ในคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน จำเป็นต้องทราบโมเมนต์ความเฉื่อยของระบบเกี่ยวกับแกน ในกรณีทั่วไป ขั้นตอนในการค้นหาปริมาณนี้เกี่ยวข้องกับการดำเนินการตามกระบวนการบูรณาการ ทฤษฎีบท Steiner ที่เรียกว่าทำให้การคำนวณง่ายขึ้น พิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมในบทความครับ
โมเมนต์ความเฉื่อยคืออะไร
ก่อนที่จะสร้างสูตรของทฤษฎีบทของ Steiner จำเป็นต้องจัดการกับแนวคิดของโมเมนต์ความเฉื่อย สมมุติว่ามีมวลและรูปร่างตามอำเภอใจอยู่บ้าง วัตถุนี้อาจเป็นจุดวัสดุหรือวัตถุสองมิติหรือสามมิติก็ได้ (แท่ง ทรงกระบอก ลูกบอล ฯลฯ) หากวัตถุที่เป็นปัญหาเคลื่อนที่เป็นวงกลมรอบแกนบางอันด้วยความเร่งเชิงมุมคงที่ α ก็สามารถเขียนสมการต่อไปนี้ได้:
M=ฉันα
ในที่นี้ ค่า M แทนโมเมนต์ของแรงทั้งหมด ซึ่งให้ความเร่ง α แก่ทั้งระบบ สัมประสิทธิ์สัดส่วนระหว่างพวกเขา - I เรียกว่าโมเมนต์ความเฉื่อย ปริมาณทางกายภาพนี้คำนวณโดยใช้สูตรทั่วไปต่อไปนี้:
I=∫m (r2dm)
ที่นี่ r คือระยะห่างระหว่างองค์ประกอบที่มีมวล dm และแกนหมุน นิพจน์นี้หมายความว่าจำเป็นต้องหาผลรวมของระยะยกกำลังสอง r2 และมวลเบื้องต้น dm นั่นคือโมเมนต์ความเฉื่อยไม่ใช่ลักษณะเฉพาะของร่างกายซึ่งแตกต่างจากความเฉื่อยเชิงเส้น ขึ้นอยู่กับการกระจายมวลของวัตถุที่หมุนตลอดจนระยะห่างจากแกนและทิศทางของร่างกายที่สัมพันธ์กับวัตถุนั้น ตัวอย่างเช่น แท่งจะมีค่า I ต่างกัน หากหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลและรอบปลาย
โมเมนต์ความเฉื่อยและทฤษฎีบทของสทิเนอร์
Jakob Steiner นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสผู้โด่งดัง ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทบนแกนคู่ขนานและโมเมนต์ความเฉื่อย ซึ่งตอนนี้เป็นชื่อของเขาแล้ว ทฤษฎีบทนี้สันนิษฐานว่าโมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับวัตถุแข็งเกร็งใดๆ ของเรขาคณิตตามอำเภอใจที่สัมพันธ์กับแกนหมุนบางอัน เท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนที่ตัดกับจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุและขนานกับอันแรก และผลิตภัณฑ์มวลกายคูณกำลังสองของระยะห่างระหว่างแกนเหล่านี้ ในทางคณิตศาสตร์ สูตรนี้เขียนดังนี้:
IZ=IO + ml2
IZ and IO - โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกน Z และแกน O ขนานกันซึ่งผ่าน ผ่านจุดศูนย์กลางมวล l - ระยะห่างระหว่างเส้น Z และ O
ทฤษฎีบทอนุญาตให้รู้ค่าของ IO ในการคำนวณช่วงเวลาอื่นใด IZ เกี่ยวกับแกนที่ขนานกับ O
พิสูจน์ทฤษฎีบท
สูตรทฤษฎีบท Steiner หาได้ง่ายๆ ด้วยตัวเอง ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาวัตถุบนระนาบ xy ให้จุดกำเนิดของพิกัดเคลื่อนผ่านจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุนี้ มาคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย IO ที่ผ่านจุดกำเนิดตั้งฉากกับระนาบ xy เนื่องจากระยะทางถึงจุดใดๆ ของร่างกายแสดงโดยสูตร r=√ (x2 + y2) เราจึงได้อินทิกรัล:
IO=∫m (r2dm)=∫ m ((x2+y2) dm)
ตอนนี้ลองย้ายแกนขนานไปตามแกน x เป็นระยะทาง l เช่น ไปในทิศทางบวก จากนั้นการคำนวณแกนใหม่ของโมเมนต์ความเฉื่อยจะออกมาเป็นแบบนี้
IZ=∫m(((x+l)2+y 2)dm)
ขยายสี่เหลี่ยมเต็มในวงเล็บแล้วหารจำนวนเต็ม เราจะได้:
IZ=∫m ((x2+l 2+2xl+y2)dm)=∫m ((x2 +y2)dm) + 2l∫m (xdm) + l 2∫mdm
คำแรกของเทอมเหล่านี้คือค่า IO เทอมที่สามหลังจากการรวม ให้เทอม l2m และที่นี่เทอมที่สองเป็นศูนย์ การทำให้เป็นศูนย์ของอินทิกรัลที่ระบุนั้นเกิดจากการที่มันถูกนำมาจากผลคูณของ x และองค์ประกอบมวล dm ซึ่งในค่าเฉลี่ยให้ศูนย์เนื่องจากจุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดกำเนิด เป็นผลให้ได้สูตรของทฤษฎีบท Steiner
กรณีพิจารณาบนเครื่องบินสามารถสรุปเป็นร่างสามมิติได้
ตรวจสอบสูตร Steiner บนตัวอย่างแท่ง
มาดูตัวอย่างง่ายๆ เพื่อแสดงวิธีใช้ทฤษฎีบทข้างต้นกัน
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าสำหรับแท่งยาว L และมวล m โมเมนต์ความเฉื่อย IO(แกนผ่านจุดศูนย์กลางมวล) เท่ากับ m L2 /12 และช่วงเวลาที่ IZ(แกนเคลื่อนผ่านปลายก้าน) เท่ากับ mL 2/3. ลองตรวจสอบข้อมูลนี้โดยใช้ทฤษฎีบทของสไตเนอร์ เนื่องจากระยะห่างระหว่างสองเพลาคือ L/2 เราก็จะได้โมเมนต์ IZ:
IZ=IO+ m(L/2)2=mL2/12 + mL2/4=4mL2 /12=mL2/3
นั่นคือ เราตรวจสอบสูตร Steiner และได้ค่าเดียวกันสำหรับ IZ ตามแหล่งที่มา
การคำนวณที่คล้ายกันสามารถทำได้สำหรับวัตถุอื่นๆ (กระบอกสูบ ลูกบอล ดิสก์) ในขณะที่ได้รับช่วงเวลาที่จำเป็นของความเฉื่อย และไม่ต้องทำการบูรณาการ
โมเมนต์ความเฉื่อยและแกนตั้งฉาก
ทฤษฎีบทที่พิจารณาเกี่ยวกับแกนคู่ขนาน เพื่อความสมบูรณ์ของข้อมูล ควรให้ทฤษฎีบทสำหรับแกนตั้งฉากด้วย มีสูตรดังนี้ สำหรับวัตถุทรงแบนที่มีรูปร่างตามอำเภอใจ โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนตั้งฉากกับวัตถุนั้นจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยสองโมเมนต์ประมาณสองโมเมนต์ตั้งฉากกันและนอนราบในระนาบของวัตถุแกน โดยทั้งสามแกนผ่านจุดเดียวกัน ในทางคณิตศาสตร์ เขียนได้ดังนี้
Iz=Ix + Iy
ที่นี่ z, x, y คือแกนหมุนตั้งฉากกันสามแกน
ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างทฤษฎีบทนี้กับทฤษฎีบทของ Steiner คือใช้ได้กับวัตถุแข็งทรงแบน (สองมิติ) เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ มีการใช้กันอย่างแพร่หลาย โดยตัดร่างกายออกเป็นชั้นๆ แยกกัน จากนั้นจึงเพิ่มโมเมนต์ความเฉื่อยที่ได้รับ