จำนวนอตรรกยะคืออะไร? ทำไมพวกเขาถึงเรียกอย่างนั้น? ใช้ที่ไหนและคืออะไร? น้อยคนนักที่จะตอบคำถามเหล่านี้ได้โดยไม่ลังเล แต่ความจริงแล้ว คำตอบของพวกมันค่อนข้างง่าย แม้ว่าทุกคนจะไม่ต้องการมันและในสถานการณ์ที่หายากมาก
สาระสำคัญและการกำหนด
จำนวนอตรรกยะคือเศษส่วนทศนิยมไม่เป็นระยะอนันต์ ความจำเป็นในการนำเสนอแนวคิดนี้เนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าแนวคิดที่มีอยู่ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับจำนวนจริงหรือจำนวนจริง จำนวนเต็ม ธรรมชาติ และจำนวนตรรกยะไม่เพียงพอต่อการแก้ปัญหาใหม่ที่เกิดขึ้นอีกต่อไป ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณว่ากำลังสองของ 2 คืออะไร คุณต้องใช้ทศนิยมอนันต์ที่ไม่เกิดซ้ำ นอกจากนี้ สมการที่ง่ายที่สุดหลายๆ สมการก็ไม่มีคำตอบโดยไม่ได้แนะนำแนวคิดของจำนวนอตรรกยะ
ชุดนี้แสดงเป็น I. และดังที่ชัดเจนแล้ว ค่าเหล่านี้ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนอย่างง่ายได้ ในตัวเศษจะมีจำนวนเต็ม และในตัวส่วน - เป็นจำนวนธรรมชาติ.
ครั้งแรกในชีวิตมิฉะนั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียจะพบกับปรากฏการณ์นี้ในศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสตกาล เมื่อพบว่ารากที่สองของปริมาณบางอย่างไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจน และการพิสูจน์ครั้งแรกของการมีอยู่ของตัวเลขดังกล่าวมีสาเหตุมาจากฮิปปาซัสพีทาโกรัสซึ่งทำสิ่งนี้ในกระบวนการศึกษาสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว นักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ที่เคยมีชีวิตอยู่มาก่อนยุคของเรามีส่วนสนับสนุนอย่างมากในการศึกษาชุดนี้ การแนะนำแนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะทำให้เกิดการแก้ไขระบบคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ ซึ่งเป็นเหตุว่าทำไมมันถึงมีความสำคัญ
ที่มาของชื่อ
ถ้าอัตราส่วนในภาษาละตินหมายถึง "เศษส่วน" "อัตราส่วน" แล้วคำนำหน้า "ir"
จะให้คำนี้มีความหมายตรงกันข้าม ดังนั้น ชื่อของชุดของตัวเลขเหล่านี้บ่งชี้ว่าไม่สามารถสัมพันธ์กับจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้ พวกมันมีตำแหน่งแยกต่างหาก ตามมาจากแก่นแท้ของพวกมัน
จัดอยู่ในประเภทโดยรวม
จำนวนอตรรกยะร่วมกับจำนวนตรรกยะ อยู่ในกลุ่มของจำนวนจริงหรือจำนวนจริง ซึ่งจะเป็นของจำนวนเชิงซ้อน อย่างไรก็ตาม ไม่มีส่วนย่อย แต่มีพีชคณิตและพันธุ์เหนือธรรมชาติ ซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง
คุณสมบัติ
เนื่องจากจำนวนอตรรกยะเป็นส่วนหนึ่งของเซตของจำนวนจริง คุณสมบัติทั้งหมดที่ศึกษาในเลขคณิต (เรียกอีกอย่างว่ากฎพีชคณิตพื้นฐาน) นำไปใช้กับพวกเขา
a + b=b + a (สับเปลี่ยน);
(a + b) + c=a + (b + c)(การเชื่อมโยง);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (การมีอยู่ของจำนวนตรงข้าม);
ab=ba (กฎหมายการกระจัด);
(ab)c=a(bc) (การกระจาย);
a(b+c)=ab + ac (กฎหมายการกระจาย);
a x 1=a
a x 1/a=1 (การมีอยู่ของจำนวนผกผัน);
การเปรียบเทียบยังดำเนินการตามกฎหมายและหลักการทั่วไป:
ถ้า > b และ b > c แล้ว > c (ทรานซิชันของอัตราส่วน) และ เป็นต้น
แน่นอน จำนวนอตรรกยะทั้งหมดสามารถแปลงได้โดยใช้เลขคณิตพื้นฐาน ไม่มีกฎพิเศษสำหรับสิ่งนี้
นอกจากนี้ สัจพจน์ของอาร์คิมิดีสยังใช้กับจำนวนอตรรกยะด้วย มันบอกว่าสำหรับปริมาณสองค่า a และ b ใด ๆ ประโยคนี้เป็นความจริงว่าเมื่อหาค่า a เป็นระยะเวลาเพียงพอ คุณจะสามารถเกิน b.
ใช้
ถึงแม้ชีวิตปกติจะไม่ต้องรับมือกับมันบ่อยๆ แต่ก็นับจำนวนอตรรกยะไม่ได้ มีมากมาย แต่แทบจะมองไม่เห็น เราถูกรายล้อมไปด้วยจำนวนอตรรกยะทุกหนทุกแห่ง ตัวอย่างที่ทุกคนคุ้นเคย ได้แก่ ตัวเลข pi เท่ากับ 3, 1415926 …, หรือ e ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ 2, 718281828 … ในพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเรขาคณิต ต้องใช้อย่างต่อเนื่อง. อีกอย่าง ค่าที่มีชื่อเสียงของ "ส่วนสีทอง" นั่นคืออัตราส่วนของทั้งส่วนที่ใหญ่กว่าและส่วนที่เล็กกว่าและในทางกลับกันก็คือ
อยู่ในชุดนี้ "เงิน" ที่รู้จักกันน้อย - เช่นกัน
พวกมันอยู่หนาแน่นมากบนเส้นจำนวน ดังนั้นระหว่างค่าสองค่าใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับเซตของจำนวนตรรกยะ จะเกิดค่าที่ไม่ลงตัวเกิดขึ้นอย่างแน่นอน
ยังมีปัญหามากมายที่ยังไม่ได้แก้ไขเกี่ยวกับชุดนี้ มีเกณฑ์เช่นการวัดความไร้เหตุผลและความปกติของตัวเลข นักคณิตศาสตร์ยังคงตรวจสอบตัวอย่างที่สำคัญที่สุดสำหรับการเป็นสมาชิกของกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เชื่อกันว่า e เป็นจำนวนปกติ กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของตัวเลขต่าง ๆ ที่ปรากฏในบันทึกจะเท่ากัน สำหรับ pi นั้น การวิจัยยังอยู่ระหว่างดำเนินการ การวัดความไร้เหตุผลเรียกอีกอย่างว่าค่าที่แสดงว่าตัวเลขนี้หรือตัวเลขนั้นสามารถประมาณด้วยจำนวนตรรกยะได้ดีเพียงใด
พีชคณิตและเหนือธรรมชาติ
ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว จำนวนอตรรกยะแบ่งออกเป็นเชิงพีชคณิตและอตรรกยะ ตามเงื่อนไข การจัดหมวดหมู่นี้ใช้แบ่งเซต C
ตามเงื่อนไข
การกำหนดนี้ซ่อนจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งรวมถึงจำนวนจริงหรือจำนวนจริง
ดังนั้น ค่าพีชคณิตคือค่าที่เป็นรากของพหุนามที่ไม่เท่ากับศูนย์เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น สแควร์รูทของ 2 จะอยู่ในหมวดหมู่นี้เพราะเป็นคำตอบของสมการ x2 - 2=0.
จำนวนจริงอื่นๆ ที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้เรียกว่า ยอดเยี่ยม เพื่อความหลากหลายนี้รวมตัวอย่างที่มีชื่อเสียงและกล่าวถึงแล้ว - ตัวเลข pi และฐานของลอการิทึมธรรมชาติ e.
น่าสนใจที่นักคณิตศาสตร์สามารถอนุมานได้ว่าทั้งตัวใดตัวหนึ่งและตัวที่สองในตอนแรก ความไร้เหตุผลและการมีชัยได้รับการพิสูจน์หลายปีหลังจากการค้นพบ สำหรับ pi การพิสูจน์ได้รับในปี 1882 และทำให้ง่ายขึ้นในปี 1894 ซึ่งยุติการโต้เถียงกัน 2,500 ปีเกี่ยวกับปัญหาการยกกำลังสองวงกลม มันยังไม่เข้าใจอย่างถ่องแท้ นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่จึงมีบางอย่างที่ต้องทำ อย่างไรก็ตาม การคำนวณค่านี้ที่แม่นยำเพียงพอครั้งแรกนั้นดำเนินการโดยอาร์คิมิดีส ก่อนหน้าเขา การคำนวณทั้งหมดนั้นใกล้เคียงกันเกินไป
สำหรับ e (หมายเลขออยเลอร์หรือเนเปียร์) หลักฐานการอยู่เหนือถูกค้นพบในปี พ.ศ. 2416 ใช้ในการแก้สมการลอการิทึม
ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่ ค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์สำหรับค่าที่ไม่ใช่ศูนย์เกี่ยวกับพีชคณิต