ในปี 1900 David Hilbert หนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งของศตวรรษที่ผ่านมา ได้รวบรวมรายการปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้แก้ไข 23 ข้อ การทำงานกับพวกเขามีผลกระทบอย่างมากต่อการพัฒนาความรู้ของมนุษย์ในด้านนี้ 100 ปีต่อมา Clay Mathematical Institute ได้นำเสนอ 7 ปัญหาที่เรียกว่า Millennium Problems แต่ละคนได้รับรางวัล 1 ล้านเหรียญ
ปัญหาเดียวที่ปรากฏในทั้งสองรายการปริศนาที่หลอกหลอนนักวิทยาศาสตร์มานานกว่าหนึ่งศตวรรษคือสมมติฐานของรีมันน์ เธอยังคงรอการตัดสินใจของเธอ
บันทึกชีวประวัติสั้น
จอร์จ ฟรีดริช แบร์นฮาร์ด รีมันน์ เกิดเมื่อปี พ.ศ. 2369 ในเมืองฮันโนเวอร์ ในครอบครัวศิษยาภิบาลผู้ยากจนขนาดใหญ่ และมีอายุเพียง 39 ปี เขาจัดการเผยแพร่ 10 ผลงาน อย่างไรก็ตามในช่วงชีวิตของเขา Riemann ได้รับการพิจารณาให้เป็นผู้สืบทอดตำแหน่งของครู Johann Gauss ตอนอายุ 25 นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ปกป้องวิทยานิพนธ์ของเขาเรื่อง "พื้นฐานของทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรที่ซับซ้อน" ต่อมาได้ทรงกำหนดสมมติฐานที่มีชื่อเสียงของเขา
เลขเด่น
คณิตศาสตร์เกิดขึ้นเมื่อมนุษย์หัดนับ ในเวลาเดียวกัน ความคิดแรกเกี่ยวกับตัวเลขก็เกิดขึ้น ซึ่งต่อมาพวกเขาพยายามจำแนก บางส่วนได้รับการสังเกตว่ามีคุณสมบัติทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในบรรดาจำนวนธรรมชาติ กล่าวคือ ตัวเลขที่ใช้ในการนับ (การนับ) หรือการกำหนดจำนวนวัตถุ กลุ่มหนึ่งมีความโดดเด่นที่หารด้วยตัวมันเองเท่านั้น พวกเขาเรียกว่าเรียบง่าย Euclid ได้ให้ข้อพิสูจน์อันสง่างามของทฤษฎีบทอนันต์ของเซตของตัวเลขดังกล่าวใน Elements ของเขา ในขณะนี้ การค้นหาของพวกเขายังคงดำเนินต่อไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนที่มากที่สุดที่ทราบคือ 274 207 281 – 1.
สูตรออยเลอร์
พร้อมกับแนวคิดเรื่องอนันต์ของเซตของจำนวนเฉพาะ Euclid ยังกำหนดทฤษฎีบทที่สองเกี่ยวกับการสลายตัวที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวในปัจจัยเฉพาะ จากข้อมูลดังกล่าว จำนวนเต็มบวกใดๆ เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะชุดเดียวเท่านั้น ในปี 1737 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้แสดงทฤษฎีบทอนันต์แรกของยุคลิดตามสูตรด้านล่าง
เรียกว่าฟังก์ชันซีตา โดยที่ s เป็นค่าคงที่และ p ใช้ค่าเฉพาะทั้งหมด คำกล่าวของ Euclid เกี่ยวกับความพิเศษของภาคเสริมนั้นตามมาโดยตรง
Riemann Zeta Function
สูตรของออยเลอร์ในการตรวจสอบอย่างใกล้ชิดนั้นสมบูรณ์น่าแปลกใจเพราะมันกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเฉพาะและจำนวนเต็ม ท้ายที่สุด นิพจน์จำนวนมากนับไม่ถ้วนที่ขึ้นอยู่กับจำนวนเฉพาะจะถูกคูณทางด้านซ้าย และผลรวมที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มบวกทั้งหมดจะอยู่ทางด้านขวา
รีมันน์ไปไกลกว่าออยเลอร์ เพื่อหากุญแจของปัญหาการแจกแจงตัวเลข เขาเสนอให้กำหนดสูตรสำหรับตัวแปรทั้งจำนวนจริงและตัวแปรเชิงซ้อน เธอเป็นผู้ที่ได้รับชื่อฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ในเวลาต่อมา ในปี 1859 นักวิทยาศาสตร์ได้ตีพิมพ์บทความเรื่อง "เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะที่ไม่เกินค่าที่กำหนด" ซึ่งเขาได้สรุปความคิดทั้งหมดของเขา
Riemann แนะนำให้ใช้ซีรี่ส์ออยเลอร์ ซึ่งมาบรรจบกันสำหรับ s>1 ของจริง หากใช้สูตรเดียวกันสำหรับสารเชิงซ้อน s อนุกรมจะบรรจบกันสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปรนี้ที่มีส่วนจริงมากกว่า 1 Riemann ใช้ขั้นตอนการวิเคราะห์ต่อเนื่องเพื่อขยายคำจำกัดความของซีตาไปยังจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด แต่ "โยนออก" หน่วย ถูกแยกออกเพราะที่ s=1 ฟังก์ชันซีตาเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์
วิจารณญาณ
มีคำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: เหตุใดฟังก์ชันซีตาจึงเป็นกุญแจสำคัญในงานของรีมันน์เกี่ยวกับสมมติฐานว่าง น่าสนใจและสำคัญ ดังที่คุณทราบ ในขณะนี้ยังไม่มีการระบุรูปแบบง่ายๆ ที่จะอธิบายการแจกแจงของจำนวนเฉพาะระหว่างจำนวนธรรมชาติ รีมันน์สามารถค้นพบว่าจำนวน pi(x) ของจำนวนเฉพาะที่ไม่เกิน x นั้นแสดงออกมาในรูปของการแจกแจงค่าศูนย์ที่ไม่สำคัญของฟังก์ชันซีตา นอกจากนี้ สมมติฐานของรีมันน์คือเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการพิสูจน์การประมาณเวลาสำหรับการทำงานของอัลกอริธึมการเข้ารหัสบางตัว
สมมติฐานของรีมันน์
หนึ่งในสูตรแรกของปัญหาทางคณิตศาสตร์นี้ ซึ่งยังไม่ได้รับการพิสูจน์มาจนถึงทุกวันนี้ ฟังดูเหมือนดังนี้: ฟังก์ชันซีตา 0 ที่ไม่สำคัญคือจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเท่ากับ ½ กล่าวคืออยู่ในบรรทัด Re s=½.
นอกจากนี้ยังมีสมมติฐานทั่วไปของรีมันน์ ซึ่งเป็นคำกล่าวเดียวกัน แต่สำหรับลักษณะทั่วไปของฟังก์ชันซีตา ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าฟังก์ชัน Dirichlet L (ดูรูปด้านล่าง)
ในสูตร χ(n) - อักขระตัวเลขบางตัว (modulo k).
คำสั่ง Riemannian ถือเป็นสมมติฐานที่เรียกว่า null เนื่องจากได้รับการทดสอบเพื่อความสอดคล้องกับข้อมูลตัวอย่างที่มีอยู่แล้ว
อย่างที่รีมันน์เถียง
คำกล่าวของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันนั้นเดิมใช้คำที่ค่อนข้างไม่เป็นทางการ ความจริงก็คือในเวลานั้นนักวิทยาศาสตร์กำลังจะพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการแจกแจงจำนวนเฉพาะ และในบริบทนี้ สมมติฐานนี้ไม่มีความสำคัญเป็นพิเศษ อย่างไรก็ตาม บทบาทในการแก้ปัญหาอื่นๆ มากมายมหาศาล นั่นคือเหตุผลที่นักวิทยาศาสตร์หลายคนยอมรับสมมติฐานของรีมันน์ว่าเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์
ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว สมมติฐานเต็มของรีมันน์ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ทฤษฎีบทการแจกแจง และก็เพียงพอแล้วที่จะให้เหตุผลตามหลักเหตุผลว่าส่วนแท้จริงของค่าศูนย์ที่ไม่สำคัญใดๆ ของฟังก์ชันซีตานั้นอยู่ในระหว่าง 0 ถึง 1 จากคุณสมบัตินี้เป็นผลรวมของฟังก์ชันซีตาทั้งหมดที่ปรากฏในสูตรข้างต้นเป็นค่าคงที่จำกัด สำหรับค่า x ที่มาก อาจสูญเสียไปโดยสิ้นเชิง สมาชิกเพียงตัวเดียวของสูตรที่ยังคงเหมือนเดิมแม้สำหรับ x ที่มีขนาดใหญ่มาก ก็คือตัว x เอง เงื่อนไขที่ซับซ้อนที่เหลือจะหายไปโดยไม่มีอาการเมื่อเปรียบเทียบกับคำนั้น ผลรวมถ่วงน้ำหนักมีแนวโน้มเป็น x เหตุการณ์นี้ถือได้ว่าเป็นการยืนยันความจริงของทฤษฎีบทเกี่ยวกับการแจกแจงจำนวนเฉพาะ ดังนั้นค่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์จึงมีบทบาทพิเศษ ประกอบด้วยการพิสูจน์ว่าค่าดังกล่าวไม่สามารถมีส่วนสำคัญต่อสูตรการสลายตัว
ผู้ติดตามของรีมันน์
การเสียชีวิตอันน่าเศร้าจากวัณโรคไม่อนุญาตให้นักวิทยาศาสตร์คนนี้นำโปรแกรมของเขาไปสู่จุดจบของตรรกะ อย่างไรก็ตาม Sh-Zh รับช่วงต่อจากเขา de la Vallée Poussin และ Jacques Hadamard พวกเขาอนุมานทฤษฎีบทเกี่ยวกับการแจกแจงจำนวนเฉพาะโดยไม่ขึ้นต่อกัน Hadamard และ Poussin สามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชัน 0 zeta ที่ไม่สำคัญทั้งหมดนั้นอยู่ในแถบวิกฤต
ขอบคุณผลงานของนักวิทยาศาสตร์เหล่านี้ ทิศทางใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์ได้ปรากฏขึ้น - ทฤษฎีการวิเคราะห์ของตัวเลข ต่อมา นักวิจัยคนอื่นๆ ได้หลักฐานพิสูจน์ดั้งเดิมอีกหลายข้อของทฤษฎีบทที่รีมันน์กำลังดำเนินการอยู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Pal Erdős และ Atle Selberg ได้ค้นพบห่วงโซ่ตรรกะที่ซับซ้อนมากซึ่งยืนยันได้ ซึ่งไม่จำเป็นต้องใช้การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ณ จุดนี้ สิ่งสำคัญหลายประการทฤษฎีบท รวมถึงการประมาณค่าฟังก์ชันทฤษฎีจำนวนมากมาย ในเรื่องนี้งานใหม่ของ Erdős และ Atle Selberg แทบไม่ได้รับผลกระทบใดๆ
หนึ่งในข้อพิสูจน์ที่ง่ายและสวยงามที่สุดของปัญหาถูกค้นพบในปี 1980 โดยโดนัลด์ นิวแมน มันขึ้นอยู่กับทฤษฎีบท Cauchy ที่มีชื่อเสียง
สมมติฐานของรีมันเนียนคุกคามรากฐานของการเข้ารหัสสมัยใหม่หรือไม่
การเข้ารหัสข้อมูลเกิดขึ้นพร้อมกับลักษณะที่ปรากฏของอักษรอียิปต์โบราณ แม่นยำยิ่งขึ้น พวกเขาถือได้ว่าเป็นรหัสแรก ขณะนี้มีพื้นที่ทั้งหมดของการเข้ารหัสดิจิทัลซึ่งกำลังพัฒนาอัลกอริธึมการเข้ารหัส
ไพรม์และเบอร์ "กึ่งไพรม์" กล่าวคือ ตัวเลขที่หารด้วยตัวเลขอื่นจากคลาสเดียวกันเพียง 2 ตัวเท่านั้น จึงเป็นพื้นฐานของระบบกุญแจสาธารณะที่เรียกว่า RSA มีแอพพลิเคชั่นที่กว้างที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะใช้เมื่อสร้างลายเซ็นอิเล็กทรอนิกส์ สมมุติฐานรีมันน์ในแง่ที่เข้าถึงได้สำหรับหุ่นจำลอง ยืนยันการมีอยู่ของระบบในการแจกแจงจำนวนเฉพาะ ดังนั้นความแข็งแกร่งของคีย์การเข้ารหัสซึ่งขึ้นอยู่กับความปลอดภัยของธุรกรรมออนไลน์ในด้านอีคอมเมิร์ซจึงลดลงอย่างมาก
ปัญหาคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่ไม่ได้รับการแก้ไข
จบบทความด้วยการอุทิศคำสองสามคำให้กับเป้าหมายแห่งสหัสวรรษอื่นๆ ซึ่งรวมถึง:
- ความเท่าเทียมกันของคลาส P และ NP ปัญหามีการกำหนดดังนี้: หากคำตอบในเชิงบวกสำหรับคำถามใดคำถามหนึ่งได้รับการตรวจสอบในเวลาพหุนามแล้วจริงหรือไม่ที่คำตอบของคำถามนี้เองหาได้อย่างรวดเร็ว?
- การคาดเดาของฮ็อดจ์. พูดง่ายๆ ก็คือ สามารถกำหนดสูตรได้ดังนี้: สำหรับพันธุ์พีชคณิตโปรเจกทีฟบางประเภท (ช่องว่าง) ฮอดจ์ ไซเคิล คือการรวมกันของวัตถุที่มีการตีความทางเรขาคณิต เช่น วัฏจักรพีชคณิต
- การคาดเดาของพอยน์คาเร. นี่เป็นเพียงความท้าทายแห่งสหัสวรรษเท่านั้นที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ตามที่กล่าวไว้ วัตถุ 3 มิติใดๆ ที่มีคุณสมบัติเฉพาะของทรงกลม 3 มิติจะต้องเป็นทรงกลม ขึ้นอยู่กับการเสียรูป
- ยืนยันทฤษฎีควอนตัมของหยาง - มิลส์. จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าทฤษฎีควอนตัมที่นักวิทยาศาสตร์เหล่านี้นำเสนอสำหรับอวกาศ R 4 มีอยู่จริงและมีข้อบกพร่องมวลที่ 0 สำหรับกลุ่มเกจขนาดกะทัดรัดทั่วไป G
- สมมติฐานเบิร์ช-สวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ นี่เป็นอีกปัญหาหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการเข้ารหัส มันสัมผัสเส้นโค้งวงรี
- ปัญหาของการมีอยู่และความราบรื่นของการแก้ปัญหาสมการเนเวียร์-สโตกส์
ตอนนี้คุณก็รู้สมมติฐานของรีมันน์แล้ว ในแง่ง่ายๆ เราได้กำหนดความท้าทายแห่งสหัสวรรษอื่นๆ ไว้ ว่าพวกเขาจะได้รับการแก้ไขหรือจะพิสูจน์ว่าพวกเขาไม่มีทางแก้ไขได้เรื่องของเวลา นอกจากนี้ ไม่น่าจะต้องรอนานเกินไป เนื่องจากคณิตศาสตร์ใช้ความสามารถในการคำนวณของคอมพิวเตอร์มากขึ้น อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกอย่างขึ้นอยู่กับเทคโนโลยี และอย่างแรกเลย สัญชาตญาณและความคิดสร้างสรรค์เป็นสิ่งจำเป็นในการแก้ปัญหาทางวิทยาศาสตร์