Polyhedra ไม่เพียงแต่ครอบครองสถานที่ที่โดดเด่นในเรขาคณิต แต่ยังเกิดขึ้นในชีวิตประจำวันของทุกคน ไม่ต้องพูดถึงของใช้ในครัวเรือนที่สร้างขึ้นมาในรูปแบบของรูปหลายเหลี่ยมต่างๆ โดยเริ่มจากกล่องไม้ขีดไฟและลงท้ายด้วยองค์ประกอบทางสถาปัตยกรรม คริสตัลในรูปของลูกบาศก์ (เกลือ) ปริซึม (คริสตัล) พีระมิด (scheelite) แปดด้าน (เพชร) เป็นต้น e.
แนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยม ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมในเรขาคณิต
เรขาคณิตเป็นวิทยาศาสตร์ มีส่วนของ stereometry ที่ศึกษาลักษณะและคุณสมบัติของตัวเลขสามมิติ ร่างกายทางเรขาคณิตซึ่งด้านข้างในพื้นที่สามมิติถูกสร้างขึ้นโดยระนาบ (ใบหน้า) ที่ จำกัด เรียกว่า "รูปทรงหลายเหลี่ยม" ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบด้วยตัวแทนมากกว่าหนึ่งโหล โดยมีจำนวนและรูปร่างของใบหน้าต่างกัน
อย่างไรก็ตาม รูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดมีคุณสมบัติทั่วไป:
- พวกมันทั้งหมดมีส่วนประกอบสำคัญ 3 อย่างคือ ใบหน้า(พื้นผิวของรูปหลายเหลี่ยม), จุดยอด (มุมที่เกิดขึ้นที่ทางแยกของใบหน้า), ขอบ (ด้านข้างของรูปหรือส่วนที่เกิดที่ทางแยกของสองหน้า)
- ขอบรูปหลายเหลี่ยมแต่ละอันเชื่อมสองหน้าและสองหน้าที่อยู่ติดกันเท่านั้น
- นูนหมายความว่าร่างกายตั้งอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของระนาบโดยที่ใบหน้าด้านใดด้านหนึ่งอยู่เท่านั้น กฎนี้ใช้กับทุกหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม รูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวในรูปแบบสามมิติเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ข้อยกเว้นคือรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของของแข็งเรขาคณิตหลายหน้าปกติ
รูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็น:
- ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ซึ่งประกอบด้วยคลาสต่อไปนี้: ธรรมดาหรือคลาสสิก (ปริซึม พีระมิด ขนาน) ปกติ (เรียกอีกอย่างว่า ของแข็ง Platonic) กึ่งปกติ (ชื่อที่สอง - ของแข็งอาร์คิมีดีน)
- รูปทรงหลายเหลี่ยมไม่นูน (รูปดาว)
ปริซึมและคุณสมบัติของมัน
สเตียรอยด์เป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขสามมิติ ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยม (หนึ่งในนั้นคือปริซึม) ปริซึมเป็นวัตถุเรขาคณิตที่จำเป็นต้องมีหน้าสองหน้าเหมือนกันทุกประการ (เรียกอีกอย่างว่าฐาน) ซึ่งอยู่ในระนาบคู่ขนาน และจำนวนที่ n ของใบหน้าด้านข้างในรูปของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในทางกลับกัน ปริซึมก็มีหลายแบบ รวมทั้งรูปทรงหลายเหลี่ยม เช่น
- ขนาน - เกิดถ้าฐานเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน -รูปหลายเหลี่ยมที่มีมุมตรงข้ามเท่ากัน 2 คู่และด้านตรงข้ามเท่ากัน 2 คู่
- ปริซึมตรงมีขอบตั้งฉากกับฐาน
- ปริซึมเอียงมีลักษณะเป็นมุมที่ไม่ใช่มุมฉาก (นอกเหนือจาก 90) ระหว่างใบหน้ากับฐาน
- ปริซึมปกติมีลักษณะเป็นฐานในรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีหน้าด้านเท่ากัน
คุณสมบัติพื้นฐานของปริซึม:
- ฐานสอดคล้องกัน
- ขอบทั้งหมดของปริซึมเท่ากันและขนานกัน
- หน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
พีระมิด
พีระมิดเป็นรูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยหนึ่งฐานและจำนวนที่ n ของใบหน้าสามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อที่จุดหนึ่ง - ด้านบน ควรสังเกตว่าหากใบหน้าด้านข้างของปิรามิดจำเป็นต้องแสดงด้วยรูปสามเหลี่ยม ฐานสามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม หรือห้าเหลี่ยม และอื่นๆ ได้ไม่จำกัด ในกรณีนี้ ชื่อของปิรามิดจะตรงกับรูปหลายเหลี่ยมที่ฐาน ตัวอย่างเช่น ถ้ารูปสามเหลี่ยมอยู่ที่ฐานของพีระมิด มันคือพีระมิดสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมคือรูปสี่เหลี่ยม เป็นต้น
พีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมทรงกรวย ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมของกลุ่มนี้ นอกเหนือจากที่ระบุไว้ข้างต้น ยังรวมถึงตัวแทนต่อไปนี้ด้วย:
- ปิรามิดปกติมีรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ฐาน และความสูงถูกฉายไปที่กึ่งกลางวงกลมที่จารึกไว้ในฐานหรือล้อมรอบมัน
- พีระมิดสี่เหลี่ยมเกิดขึ้นเมื่อขอบด้านใดด้านหนึ่งตัดกับฐานเป็นมุมฉาก ในกรณีนี้ ก็ยุติธรรมที่จะเรียกขอบนี้ว่าความสูงของปิรามิด
คุณสมบัติของพีระมิด:
- หากขอบด้านข้างของพีระมิดเท่ากันทุกประการ (ความสูงเท่ากัน) ขอบทั้งหมดจะตัดกับฐานในมุมเดียวกัน และรอบฐาน คุณสามารถวาดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางประจวบกับเส้นโครงของ ด้านบนของปิรามิด
- ถ้าฐานของพีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ขอบด้านข้างทั้งหมดจะเท่ากัน และใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ: ชนิดและคุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยม
ใน stereometry สถานที่พิเศษจะถูกครอบครองโดยวัตถุเรขาคณิตที่มีใบหน้าเท่ากันทุกประการ ที่จุดยอดที่มีจำนวนขอบเท่ากัน ของแข็งเหล่านี้เรียกว่า Platonic solids หรือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติดังกล่าวมีเพียงห้ารูปร่าง:
- จัตุรมุข
- ทรงหกเหลี่ยม
- แปดหน้า.
- สิบสองหน้า.
- อิโคซาเฮดรอน.
รูปทรงหลายเหลี่ยมธรรมดาเป็นชื่อของนักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Plato ซึ่งบรรยายร่างเรขาคณิตเหล่านี้ในงานเขียนของเขาและเชื่อมโยงพวกมันเข้ากับองค์ประกอบทางธรรมชาติ: ดิน น้ำ ไฟ อากาศ ร่างที่ห้าได้รับรางวัลความคล้ายคลึงกันกับโครงสร้างของจักรวาล ในความเห็นของเขา อะตอมขององค์ประกอบทางธรรมชาติที่มีรูปร่างคล้ายกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ เนื่องจากคุณสมบัติที่น่าตื่นเต้นที่สุด -ความสมมาตร รูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้เป็นที่สนใจอย่างมาก ไม่เพียงแต่สำหรับนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาในสมัยโบราณเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสถาปนิก ศิลปิน และประติมากรตลอดกาลด้วย การปรากฏตัวของรูปทรงหลายเหลี่ยมเพียง 5 ประเภทที่มีความสมมาตรแน่นอนถือเป็นการค้นพบขั้นพื้นฐาน พวกเขายังได้รับการเชื่อมโยงกับหลักการศักดิ์สิทธิ์
Hexahedron และคุณสมบัติของมัน
ในรูปหกเหลี่ยม ผู้สืบทอดของเพลโตถือว่ามีความคล้ายคลึงกันกับโครงสร้างของอะตอมของโลก แน่นอน ในปัจจุบัน สมมติฐานนี้ได้รับการหักล้างโดยสิ้นเชิง ซึ่งไม่ได้ขัดขวางไม่ให้ตัวเลขดังกล่าวดึงดูดจิตใจของบุคคลที่มีชื่อเสียงด้วยสุนทรียภาพในยุคปัจจุบัน
ในเรขาคณิต รูปหกเหลี่ยมหรือที่เรียกว่าลูกบาศก์ถือเป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งในทางกลับกันเป็นปริซึมชนิดหนึ่ง ดังนั้น คุณสมบัติของลูกบาศก์จึงสัมพันธ์กับคุณสมบัติของปริซึม โดยมีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ ใบหน้าและมุมทั้งหมดของลูกบาศก์เท่ากัน คุณสมบัติดังต่อไปนี้ตามมาจากสิ่งนี้:
- ขอบลูกบาศก์ทั้งหมดเท่ากันและอยู่ในระนาบขนานกัน
- หน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน (มีทั้งหมด 6 ลูกบาศก์) ซึ่งสามารถใช้เป็นฐานได้
- มุมอินเทอร์เฟซทั้งหมด 90.
- จำนวนขอบเล็ดลอดออกมาจากจุดยอดแต่ละจุดเท่ากันคือ 3.
- ลูกบาศก์มีความสมมาตร 9 แกน ซึ่งทั้งหมดตัดกันที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปหกเหลี่ยม เรียกว่าจุดศูนย์กลางสมมาตร
จัตุรมุข
จัตุรมุข คือ จัตุรมุขที่มีหน้าเท่ากันในรูปสามเหลี่ยม ซึ่งแต่ละจุดยอดนั้นเป็นจุดรวมของสามหน้า
คุณสมบัติของจัตุรมุขปกติ:
- ใบหน้าของจัตุรมุขทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งหมายความว่าใบหน้าของจัตุรมุขทุกหน้าจะเท่ากัน
- เนื่องจากฐานแสดงด้วยรูปทรงเรขาคณิตปกติ นั่นคือ มีด้านเท่ากัน ใบหน้าของจัตุรมุขมาบรรจบกันในมุมเดียวกัน นั่นคือ ทุกมุมเท่ากัน
- ผลรวมของมุมแบนที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 180 เนื่องจากทุกมุมเท่ากัน ดังนั้นมุมใดๆ ของจัตุรมุขปกติคือ 60
- จุดยอดแต่ละจุดถูกฉายไปยังจุดตัดของความสูงของใบหน้าฝั่งตรงข้าม (Orthocenter)
รูปแปดด้านและคุณสมบัติของมัน
เมื่ออธิบายประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมธรรมดา เราไม่สามารถพลาดที่จะสังเกตวัตถุเช่นแปดด้าน ซึ่งสามารถแสดงด้วยสายตาเป็นปิรามิดธรรมดาสองรูปสี่เหลี่ยมที่ติดกาวไว้ด้วยกันด้วยฐาน
คุณสมบัติของแปดด้าน:
- ชื่อจริงของตัวเรขาคณิตบ่งบอกถึงจำนวนใบหน้าของมัน รูปแปดด้านประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 8 รูปที่เท่ากัน โดยแต่ละจุดยอดซึ่งมีใบหน้าจำนวนเท่ากันมาบรรจบกัน คือ 4.
- เนื่องจากหน้าของรูปแปดด้านเท่ากันหมด มุมต่อประสานของมันก็เท่ากัน ซึ่งแต่ละอันมีค่าเท่ากับ 60 และผลรวมของมุมระนาบของจุดยอดใดๆ ก็ตามจึงเท่ากับ 240
สิบสองหน้า
ถ้าเราคิดว่าหน้าของตัวเรขาคณิตทั้งหมดเป็นรูปห้าเหลี่ยมธรรมดา เราก็จะได้สิบสองหน้า -รูปหลายเหลี่ยม 12 รูป
คุณสมบัติของสิบสองหน้า:
- สามหน้าตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุด
- ใบหน้าทุกคนเท่ากันและมีความยาวขอบเท่ากันและพื้นที่เท่ากัน
- dodecahedron มีแกนและระนาบสมมาตร 15 อัน และแต่ละอันจะผ่านจุดยอดของใบหน้าและตรงกลางของขอบตรงข้าม
อิโคซาเฮดรอน
น่าสนใจไม่น้อยไปกว่า dodecahedron ฟิกเกอร์ของ icosahedron เป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติที่มี 20 ใบหน้าเท่ากัน ในบรรดาคุณสมบัติของยี่สิบเฮดรอนปกติสามารถสังเกตได้ดังต่อไปนี้:
- ทุกหน้าของหน้าจั่วเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
- ห้าหน้ามาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละด้านของรูปทรงหลายเหลี่ยม และผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันของจุดยอดคือ 300
- icosahedron เช่นเดียวกับ dodecahedron มี 15 แกนและระนาบสมมาตรผ่านจุดกึ่งกลางของใบหน้าตรงข้าม
รูปหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ
นอกจากของแข็งเรียบ กลุ่มของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนยังรวมถึงของแข็งอาร์คิมีดีนด้วย ซึ่งมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ถูกตัดให้สั้นลง ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมของกลุ่มนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
- รูปร่างทางเรขาคณิตมีใบหน้าคู่ที่เท่ากันหลายประเภท เช่น จัตุรมุขที่ถูกตัดปลายมี 8 หน้า เหมือนจัตุรมุขทั่วไป แต่ในกรณีของของแข็งอาร์คิมีดีน 4 หน้าจะเป็นสามเหลี่ยม และ 4 หน้าจะเป็นหกเหลี่ยม
- มุมทั้งหมดของจุดยอดเดียวเท่ากัน
รูปทรงหลายเหลี่ยมดาว
ตัวแทนของวัตถุรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่ปริมาตรเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีดาวฤกษ์ซึ่งมีใบหน้าตัดกัน สามารถสร้างได้โดยการรวมของแข็ง 3D ปกติสองอันเข้าด้วยกันหรือโดยการขยายใบหน้าของพวกมัน
ดังนั้น รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีดาวฤกษ์ดังกล่าวจึงเรียกว่า: รูปดาวของรูปแปดด้าน, สิบสองหน้า, รูปหลายเหลี่ยม, รูปหลายเหลี่ยม, รูปหลายเหลี่ยม, รูปแปดเหลี่ยมรูปดาว