ทฤษฎีความน่าจะเป็นใช้ได้กับตัวแปรสุ่ม สำหรับตัวแปรสุ่ม มีกฎการแจกแจงที่เรียกว่า กฎหมายดังกล่าวอธิบายตัวแปรสุ่มด้วยความสมบูรณ์สมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม เมื่อทำงานกับชุดของตัวแปรสุ่มจริง มักจะเป็นเรื่องยากมากที่จะกำหนดกฎของการแจกแจงทันที และจำกัดเฉพาะชุดของลักษณะเชิงตัวเลขบางชุด ตัวอย่างเช่น การคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มมักจะมีประโยชน์มาก
ทำไมต้อง
หากสาระสำคัญของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยของปริมาณ ในกรณีนี้ การกระจายตัวจะบอกว่าค่าของปริมาณของเรากระจัดกระจายไปตามการคาดหมายทางคณิตศาสตร์นี้อย่างไร ตัวอย่างเช่น หากเราวัด IQ ของกลุ่มคนและต้องการตรวจสอบผลการวัด (ตัวอย่าง) การคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะแสดงค่าเฉลี่ยโดยประมาณของความฉลาดทางปัญญาสำหรับคนกลุ่มนี้ และหากเราคำนวณความแปรปรวนตัวอย่าง เราจะหาว่าผลลัพธ์ถูกจัดกลุ่มอย่างไรตามการคาดหมายทางคณิตศาสตร์: กลุ่มที่อยู่ใกล้ (ความแปรปรวนเล็กน้อยใน IQ) หรือมากกว่าเท่าๆ กันตลอดช่วงทั้งหมดตั้งแต่ผลลัพธ์ต่ำสุดไปจนถึงสูงสุด (รูปแบบกว้างๆ และอยู่ตรงกลาง - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์).
ในการคำนวณความแปรปรวน คุณต้องมีคุณลักษณะใหม่ของตัวแปรสุ่ม - ค่าเบี่ยงเบนของค่าจากทางคณิตศาสตร์รออยู่
เบี่ยงเบน
เพื่อให้เข้าใจวิธีคำนวณความแปรปรวน ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจส่วนเบี่ยงเบนก่อน คำจำกัดความคือความแตกต่างระหว่างค่าที่ตัวแปรสุ่มใช้กับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ พูดโดยคร่าว ๆ เพื่อที่จะเข้าใจว่าค่า "กระจัดกระจาย" อย่างไร คุณต้องดูว่าค่าเบี่ยงเบนมีการกระจายอย่างไร นั่นคือเราแทนที่ค่าของค่าด้วยค่าเบี่ยงเบนจากเสื่อ ความคาดหวังและสำรวจกฎหมายการจัดจำหน่าย
กฎการแจกแจงแบบแยกส่วน นั่นคือ ตัวแปรสุ่มที่ใช้กับค่าแต่ละค่า ถูกเขียนในรูปแบบของตาราง โดยที่ค่าของค่ามีความสัมพันธ์กับความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น จากนั้นในกฎการกระจายส่วนเบี่ยงเบน ตัวแปรสุ่มจะถูกแทนที่ด้วยสูตรของมัน ซึ่งมีค่า (ซึ่งคงความน่าจะเป็นของตัวแปรนั้นไว้) และค่าคงที่ของมันเอง รออยู่
คุณสมบัติของกฎการแจกแจงความเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม
เราได้เขียนกฎการแจกแจงค่าเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มไว้แล้ว จากนั้น เราสามารถแยกเฉพาะคุณลักษณะเช่นการคาดหมายทางคณิตศาสตร์เท่านั้น เพื่อความสะดวก ควรใช้ตัวอย่างที่เป็นตัวเลข
ปล่อยให้มีกฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มบางตัว: X - ค่า p - ความน่าจะเป็น
เราคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์โดยใช้สูตรและส่วนเบี่ยงเบนทันที
วาดตารางแจกแจงส่วนเบี่ยงเบนใหม่
เราคำนวณความคาดหวังที่นี่เช่นกัน
กลายเป็นศูนย์ มีเพียงตัวอย่างเดียวเท่านั้น แต่จะเป็นเช่นนั้นเสมอ: ไม่ใช่เรื่องยากที่จะพิสูจน์ในกรณีทั่วไป สูตรสำหรับการคาดคะเนทางคณิตศาสตร์ของการเบี่ยงเบนสามารถแบ่งออกเป็นส่วนต่างระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มและไม่ว่าจะฟังดูคดเคี้ยวแค่ไหน ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเสื่อ ความคาดหวัง (การเรียกซ้ำ) ซึ่งเหมือนกัน ดังนั้นความแตกต่างจะเป็นศูนย์
เป็นอย่างที่คาดไว้: ท้ายที่สุดแล้ว ความเบี่ยงเบนในเครื่องหมายอาจเป็นได้ทั้งทางบวกและทางลบ ดังนั้นโดยเฉลี่ยแล้วจึงควรให้ศูนย์
วิธีคำนวณความแปรปรวนของกรณีที่ไม่ต่อเนื่อง ปริมาณ
ถ้าเสื่อ. มันไม่มีประโยชน์ที่จะคำนวณค่าเบี่ยงเบนที่คาดหวัง คุณต้องมองหาอย่างอื่น คุณสามารถใช้ค่าสัมบูรณ์ของการเบี่ยงเบน (โมดูโล); แต่สำหรับโมดูล ทุกอย่างไม่ง่ายนัก ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนจะถูกยกกำลังสอง จากนั้นจึงคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน จริงๆ แล้ว นี่คือสิ่งที่มีความหมายเมื่อพวกเขาพูดถึงวิธีคำนวณความแปรปรวน
นั่นคือ เรานำส่วนเบี่ยงเบน ยกกำลังสอง และสร้างตารางค่าเบี่ยงเบนกำลังสองและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับตัวแปรสุ่ม นี่คือกฎหมายการจำหน่ายใหม่ ในการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ คุณต้องบวกผลคูณของกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนและความน่าจะเป็น
สูตรง่ายกว่า
อย่างไรก็ตาม บทความเริ่มต้นด้วยข้อเท็จจริงที่ว่ากฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มเริ่มต้นมักไม่เป็นที่รู้จัก เลยต้องหาอะไรที่เบากว่านี้ มีอีกสูตรหนึ่งที่ให้คุณคำนวณความแปรปรวนตัวอย่างโดยใช้เสื่ออย่างเดียวรอ:
กระจาย - ความแตกต่างระหว่างเสื่อ ความคาดหวังของกำลังสองของตัวแปรสุ่มและในทางกลับกันคือกำลังสองของเสื่อ รออยู่
มีหลักฐานสำหรับสิ่งนี้ แต่ไม่สมเหตุสมผลที่จะนำเสนอที่นี่ เนื่องจากมันไม่มีค่าที่ใช้งานได้จริง (และเราเพียงต้องคำนวณความแปรปรวนเท่านั้น)
วิธีคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มในอนุกรมความแปรปรวน
ในสถิติจริง เป็นไปไม่ได้ที่จะสะท้อนตัวแปรสุ่มทั้งหมด (เพราะว่าโดยคร่าว ๆ ตามกฎแล้วมีจำนวนไม่สิ้นสุด) ดังนั้น สิ่งที่ได้รับในการศึกษานี้คือสิ่งที่เรียกว่ากลุ่มตัวอย่างจากประชากรทั่วไปบางกลุ่ม และเนื่องจากคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มใดๆ จากประชากรทั่วไปดังกล่าวคำนวณจากกลุ่มตัวอย่าง จึงเรียกว่าตัวอย่าง: ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ตามลำดับ ความแปรปรวนตัวอย่าง คุณสามารถคำนวณได้แบบเดียวกับการคำนวณปกติ (ผ่านการเบี่ยงเบนกำลังสอง)
อย่างไรก็ตาม การกระจายดังกล่าวเรียกว่าลำเอียง สูตรความแปรปรวนที่ไม่เอนเอียงดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย มันมักจะต้องใช้ในการคำนวณ
เพิ่มเล็กน้อย
ลักษณะพิเศษเชิงตัวเลขอีกอย่างหนึ่งเชื่อมโยงกับการกระจายตัว นอกจากนี้ยังใช้ประเมินว่าตัวแปรสุ่มกระจายไปรอบๆ เสื่ออย่างไร ความคาดหวัง วิธีการคำนวณความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้นไม่แตกต่างกันมากนัก อันหลังคือรากที่สองของค่าเดิม