ปริมาตรเป็นลักษณะของตัวเลขใดๆ ที่มีขนาดไม่เป็นศูนย์ในช่องว่างทั้งสามมิติ ในบทความนี้ จากมุมมองของ stereometry (เรขาคณิตของตัวเลขเชิงพื้นที่) เราจะพิจารณาปริซึมและแสดงวิธีหาปริมาตรของปริซึมประเภทต่างๆ
ปริซึมคืออะไร
Stereometry มีคำตอบที่แน่นอนสำหรับคำถามนี้ ปริซึมในนั้นเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นรูปที่เกิดจากใบหน้าหลายเหลี่ยมที่เหมือนกันสองหน้าและรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหลายรูป ภาพด้านล่างแสดงสี่ปริซึมที่แตกต่างกัน
แต่ละอันสามารถหาได้ดังนี้: คุณต้องใช้รูปหลายเหลี่ยม (สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และอื่นๆ) และส่วนของความยาวที่กำหนด จากนั้นแต่ละจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมควรย้ายโดยใช้ส่วนคู่ขนานกับระนาบอื่น ในระนาบใหม่ซึ่งจะขนานกับระนาบเดิม จะได้รูปหลายเหลี่ยมใหม่ ซึ่งคล้ายกับรูปที่เลือกในตอนแรก
ปริซึมมีหลายประเภท ดังนั้น มันสามารถเป็นแบบตรง เฉียง และแก้ไขได้ ถ้าขอบด้านข้างของปริซึม (ส่วน,เชื่อมต่อจุดยอดของฐาน) ตั้งฉากกับฐานของรูปจากนั้นส่วนหลังจะเป็นเส้นตรง ดังนั้น หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไข แสดงว่าเรากำลังพูดถึงปริซึมเอียง ตัวเลขปกติคือปริซึมด้านขวาที่มีฐานเป็นด้านเท่าและด้านเท่า
ในบทความต่อไปเราจะแสดงวิธีการคำนวณปริมาตรของปริซึมแต่ละประเภทเหล่านี้
ปริมาตรของปริซึมปกติ
มาเริ่มกันที่กรณีที่ง่ายที่สุดกัน เราให้สูตรสำหรับปริมาตรของปริซึมปกติที่มีฐาน n-gonal สูตรปริมาตร V สำหรับตัวเลขใดๆ ของชั้นเรียนที่พิจารณามีดังนี้
V=Soh.
นั่นคือ การหาปริมาตร ก็เพียงพอที่จะคำนวณพื้นที่ของฐานใดฐานหนึ่ง So แล้วคูณด้วยความสูง h ของรูป
ในกรณีของปริซึมทั่วไป ให้ระบุความยาวของด้านฐานด้วยตัวอักษร a และความสูง ซึ่งเท่ากับความยาวของขอบด้านข้างด้วยตัวอักษร h หากฐานของ n-gon ถูกต้อง วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณพื้นที่คือใช้สูตรสากลต่อไปนี้:
S=n/4a2ctg(pi/n).
การแทนค่าของจำนวนด้าน n และความยาวของด้าน a ให้เท่ากัน คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของฐาน n-gonal ได้ โปรดทราบว่าฟังก์ชันโคแทนเจนต์ที่นี่คำนวณสำหรับมุม pi/n ซึ่งแสดงเป็นเรเดียน
ความเท่าเทียมกันที่เขียนสำหรับ S เราได้รับสูตรสุดท้ายสำหรับปริมาตรของปริซึมปกติ:
V=n/4a2hctg(pi/n).
แต่ละกรณี คุณสามารถเขียนสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับ V ได้ แต่ทั้งหมดตามมาจากการแสดงออกทั่วไปที่เป็นลายลักษณ์อักษร ตัวอย่างเช่น สำหรับปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราจะได้
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 ชม.
ถ้าเราใช้ h=a ในนิพจน์นี้ เราก็จะได้สูตรของปริมาตรของลูกบาศก์
ปริมาตรของปริซึมตรง
เราทราบทันทีว่าสำหรับตัวเลขตรงไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับการคำนวณปริมาตร ซึ่งระบุไว้ข้างต้นสำหรับปริซึมปกติ เมื่อค้นหาค่าที่ต้องการ ควรใช้นิพจน์ดั้งเดิม:
V=Soh.
ที่นี่ h คือความยาวของขอบด้านข้าง ดังเช่นในกรณีก่อนหน้านี้ สำหรับพื้นที่ฐาน So สามารถใช้กับค่าต่างๆ ได้ งานคำนวณปริซึมของปริมาตรตรงจะลดลงเพื่อหาพื้นที่ฐาน
การคำนวณค่าของ Soควรดำเนินการตามลักษณะของฐาน ตัวอย่างเช่น หากเป็นรูปสามเหลี่ยม พื้นที่สามารถคำนวณได้ดังนี้
So3=1/2aha.
ที่นี่ ha คือมุมตั้งฉากของสามเหลี่ยม นั่นคือ ความสูงลดลงถึงฐาน a
ถ้าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยม ก็อาจเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยม หรือแบบใดก็ได้ สำหรับกรณีเหล่านี้ทั้งหมด คุณควรใช้สูตรการวัดแนวราบที่เหมาะสมเพื่อกำหนดพื้นที่ ตัวอย่างเช่น สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู สูตรนี้จะมีลักษณะดังนี้:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
โดยที่ ha คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู a1 และ a2 คือความยาว ของด้านขนานกัน.
ในการหาพื้นที่สำหรับรูปหลายเหลี่ยมในลำดับที่สูงกว่า คุณควรแยกพวกมันออกเป็นรูปทรงง่ายๆ (สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยมจัตุรัส) และคำนวณผลรวมของพื้นที่หลัง
ปริมาตรปริซึมเอียง
นี่เป็นกรณีที่ยากที่สุดในการคำนวณปริมาตรของปริซึม สูตรทั่วไปสำหรับตัวเลขดังกล่าวยังใช้:
V=Soh.
อย่างไรก็ตาม ความซับซ้อนในการค้นหาพื้นที่ฐานที่เป็นตัวแทนของรูปหลายเหลี่ยมแบบใดแบบหนึ่ง ปัญหาในการกำหนดความสูงของรูปจึงถูกเพิ่มเข้าไป มันจะน้อยกว่าความยาวของขอบด้านข้างในปริซึมเอียงเสมอ
วิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหาความสูงนี้คือถ้าคุณรู้มุมของรูป (แบนหรือไดฮีดรัล) หากให้มุมดังกล่าว เราควรใช้มันเพื่อสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากภายในปริซึม ซึ่งจะมีความสูง h เป็นด้านใดด้านหนึ่ง และใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติและทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาค่า h
ปัญหาปริมาณเรขาคณิต
ให้ปริซึมธรรมดาฐานสามเหลี่ยม สูง 14 ซม. ด้านยาว 5 ซม. ปริซึมสามเหลี่ยมมีปริมาตรเท่าไหร่
เนื่องจากเรากำลังพูดถึงตัวเลขที่ถูกต้อง เราจึงมีสิทธิ์ใช้สูตรที่รู้จักกันดี เรามี:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151.55 cm3.
ปริซึมสามเหลี่ยมเป็นรูปทรงที่ค่อนข้างสมมาตร ซึ่งมักจะสร้างโครงสร้างทางสถาปัตยกรรมต่างๆ ปริซึมแก้วนี้ใช้ในเลนส์