พื้นที่ของกรวยที่ถูกตัดทอน ตัวอย่างสูตรและปัญหา

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

ตัวเลขของการปฏิวัติทางเรขาคณิตได้รับความสนใจเป็นพิเศษเมื่อศึกษาลักษณะและคุณสมบัติของพวกมัน หนึ่งในนั้นคือกรวยที่ถูกตัดทอน บทความนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อตอบคำถามว่าสามารถใช้สูตรใดในการคำนวณพื้นที่ของกรวยที่ถูกตัดทอนได้

เรากำลังพูดถึงตัวไหน

ก่อนที่จะอธิบายพื้นที่ของกรวยที่ถูกตัดทอน จำเป็นต้องให้คำจำกัดความทางเรขาคณิตที่แน่นอนของรูปนี้ ตัดทอนเป็นทรงกรวยซึ่งได้มาจากการตัดยอดของกรวยธรรมดาด้วยระนาบ ในคำจำกัดความนี้ ควรเน้นความแตกต่างจำนวนหนึ่ง ขั้นแรก ระนาบส่วนต้องขนานกับระนาบของฐานของกรวย ประการที่สอง รูปเดิมต้องเป็นทรงกรวยทรงกลม แน่นอนว่ามันสามารถเป็นรูปวงรี ไฮเพอร์โบลิก และรูปทรงอื่นๆ ได้ แต่ในบทความนี้ เราจะจำกัดตัวเองให้พิจารณาเฉพาะกรวยทรงกลมเท่านั้น หลังแสดงในรูปด้านล่าง

มันง่ายที่จะเดาว่าสามารถรับได้ไม่เพียงแค่ด้วยความช่วยเหลือของส่วนโดยเครื่องบิน แต่ยังรวมถึงความช่วยเหลือของการดำเนินการหมุน สำหรับในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีมุมฉากสองมุมแล้วหมุนไปรอบ ๆ ด้านที่อยู่ประชิดกับมุมฉากเหล่านี้ เป็นผลให้ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูจะกลายเป็นรัศมีของฐานของกรวยที่ถูกตัดทอน และด้านเอียงด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูจะอธิบายพื้นผิวรูปกรวย

พัฒนารูปร่าง

เมื่อพิจารณาถึงพื้นที่ผิวของกรวยที่ถูกตัดออก จะมีประโยชน์ที่จะนำมาซึ่งการพัฒนา กล่าวคือ ภาพของพื้นผิวของรูปทรงสามมิติบนระนาบ ด้านล่างนี้คือการสแกนตัวเลขที่ศึกษาด้วยพารามิเตอร์ต่างๆ

จะเห็นได้ว่าพื้นที่ของรูปประกอบขึ้นจากองค์ประกอบสามส่วน: วงกลมสองวงและส่วนที่ตัดเป็นวงกลมหนึ่งวง เห็นได้ชัดว่า ในการกำหนดพื้นที่ที่ต้องการ จำเป็นต้องรวมพื้นที่ของตัวเลขที่ระบุชื่อทั้งหมด มาแก้ปัญหานี้ในย่อหน้าถัดไป

บริเวณโคนที่ถูกตัดทอน

เพื่อให้เข้าใจเหตุผลต่อไปนี้ได้ง่ายขึ้น เราขอแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:

r1, r2 - รัศมีของฐานขนาดใหญ่และขนาดเล็กตามลำดับ;
h - ส่วนสูง;
g - กำเนิดของกรวย (ความยาวของด้านเฉียงของสี่เหลี่ยมคางหมู)

พื้นที่ฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนนั้นง่ายต่อการคำนวณ มาเขียนนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกัน:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

พื้นที่ส่วนหนึ่งของส่วนวงกลมนั้นค่อนข้างยากที่จะกำหนด หากเราจินตนาการว่าศูนย์กลางของเซกเตอร์วงกลมนี้ไม่ได้ถูกตัดออก รัศมีของมันจะเท่ากับค่า G การคำนวณหามันไม่ยากหากเราพิจารณาความสอดคล้องรูปสามเหลี่ยมรูปกรวยมุมฉากที่คล้ายกัน เท่ากับ:

G=r₁g/(r₁-r₂).

จากนั้นพื้นที่ของเซกเตอร์วงกลมทั้งหมดซึ่งสร้างจากรัศมี G และอาศัยส่วนโค้งที่มีความยาว 2pir₁ จะเท่ากัน ถึง:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

ตอนนี้ มากำหนดพื้นที่ของเซกเตอร์วงกลมขนาดเล็ก S₂ ซึ่งจะต้องลบออกจาก S₁ เท่ากับ:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - ก.)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

พื้นที่ของพื้นผิวที่ตัดเป็นรูปกรวย S_b เท่ากับผลต่างระหว่าง S₁ และ S ₂. เราได้:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

แม้จะมีการคำนวณที่ยุ่งยาก เราก็ได้สำนวนที่ค่อนข้างง่ายสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของรูป

เพิ่มพื้นที่ของฐานและ S_b เรามาถึงสูตรสำหรับพื้นที่ของกรวยที่ถูกตัดทอน:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

ดังนั้น ในการคำนวณค่า S ของรูปที่ศึกษา คุณต้องทราบพารามิเตอร์เชิงเส้นสามตัวของค่านั้น

ตัวอย่างปัญหา

กรวยตรงวงกลมด้วยรัศมี 10 ซม. และสูง 15 ซม. ถูกตัดโดยเครื่องบินเพื่อให้ได้กรวยที่ถูกตัดทอนปกติ เมื่อรู้ว่าระยะห่างระหว่างฐานของรูปที่ถูกตัดออกคือ 10 ซม. จำเป็นต้องหาพื้นที่ผิวของมัน