่วนที่เชื่อมต่อไกด์กับจุดที่ไม่อยู่ในระนาบของฐานเรียกว่าเครื่องกำเนิด ชุดของจุดทั้งหมดของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเรียกว่าพื้นผิวรูปกรวยหรือด้านข้างของรูป สำหรับกรวยด้านขวากลม เครื่องปั่นไฟทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน

จุดที่เครื่องกำเนิดไฟฟ้าตัดกันเรียกว่าด้านบนของร่าง กรวยมีจุดยอดเดียวและไม่มีขอบ

เส้นตรงที่ลากผ่านด้านบนของร่างและจุดศูนย์กลางของวงกลมเรียกว่าแกน แกนประกอบด้วยความสูงของกรวยตรง ดังนั้นจึงสร้างมุมฉากกับระนาบของฐาน ข้อมูลนี้มีความสำคัญในการคำนวณพื้นที่ของส่วนแกนของกรวย

โคนตรงกลม - รูปหมุน

รูปกรวยที่พิจารณาเป็นรูปสมมาตรพอสมควร ซึ่งได้จากการหมุนของรูปสามเหลี่ยม สมมติว่าเรามีสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก เพื่อให้ได้กรวยก็เพียงพอที่จะหมุนสามเหลี่ยมนี้รอบขาข้างใดข้างหนึ่งดังแสดงในรูปด้านล่าง

จะเห็นได้ว่าแกนหมุนคือแกนของกรวย ขาข้างหนึ่งจะเท่ากับความสูงของร่าง และขาที่สองจะกลายเป็นรัศมีของฐาน ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมอันเป็นผลมาจากการหมุนจะอธิบายพื้นผิวทรงกรวย มันจะเป็นกำเนิดของกรวย

วิธีการได้โคนตรงทรงกลมเป็นวิธีที่สะดวกในการศึกษาความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างพารามิเตอร์เชิงเส้นของรูป: ความสูง h รัศมีของฐานกลม r และตัวนำ g สูตรที่สอดคล้องกันตามมาจากคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก มีการระบุไว้ด้านล่าง:

g²=h²+ r².

เนื่องจากเรามีสมการหนึ่งสมการและตัวแปรสามตัว ซึ่งหมายความว่าหากต้องการตั้งค่าพารามิเตอร์ของรูปกรวยกลมอย่างไม่ซ้ำกัน คุณต้องรู้ปริมาณสองค่าใดๆ

ส่วนของรูปกรวยข้างเครื่องบินที่ไม่มีจุดยอดของรูป

คำถามเกี่ยวกับการสร้างส่วนต่างๆ ของหุ่นไม่ใช่เล็กน้อย ความจริงก็คือรูปร่างของส่วนกรวยตามพื้นผิวขึ้นอยู่กับตำแหน่งสัมพัทธ์ของรูปและซีแคนต์

สมมติว่าเราตัดกรวยด้วยระนาบ อะไรคือผลลัพธ์ของการดำเนินการทางเรขาคณิตนี้? ตัวเลือกรูปร่างส่วนแสดงในรูปด้านล่าง

ส่วนสีชมพูเป็นวงกลม มันเกิดขึ้นจากการตัดกันของร่างที่มีระนาบที่ขนานกับฐานของกรวย เหล่านี้เป็นส่วนตั้งฉากกับแกนของรูป รูปร่างที่เกิดขึ้นเหนือระนาบการตัดเป็นทรงกรวยคล้ายกับรูปดั้งเดิม แต่มีวงกลมเล็กกว่าที่ฐาน

ส่วนสีเขียวเป็นรูปวงรี ได้มาหากระนาบการตัดไม่ขนานกับฐาน แต่ตัดเฉพาะพื้นผิวด้านข้างของกรวยเท่านั้น ร่างที่ถูกตัดออกเหนือระนาบเรียกว่ากรวยเฉียงรูปไข่

ส่วนสีน้ำเงินและสีส้มเป็นแบบพาราโบลาและไฮเปอร์โบลิกตามลำดับ ดังที่คุณเห็นจากรูป พวกมันจะได้มาหากระนาบการตัดตัดกับพื้นผิวด้านข้างและฐานของรูปพร้อมกัน

เพื่อกำหนดพื้นที่ของส่วนต่างๆ ของกรวยที่นำมาพิจารณา จำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับตัวเลขที่สอดคล้องกันบนระนาบ ตัวอย่างเช่น สำหรับวงกลม นี่คือจำนวน Pi คูณด้วยกำลังสองของรัศมี และสำหรับวงรี นี่คือผลคูณของ Pi และความยาวของครึ่งแกนย่อยและหลัก:

วงกลม: S=pir²;

วงรี: S=piab.

ส่วนที่มียอดกรวย

ลองพิจารณาตัวเลือกสำหรับส่วนที่เกิดขึ้นหากระนาบการตัดคือผ่านด้านบนของกรวย เป็นไปได้สามกรณี:

1. ส่วนนี้เป็นจุดเดียว ตัวอย่างเช่น เครื่องบินที่ผ่านจุดยอดและขนานกับฐานจะให้ส่วนดังกล่าวเท่านั้น
2. ส่วนนี้เป็นเส้นตรง สถานการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อระนาบสัมผัสกับพื้นผิวทรงกรวย เส้นตรงของส่วนในกรณีนี้จะเป็นตัวกำเนิดของกรวย
3. ส่วนแนวแกน มันถูกสร้างขึ้นเมื่อระนาบไม่เพียงประกอบด้วยส่วนบนของร่างเท่านั้น แต่ยังรวมถึงแกนทั้งหมดด้วย ในกรณีนี้ เครื่องบินจะตั้งฉากกับฐานกลมและจะแบ่งกรวยออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของส่วนสองประเภทแรกมีค่าเท่ากับศูนย์ สำหรับพื้นที่หน้าตัดของกรวยสำหรับประเภทที่ 3 ปัญหานี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในย่อหน้าถัดไป

ส่วนแนวแกน

มีการระบุไว้ข้างต้นว่าส่วนแกนของกรวยเป็นรูปที่เกิดขึ้นเมื่อกรวยตัดกันโดยระนาบที่เคลื่อนผ่านแกนของมัน เดาได้ง่ายว่าส่วนนี้จะแสดงตัวเลขที่แสดงในรูปด้านล่าง

นี่คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จุดยอดของส่วนแกนของรูปกรวยคือจุดยอดของสามเหลี่ยมนี้ ซึ่งเกิดขึ้นจากจุดตัดของด้านที่เหมือนกัน ส่วนหลังนั้นเท่ากับความยาวของกำเนิดของกรวย ฐานของสามเหลี่ยมคือเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานของกรวย

การคำนวณพื้นที่ของส่วนแกนของกรวยจะลดลงเพื่อหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผลลัพธ์ หากรู้รัศมีของฐาน r และความสูง h ของกรวย พื้นที่ S ของส่วนที่พิจารณาจะเป็น:

S=hr.

นี่นิพจน์เป็นผลมาจากการใช้สูตรมาตรฐานสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม (ผลคูณของความสูงคูณฐาน)

โปรดทราบว่าถ้ากำเนิดของกรวยเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานกลม ส่วนแกนของกรวยจะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

รูปสามเหลี่ยมจะเกิดขึ้นเมื่อระนาบการตัดตั้งฉากกับฐานของกรวยและเคลื่อนผ่านแกนของมัน ระนาบอื่นขนานกับระนาบที่มีชื่อจะให้ไฮเปอร์โบลาในส่วน อย่างไรก็ตาม หากระนาบมีจุดยอดของกรวยและตัดฐานไม่ผ่านเส้นผ่านศูนย์กลาง ส่วนที่เป็นผลจะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วด้วย

ปัญหาการกำหนดพารามิเตอร์เชิงเส้นของกรวย

มาดูวิธีการใช้สูตรที่เขียนสำหรับพื้นที่ส่วนแกนในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตกัน

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าพื้นที่ส่วนแกนของกรวยคือ 100 ซม.². สามเหลี่ยมที่ได้คือด้านเท่า ความสูงของกรวยและรัศมีของฐานเป็นเท่าใด

เนื่องจากสามเหลี่ยมด้านเท่า ความสูง h สัมพันธ์กับความยาวของด้าน a ดังนี้:

h=√3/2a.

เนื่องจากด้านของสามเหลี่ยมมีรัศมีสองเท่าของฐานของรูปกรวย และแทนที่นิพจน์นี้ลงในสูตรสำหรับพื้นที่หน้าตัด เราจะได้:

S=hr=√3/22rr=>

r=√(S/√3).

จากนั้นความสูงของกรวยคือ:

h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).

ยังคงใช้แทนค่าพื้นที่จากสภาพปัญหาและรับคำตอบ:

r=√(100/√3) ≈ 7.60 cm;

h=√(√3100) ≈ 13, 16 ซม.

การรู้พารามิเตอร์ของส่วนที่พิจารณามีความสำคัญในด้านใด

การศึกษารูปทรงกรวยประเภทต่างๆ ไม่เพียงแต่เป็นความสนใจทางทฤษฎีเท่านั้น แต่ยังมีการใช้งานจริงด้วย

อันดับแรก ควรสังเกตพื้นที่ของแอโรไดนามิกด้วยความช่วยเหลือของส่วนกรวย มันเป็นไปได้ที่จะสร้างรูปร่างที่เรียบในอุดมคติของวัตถุแข็ง

ประการที่สอง ส่วนรูปกรวยคือวิถีที่วัตถุอวกาศเคลื่อนที่ในสนามโน้มถ่วง ส่วนประเภทใดที่แสดงถึงวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุจักรวาลของระบบนั้นถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของมวล ความเร็วสัมบูรณ์ และระยะห่างระหว่างวัตถุเหล่านั้น