ปริซึมสี่เหลี่ยม: ความสูง เส้นทแยงมุม พื้นที่

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

ในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน หนึ่งในตัวเลขที่ง่ายที่สุดที่มีขนาดไม่เป็นศูนย์ตลอดสามแกนเชิงพื้นที่คือปริซึมสี่เหลี่ยม ลองพิจารณาในบทความว่ามันคือรูปร่างแบบใด องค์ประกอบใดบ้าง และวิธีคำนวณพื้นที่ผิวและปริมาตรของมัน

แนวคิดของปริซึม

ในเรขาคณิต ปริซึมเป็นรูปเชิงพื้นที่ซึ่งประกอบขึ้นจากฐานที่เหมือนกันสองอันและพื้นผิวด้านข้างที่เชื่อมต่อด้านข้างของฐานเหล่านี้ โปรดทราบว่าฐานทั้งสองแปลงเป็นกันและกันโดยใช้การดำเนินการแปลแบบขนานโดยเวกเตอร์บางตัว การกำหนดปริซึมนี้นำไปสู่ความจริงที่ว่าทุกด้านของมันเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเสมอ

จำนวนด้านของฐานสามารถกำหนดเองได้ เริ่มจากสาม เมื่อตัวเลขนี้มีแนวโน้มเป็นอนันต์ ปริซึมจะกลายเป็นทรงกระบอกอย่างราบรื่น เนื่องจากฐานของมันกลายเป็นวงกลม และด้านสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เชื่อมต่อกันเกิดเป็นพื้นผิวทรงกระบอก

ปริซึมมีลักษณะเหมือนรูปทรงหลายเหลี่ยมทั่วไปด้าน (ระนาบที่ยึดร่าง) ขอบ (ส่วนที่สองด้านตัดกัน) และจุดยอด (จุดบรรจบกันของทั้งสามด้าน สำหรับปริซึม สองจุดอยู่ด้านข้าง และส่วนที่สามเป็นฐาน) ปริมาณขององค์ประกอบทั้งสามที่มีชื่ออยู่ในรูปนั้นเชื่อมโยงกันด้วยนิพจน์ต่อไปนี้:

P=C + B - 2

ที่นี่ P, C และ B คือจำนวนขอบ ด้าน และจุดยอด ตามลำดับ นิพจน์นี้เป็นสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทออยเลอร์

รูปด้านบนแสดงปริซึมสองอัน ที่ฐานของหนึ่งในนั้น (A) เป็นรูปหกเหลี่ยมปกติและด้านข้างตั้งฉากกับฐาน รูปที่ B แสดงปริซึมอื่น ด้านข้างของมันไม่ตั้งฉากกับฐานอีกต่อไป และฐานเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ

ปริซึมสี่เหลี่ยมคืออะไร

ตามที่ชัดเจนจากคำอธิบายด้านบน ประเภทของปริซึมถูกกำหนดโดยหลักจากชนิดของรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างฐาน (ฐานทั้งสองเหมือนกัน เราจึงสามารถพูดถึงหนึ่งในนั้นได้) ถ้ารูปหลายเหลี่ยมนี้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราก็จะได้ปริซึมสี่เหลี่ยม ดังนั้นปริซึมทุกด้านจึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ปริซึมสี่เหลี่ยมมีชื่อเป็นของตัวเอง - แบบขนาน

จำนวนด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือหก และแต่ละด้านมีเส้นขนานที่คล้ายคลึงกัน เนื่องจากฐานของกล่องเป็นสองด้าน ส่วนที่เหลืออีกสี่ข้างจึงอยู่ด้านข้าง

จำนวนจุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือแปด ซึ่งสังเกตได้ง่ายว่าเราจำได้ว่าจุดยอดของปริซึมเกิดขึ้นที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมฐานเท่านั้น (4x2=8) เมื่อใช้ทฤษฎีบทออยเลอร์ เราจะได้จำนวนขอบ:

P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12

จาก 12 ซี่โครง มีเพียง 4 ซี่ที่อยู่ด้านข้างอย่างอิสระ ส่วนที่เหลืออีก 8 ตัวอยู่บนระนาบของฐานของร่าง

ต่อไปในบทความเราจะพูดถึงปริซึมสี่เหลี่ยมเท่านั้น

ประเภทคู่ขนาน

การจำแนกประเภทแรกคือคุณลักษณะของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่อยู่ด้านล่าง อาจมีลักษณะดังนี้:

ปกติซึ่งมีมุมไม่เท่ากับ 90^o;
สี่เหลี่ยมผืนผ้า;
สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมปกติ

การจำแนกประเภทที่สองคือมุมที่ด้านข้ามฐาน มีสองกรณีที่แตกต่างกันที่นี่:

มุมนี้ไม่ตรง แล้วปริซึมเรียกว่าเฉียงหรือเฉียง
มุม 90^o จากนั้นปริซึมดังกล่าวจะเป็นสี่เหลี่ยมหรือตรง

ประเภทที่สามเกี่ยวข้องกับความสูงของปริซึม ถ้าปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า เรียกว่า ทรงลูกบาศก์ หากมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่ฐาน ปริซึมจะเป็นสี่เหลี่ยม และความสูงเท่ากับความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยม เราก็จะได้รูปลูกบาศก์ที่รู้จักกันดี

พื้นผิวปริซึมและพื้นที่ปริซึม

เซตของจุดที่อยู่บนฐานสองฐานของปริซึม(สี่เหลี่ยมด้านขนาน) และด้านข้าง (สี่เหลี่ยมด้านขนานสี่อัน) สร้างพื้นผิวของรูป พื้นที่ของพื้นผิวนี้สามารถคำนวณได้โดยการคำนวณพื้นที่ของฐานและค่านี้สำหรับพื้นผิวด้านข้าง จากนั้นผลรวมของพวกเขาจะให้ค่าที่ต้องการ ในทางคณิตศาสตร์ เขียนได้ดังนี้

S=2S_o+ S_b

ที่นี่ S_o และ S_b คือพื้นที่ของฐานและพื้นผิวด้านข้างตามลำดับ หมายเลข 2 ก่อน S_o ปรากฏขึ้นเนื่องจากมีสองฐาน

โปรดทราบว่าสูตรที่เป็นลายลักษณ์อักษรนั้นใช้ได้กับปริซึมใดๆ ไม่ใช่แค่สำหรับพื้นที่ของปริซึมสี่เหลี่ยมเท่านั้น

ควรระลึกว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน S_p คำนวณโดยสูตร:

S_p=ah

โดยที่สัญลักษณ์ a และ h แสดงถึงความยาวของด้านใดด้านหนึ่งและความสูงที่ลากมาด้านนี้ตามลำดับ

พื้นที่ปริซึมสี่เหลี่ยมมีฐานสี่เหลี่ยม

ในปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ฐานเป็นสี่เหลี่ยม เพื่อความชัดเจน เราแสดงข้างด้วยตัวอักษร a ในการคำนวณพื้นที่ของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ คุณควรทราบความสูงของมัน ตามคำจำกัดความของปริมาณนี้ จะเท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉากที่ตกจากฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่ง นั่นคือ เท่ากับระยะห่างระหว่างฐานทั้งสอง ลองแทนด้วยตัวอักษร h เนื่องจากใบหน้าด้านข้างทั้งหมดตั้งฉากกับฐานสำหรับประเภทของปริซึมที่กำลังพิจารณา ความสูงของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติจะเท่ากับความยาวของขอบด้านข้าง

Bสูตรทั่วไปสำหรับพื้นที่ผิวของปริซึมคือสองเทอม พื้นที่ของฐานในกรณีนี้คำนวณง่าย เท่ากับ:

S_o=a²

ในการคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง เราขอโต้แย้งดังนี้: พื้นผิวนี้ประกอบด้วย 4 สี่เหลี่ยมเหมือนกัน ยิ่งไปกว่านั้น ด้านของพวกมันแต่ละอันมีค่าเท่ากับ a และ h ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของ S_b จะเท่ากับ:

S_b=4ah

หมายเหตุ ผลิตภัณฑ์ 4a คือปริมณฑลของฐานสี่เหลี่ยม หากเราสรุปนิพจน์นี้ในกรณีของฐานที่กำหนดเอง สำหรับปริซึมสี่เหลี่ยมพื้นผิวด้านข้างสามารถคำนวณได้ดังนี้:

S_b=P_oh

โดยที่ P_o คือปริมณฑลของฐาน

กลับมาที่ปัญหาการคำนวณพื้นที่ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ เราเขียนสูตรสุดท้ายได้ดังนี้

S=2S_o+ S_b=2a²+ 4 ah=2a(a+2h)

พื้นที่ลาดเอียงขนาน

การคำนวณค่อนข้างยากกว่าการคำนวณแบบสี่เหลี่ยม ในกรณีนี้ พื้นที่ฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมคำนวณโดยใช้สูตรเดียวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน การเปลี่ยนแปลงนี้เกี่ยวข้องกับการกำหนดพื้นที่ผิวด้านข้าง

ในการทำเช่นนี้ ใช้สูตรเดียวกันผ่านปริมณฑลตามที่ระบุในย่อหน้าด้านบน ตอนนี้มันจะมีตัวคูณต่างกันเล็กน้อยเท่านั้น สูตรทั่วไปสำหรับ S_b ในกรณีของปริซึมเฉียงคือ:

S_b=P_src

ตรงนี้ c คือความยาวของขอบด้านข้างของรูปค่า P_sr คือปริมณฑลของชิ้นสี่เหลี่ยม สภาพแวดล้อมนี้ถูกสร้างขึ้นดังนี้: จำเป็นต้องตัดด้านทั้งหมดด้วยระนาบเพื่อให้ตั้งฉากกับพวกเขาทั้งหมด สี่เหลี่ยมที่ได้จะเป็นการตัดที่ต้องการ

รูปด้านบนแสดงตัวอย่างกล่องเฉียง ส่วนตัดขวางของมันทำมุมฉากกับด้านข้าง เส้นรอบวงของส่วนคือ P_sr มันเกิดขึ้นจากความสูงสี่ด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านข้าง สำหรับปริซึมสี่เหลี่ยมนี้ พื้นที่ผิวด้านข้างคำนวณโดยใช้สูตรข้างต้น

ความยาวของเส้นทแยงมุมของทรงลูกบาศก์

เส้นทแยงมุมของเส้นทแยงมุมคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุดที่ไม่มีด้านร่วมกันที่ก่อตัวขึ้น มีเส้นทแยงมุมเพียงสี่เส้นในปริซึมสี่เหลี่ยมใดๆ สำหรับทรงลูกบาศก์ที่มีสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ที่ฐาน ความยาวของเส้นทแยงมุมทั้งหมดจะเท่ากัน

รูปด้านล่างเป็นรูปที่ตรงกัน ส่วนสีแดงเป็นเส้นทแยงมุม

การคำนวณความยาวนั้นง่ายมาก ถ้าคุณจำทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ นักเรียนแต่ละคนสามารถรับสูตรที่ต้องการได้ มีรูปแบบดังนี้:

D=√(A²+ B² + C²)

ที่นี่ D คือความยาวของเส้นทแยงมุม อักขระที่เหลือคือความยาวของด้านข้างกล่อง

หลายคนสับสนระหว่างเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกับเส้นทแยงมุมด้านข้าง ด้านล่างเป็นภาพที่สีส่วนต่างๆ แทนเส้นทแยงมุมของด้านข้างของรูป

ความยาวของแต่ละอันถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสและเท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของความยาวด้านที่สอดคล้องกัน

ปริซึมปริซึม

นอกจากพื้นที่ของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติหรือปริซึมประเภทอื่นๆ คุณควรทราบปริมาตรของปริซึมด้วยเพื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิต ค่าสำหรับปริซึมใดๆ ก็ตามนี้คำนวณโดยสูตรต่อไปนี้:

V=S_oh

ถ้าปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก็เพียงพอที่จะคำนวณพื้นที่ของฐานแล้วคูณด้วยความยาวของขอบด้านข้างเพื่อให้ได้ปริมาตรของรูป

หากปริซึมเป็นปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ปริมาตรจะเป็น:

V=a²h.

มันง่ายที่จะเห็นว่าสูตรนี้ถูกแปลงเป็นนิพจน์สำหรับปริมาตรของลูกบาศก์ถ้าความยาวของขอบด้านข้าง h เท่ากับด้านข้างของฐาน a

มีปัญหากับทรงลูกบาศก์

ในการรวมวัสดุที่ทำการศึกษา เราจะแก้ปัญหาต่อไปนี้: มีสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านยาว 3 ซม. 4 ซม. และ 5 ซม. จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ผิว ความยาวในแนวทแยงและปริมาตร

เพื่อความชัดเจน เราจะถือว่าฐานของรูปเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้าน 3 ซม. และ 4 ซม. จากนั้นพื้นที่คือ 12 ซม.² และจุด คือ 14 ซม. โดยใช้สูตรสำหรับพื้นที่ผิวของปริซึม เราได้:

S=2S_o+ S_b=212 + 514=24 + 70=94cm2

หากต้องการกำหนดความยาวของเส้นทแยงมุมและปริมาตรของรูป คุณสามารถใช้นิพจน์ข้างต้นได้โดยตรง:

D=√(3²+4²+5²)=7. 071 ซม.

V=345=60cm³.

ปัญหาเกี่ยวกับเส้นขนานเอียง

รูปด้านล่างแสดงปริซึมเฉียง ด้านข้างเท่ากัน: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. คุณต้องหาพื้นที่ผิวของรูปนี้

อันดับแรก มากำหนดพื้นที่ฐานกันก่อน จากรูปแสดงว่ามุมแหลมคือ 50^o จากนั้นพื้นที่ของมันคือ:

S_o=ha=บาป(50^o)ba

ในการหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง คุณควรหาปริมณฑลของสี่เหลี่ยมแรเงา ด้านข้างของสี่เหลี่ยมนี้คือ asin(45^o) และ bsin(60^o) แล้วปริมณฑลของสี่เหลี่ยมนี้คือ: