หากอธิบายการเคลื่อนที่เชิงเส้นของวัตถุในกลศาสตร์คลาสสิกโดยใช้กฎของนิวตัน ลักษณะของการเคลื่อนที่ของระบบกลไกตามแนววิถีวงกลมจะคำนวณโดยใช้นิพจน์พิเศษ ซึ่งเรียกว่าสมการของโมเมนต์ เรากำลังพูดถึงช่วงเวลาใดและความหมายของสมการนี้คืออะไร? คำถามเหล่านี้และคำถามอื่นๆ จะเปิดเผยในบทความ
ช่วงเวลาแห่งพลัง
ทุกคนตระหนักดีถึงแรงของนิวตัน ซึ่งกระทำต่อร่างกาย นำไปสู่การเร่งความเร็วให้กับมัน เมื่อแรงดังกล่าวถูกนำไปใช้กับวัตถุที่ยึดกับแกนหมุนที่แน่นอน ลักษณะนี้มักจะเรียกว่าโมเมนต์ของแรง โมเมนต์ของสมการแรงสามารถเขียนได้ดังนี้:
M¯=L¯F¯
รูปภาพที่อธิบายนิพจน์นี้แสดงอยู่ด้านล่าง
ที่นี่ คุณจะเห็นว่าแรง F¯ พุ่งตรงไปยังเวกเตอร์ L¯ ที่มุม Φ เวกเตอร์ L¯ นั้นถือว่าถูกนำจากแกนของการหมุน (ระบุโดยลูกศร) ไปยังจุดที่ใช้ฟ¯.
สูตรข้างต้นเป็นผลคูณของเวกเตอร์สองตัว ดังนั้น M¯ จึงเป็นทิศทางด้วย โมเมนต์ของแรง M¯ จะหมุนไปทางไหน? สิ่งนี้สามารถกำหนดได้โดยกฎมือขวา (สี่นิ้วชี้ไปตามวิถีจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ L¯ ไปยังจุดสิ้นสุดของ F¯ และนิ้วโป้งซ้ายระบุทิศทางของ M¯)
ในรูปด้านบน นิพจน์สำหรับโมเมนต์แรงในรูปแบบสเกลาร์จะอยู่ในรูปแบบ:
M=LFsin(Φ)
ถ้าดูดีๆ จะเห็นว่า Lsin(Φ)=d เราก็มีสูตรว่า
M=dF
ค่าของ d เป็นคุณลักษณะสำคัญในการคำนวณโมเมนต์ของแรง เนื่องจากมันสะท้อนถึงประสิทธิภาพของ F ที่ใช้กับระบบ ค่านี้เรียกว่าคันบังคับ
ความหมายทางกายภาพของ M อยู่ที่ความสามารถของแรงในการหมุนระบบ ทุกคนจะสัมผัสได้ถึงความสามารถนี้ หากเปิดประตูด้วยมือจับ ดันเข้าไปใกล้บานพับ หรือหากพวกเขาพยายามไขน็อตด้วยกุญแจแบบสั้นและแบบยาว
สมดุลของระบบ
แนวคิดของโมเมนต์ของแรงมีประโยชน์มากเมื่อพิจารณาถึงสมดุลของระบบที่ถูกกระทำโดยแรงหลายแรงและมีแกนหรือจุดหมุน ในกรณีเช่นนี้ ให้ใช้สูตร:
∑iMi¯=0
นั่นคือ ระบบจะอยู่ในสมดุลถ้าผลรวมของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ใช้กับมันเป็นศูนย์ โปรดทราบว่าในสูตรนี้มีเครื่องหมายเวกเตอร์ในช่วงเวลาหนึ่ง นั่นคือ เมื่อแก้ เราไม่ควรลืมคำนึงถึงเครื่องหมายนี้ปริมาณ กฎที่ยอมรับโดยทั่วไปคือแรงกระทำที่หมุนระบบทวนเข็มนาฬิกาจะสร้างค่าบวก Mi¯
ตัวอย่างที่โดดเด่นของปัญหาประเภทนี้คือปัญหาเกี่ยวกับความสมดุลของคันโยกของอาร์คิมิดีส
โมเมนตัม
นี่เป็นอีกหนึ่งลักษณะสำคัญของการเคลื่อนที่แบบวงกลม ในทางฟิสิกส์ อธิบายว่าเป็นผลคูณของโมเมนตัมและคันโยก สมการโมเมนตัมมีลักษณะดังนี้:
T¯=r¯p¯
ที่นี่ p¯ คือเวกเตอร์โมเมนตัม r¯ คือเวกเตอร์ที่เชื่อมจุดวัสดุที่หมุนกับแกน
รูปด้านล่างแสดงนิพจน์นี้
ที่นี่ ω คือความเร็วเชิงมุม ซึ่งจะปรากฏเพิ่มเติมในสมการโมเมนต์ สังเกตว่าทิศทางของเวกเตอร์ T¯ หาได้จากกฎเดียวกับ M¯ ในรูปด้านบน T¯ ในทิศทางจะตรงกับเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุม ω¯
ความหมายทางกายภาพของ T¯ เหมือนกับลักษณะของ p¯ ในกรณีของการเคลื่อนที่เชิงเส้น กล่าวคือ โมเมนตัมเชิงมุมอธิบายปริมาณการเคลื่อนที่แบบหมุน (พลังงานจลน์ที่เก็บไว้)
โมเมนต์ความเฉื่อย
ลักษณะสำคัญประการที่สาม หากปราศจากซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุที่หมุนได้คือโมเมนต์ความเฉื่อย ปรากฏในฟิสิกส์อันเป็นผลมาจากการแปลงทางคณิตศาสตร์ของสูตรสำหรับโมเมนตัมเชิงมุมของจุดวัสดุ มาดูกันว่าทำอย่างไร
มาคิดค่ากันT¯ ดังนี้:
T¯=r¯mv¯ โดยที่ p¯=mv¯
โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงมุมและเชิงเส้น เราสามารถเขียนนิพจน์นี้ใหม่ได้ดังนี้:
T¯=r¯mr¯ω¯ โดยที่ v¯=r¯ω¯
เขียนนิพจน์สุดท้ายดังนี้:
T¯=r2mω¯
ค่า r2m คือโมเมนต์ความเฉื่อย I สำหรับจุดมวล m ที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมรอบแกนที่ระยะห่าง r จากมัน กรณีพิเศษนี้ทำให้เราสามารถแนะนำสมการทั่วไปของโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่มีรูปร่างตามใจชอบได้:
I=∫m (r2dm)
I คือปริมาณสารเติมแต่ง ความหมายอยู่ในความเฉื่อยของระบบการหมุน ยิ่ง I ตัวใหญ่เท่าไหร่ ร่างกายก็จะยิ่งหมุนได้ยากขึ้น และต้องใช้ความพยายามอย่างมากในการหยุดมัน
สมการโมเมนต์
เราพิจารณาจำนวนสามปริมาณแล้ว โดยชื่อที่ขึ้นต้นด้วยคำว่า "ชั่วขณะ" สิ่งนี้ทำขึ้นโดยเจตนา เนื่องจากทั้งหมดเชื่อมต่อกันในนิพจน์เดียว เรียกว่าสมการ 3 ช่วงเวลา ออกไปกันเถอะ
พิจารณานิพจน์ของโมเมนตัมเชิงมุม T¯:
T¯=ฉันω¯
ค้นหาว่าค่าของ T¯ เปลี่ยนแปลงอย่างไรในเวลา เรามี:
dT¯/dt=ฉันdω¯/dt
เนื่องจากอนุพันธ์ของความเร็วเชิงมุมเท่ากับความเร็วเชิงเส้นหารด้วย r และขยายค่าของ I เรามาถึงนิพจน์:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯ โดยที่ a¯=dv¯/dt คือความเร่งเชิงเส้น
โปรดทราบว่าผลคูณของมวลและความเร่งนั้นเป็นเพียงแรงกระทำภายนอก F¯ เป็นผลให้เราได้รับ:
dT¯/dt=rF¯=M¯
เราได้ข้อสรุปที่น่าสนใจ: การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมเท่ากับโมเมนต์ของแรงภายนอกที่กระทำ นิพจน์นี้มักจะเขียนในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย:
M¯=Iα¯ โดยที่ α¯=dω¯/dt - ความเร่งเชิงมุม
ความเสมอภาคนี้เรียกว่าสมการของโมเมนต์ ช่วยให้คุณสามารถคำนวณคุณลักษณะใดๆ ของวัตถุที่หมุนได้ โดยรู้ถึงพารามิเตอร์ของระบบและขนาดของผลกระทบภายนอกที่เกิดขึ้น
กฎหมายอนุรักษ์ T¯
ข้อสรุปที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้าระบุว่าหากโมเมนต์ของแรงภายนอกเท่ากับศูนย์ โมเมนตัมเชิงมุมจะไม่เปลี่ยนแปลง ในกรณีนี้ เราเขียนนิพจน์:
T¯=คอนเทมโพรารี หรือ I1ω1¯=I2ω2 ¯
สูตรนี้เรียกว่ากฎการอนุรักษ์ของ T¯ นั่นคือ การเปลี่ยนแปลงใดๆ ภายในระบบจะไม่เปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมด
นักสเก็ตลีลาและนักบัลเล่ต์ใช้ข้อมูลนี้ในระหว่างการแสดง นอกจากนี้ยังใช้ในกรณีที่จำเป็นต้องหมุนดาวเทียมเทียมที่เคลื่อนที่ในอวกาศรอบแกนด้วย
