นักเรียนทุกคนเคยได้ยินเกี่ยวกับรูปกรวยทรงกลมและลองจินตนาการว่ารูปสามมิตินี้หน้าตาเป็นอย่างไร บทความนี้ให้คำจำกัดความการพัฒนาของรูปกรวย ให้สูตรที่อธิบายคุณลักษณะ และอธิบายวิธีสร้างรูปทรงกรวยโดยใช้เข็มทิศ ไม้โปรแทรกเตอร์ และเส้นตรง
กรวยทรงกลมในเรขาคณิต
ให้คำจำกัดความทางเรขาคณิตของรูปนี้ กรวยกลมเป็นพื้นผิวที่เกิดขึ้นจากส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมทุกจุดของวงกลมหนึ่งๆ โดยมีจุดเดียวในอวกาศ จุดเดียวนี้ต้องไม่อยู่ในระนาบที่วงกลมตั้งอยู่ ถ้าเราหาวงกลมแทนที่จะเป็นวงกลม วิธีนี้ก็จะนำไปสู่รูปกรวยด้วย
วงกลมเรียกว่าฐานของร่าง เส้นรอบวงคือไดเร็กทริกซ์ เซ็กเมนต์ที่เชื่อมต่อจุดกับไดเร็กทริกซ์เรียกว่า generatrices หรือ generator และจุดที่พวกมันตัดกันคือจุดยอดของกรวย
โคนทรงกลมสามารถตั้งตรงและเฉียงได้ ตัวเลขทั้งสองแสดงในรูปด้านล่าง
ความแตกต่างระหว่างสิ่งเหล่านี้คือ: ถ้าฉากตั้งฉากจากด้านบนของกรวยตกลงไปที่ศูนย์กลางของวงกลมพอดี กรวยก็จะตั้งตรง สำหรับเขา ฉากตั้งฉากซึ่งเรียกว่าความสูงของร่างนั้นเป็นส่วนหนึ่งของแกนของเขา ในกรณีของกรวยเฉียง ความสูงและแกนจะสร้างมุมแหลม
เนื่องจากความเรียบง่ายและความสมมาตรของรูปทรง เราจะพิจารณาคุณสมบัติของกรวยด้านขวาที่มีฐานกลมเพิ่มเติม
สร้างรูปร่างโดยใช้การหมุน
ก่อนที่จะพิจารณาการพัฒนาพื้นผิวของกรวย การรู้ว่าสามารถหารูปทรงเชิงพื้นที่นี้ได้อย่างไรโดยใช้การหมุน
สมมุติว่าเรามีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน a,b,c. สองตัวแรกคือขา c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ลองวางสามเหลี่ยมบนขา a และเริ่มหมุนไปรอบๆ ขา b ด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะอธิบายพื้นผิวรูปกรวย เทคนิคโคนแบบง่ายนี้แสดงไว้ในแผนภาพด้านล่าง
เห็นได้ชัดว่า ขา a จะเป็นรัศมีของฐานของรูป ขา b จะเป็นความสูง และด้านตรงข้ามมุมฉาก c ตรงกับกำเนิดของรูปกรวยขวามน
ดูพัฒนาการของโคน
คุณอาจเดาได้ว่ากรวยนั้นเกิดจากพื้นผิวสองประเภท หนึ่งในนั้นคือวงกลมฐานแบน สมมติว่ามีรัศมี r พื้นผิวที่สองอยู่ด้านข้างและเรียกว่ารูปกรวย ให้กำเนิดของมันเท่ากับ g
ถ้าเรามีกรวยกระดาษ เราก็เอากรรไกรตัดฐานออก จากนั้นจึงควรตัดผิวทรงกรวยตาม generatrix ใด ๆ และปรับใช้บนเครื่องบิน ด้วยวิธีนี้ เราได้พัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวย ทั้งสองพื้นผิวพร้อมกับกรวยเดิมแสดงอยู่ในแผนภาพด้านล่าง
วงกลมฐานอยู่ที่ด้านล่างขวา พื้นผิวรูปกรวยที่กางออกจะแสดงอยู่ตรงกลาง ปรากฎว่ามันสอดคล้องกับเซกเตอร์วงกลมบางวงของวงกลม รัศมีเท่ากับความยาวของเจเนอเรทริกซ์ g
กวาดมุมและพื้นที่
ตอนนี้เราได้สูตรที่ใช้พารามิเตอร์ที่รู้จัก g และ r มาคำนวณพื้นที่และมุมของกรวย
เห็นได้ชัดว่าส่วนโค้งของเซกเตอร์วงกลมที่แสดงด้านบนในรูปมีความยาวเท่ากับเส้นรอบวงฐาน นั่นคือ:
l=2pir.
ถ้าสร้างวงกลมทั้งวงที่มีรัศมี g แล้ว ความยาวของมันจะเป็น:
L=2pig.
เนื่องจากความยาว L เท่ากับ 2pi เรเดียน ดังนั้นมุมที่ส่วนโค้ง l อยู่สามารถกำหนดได้จากสัดส่วนที่สอดคล้องกัน:
L==>2pi;
l==> φ.
จากนั้นมุมที่ไม่รู้จัก φ จะเท่ากับ:
φ=2pil/L.
แทนที่นิพจน์สำหรับความยาว l และ L เรามาถึงสูตรสำหรับมุมของการพัฒนาของพื้นผิวด้านข้างของกรวย:
φ=2pir/g.
มุม φ ที่นี่แสดงเป็นเรเดียน
เพื่อกำหนดพื้นที่ Sbของเซกเตอร์วงกลม เราจะใช้ค่าที่พบของ φ เราสร้างสัดส่วนเพิ่มอีกหนึ่งส่วนสำหรับพื้นที่เท่านั้น เรามี:
2ปี่==>pig2;
φ==> Sb.
จากตำแหน่งที่แสดง Sb แล้วแทนที่ค่าของมุม φ เราได้:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
สำหรับพื้นที่ผิวทรงกรวย เราได้สูตรที่ค่อนข้างกะทัดรัด ค่าของ Sb เท่ากับผลคูณของปัจจัยสามตัว: pi รัศมีของรูปและตัวกำเนิด
จากนั้นพื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปจะเท่ากับผลรวมของ Sb และ So (วงกลม พื้นที่ฐาน) เราได้สูตร:
S=Sb+ So=pir(g + r).
สร้างกรวยบนกระดาษ
ในการทำงานนี้ให้สำเร็จ คุณจะต้องใช้กระดาษ ดินสอ ไม้โปรแทรกเตอร์ ไม้บรรทัด และเข็มทิศ
ก่อนอื่น วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3 ซม. 4 ซม. และ 5 ซม. กันก่อน หมุนรอบขา 3 ซม. จะได้โคนที่ต้องการ หุ่นมี r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
การกวาดจะเริ่มโดยการวาดวงกลมที่มีรัศมี r ด้วยเข็มทิศ ความยาวของมันจะเท่ากับ 6pi ซม. ถัดจากนั้นเราจะวาดวงกลมอีกวงหนึ่ง แต่มีรัศมี ก. ความยาวของมันจะตรงกับ 10pi ซม. ตอนนี้เราต้องตัดเซกเตอร์วงกลมออกจากวงกลมขนาดใหญ่ มุมของมันคือ:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
ตอนนี้เรากันมุมนี้ด้วยไม้โปรแทรกเตอร์บนวงกลมที่มีรัศมี g แล้ววาดรัศมีสองเส้นที่จะจำกัดเซกเตอร์วงกลม
โซดังนั้น เราจึงได้สร้างการพัฒนาของกรวยด้วยพารามิเตอร์ที่ระบุรัศมี ความสูง และ generatrix
ตัวอย่างการแก้ปัญหาเรขาคณิต
ให้โคนตรงกลมๆ. เป็นที่ทราบกันว่ามุมของการกวาดด้านข้างคือ 120o จำเป็นต้องหารัศมีและกำเนิดของรูปนี้ ถ้าทราบว่าความสูง h ของกรวยคือ 10 ซม.
งานไม่ยากถ้าเราจำได้ว่ารูปกรวยกลมเป็นรูปการหมุนของสามเหลี่ยมมุมฉาก จากรูปสามเหลี่ยมนี้จะมีความสัมพันธ์ที่ชัดเจนระหว่างความสูง รัศมี และตัวกำเนิด ลองเขียนสูตรที่สอดคล้องกัน:
g2=h2+ r2.
นิพจน์ที่สองที่ใช้แก้โจทย์คือสูตรสำหรับมุม φ:
φ=2pir/g.
ดังนั้น เรามีสมการสองสมการที่เกี่ยวข้องกับปริมาณที่ไม่รู้จักสองตัว (r และ g)
ด่วน g จากสูตรที่สองและแทนที่ผลลัพธ์เป็นอันดับแรก เราได้:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
มุม φ=120o ในหน่วยเรเดียน คือ 2pi/3 เราแทนที่ค่านี้ เราจะได้สูตรสุดท้ายสำหรับ r และ g:
r=ชั่วโมง /√8;
g=3ชม. /√8.
มันยังคงแทนที่ค่าความสูงและรับคำตอบสำหรับคำถามปัญหา: r ≈ 3.54 cm, g ≈ 10.61 cm.
