เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ถูกค้นพบในศตวรรษที่สิบแปดและสิบเก้า ในขั้นต้น การพัฒนาเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของวัตถุเรขาคณิตและการแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้น ในอดีต การเน้นในช่วงต้นคือปัจจัยกำหนด ในวิธีการประมวลผลพีชคณิตเชิงเส้นสมัยใหม่ เมทริกซ์ถือเป็นอันดับแรก มันคุ้มค่าที่จะไตร่ตรองคำถามนี้ซักพัก
คำตอบจากความรู้ด้านนี้
เมทริกซ์เป็นวิธีที่มีประโยชน์ในทางทฤษฎีและในทางปฏิบัติในการแก้ปัญหามากมาย เช่น:
- ระบบสมการเชิงเส้น
- สมดุลของของแข็ง (ในทางฟิสิกส์);
- ทฤษฎีกราฟ;
- โมเดลเศรษฐกิจของ Leontief;
- ป่าไม้;
- คอมพิวเตอร์กราฟิกและเอกซเรย์;
- พันธุศาสตร์;
- การเข้ารหัส;
- เครือข่ายไฟฟ้า
- เศษส่วน
อันที่จริง พีชคณิตเมทริกซ์สำหรับ "หุ่น" มีคำจำกัดความที่ง่ายขึ้น ได้แสดงไว้ดังนี้ นี้เป็นศาสตร์แห่งความรู้ที่ค่าที่เป็นปัญหาได้รับการศึกษาวิเคราะห์และสำรวจอย่างเต็มที่ ในพีชคณิตส่วนนี้ มีการศึกษาการดำเนินการต่างๆ ของเมทริกซ์ที่อยู่ระหว่างการศึกษา
วิธีทำงานกับเมทริกซ์
ค่าเหล่านี้ถือว่าเท่ากันหากมีมิติเท่ากันและแต่ละองค์ประกอบเท่ากับองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของอีกองค์ประกอบหนึ่ง เป็นไปได้ที่จะคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงที่ใดๆ สิ่งนี้เรียกว่าการคูณสเกลาร์ ตัวอย่าง: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
เมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสามารถเพิ่มและลบด้วยอินพุตและค่าของขนาดที่เข้ากันได้สามารถคูณได้ ตัวอย่าง: เพิ่ม A และ B สองตัว: A=[21-10]B=[1423] สิ่งนี้เป็นไปได้เนื่องจาก A และ B เป็นเมทริกซ์ที่มีสองแถวและมีจำนวนคอลัมน์เท่ากัน จำเป็นต้องเพิ่มแต่ละองค์ประกอบใน A ให้กับองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องใน B: A+B=[2+11+2-1+40+3]=[3333] เมทริกซ์ถูกลบด้วยวิธีเดียวกันในพีชคณิต
การคูณเมทริกซ์ทำงานแตกต่างออกไปเล็กน้อย ยิ่งไปกว่านั้น อาจมีหลายกรณีและตัวเลือก ตลอดจนวิธีแก้ไข ถ้าเราคูณเมทริกซ์ Apq และ Bmn แล้วผลคูณ Ap×q+Bm×n=[AB]p×n รายการในแถว gth และคอลัมน์ hth ของ AB คือผลรวมของผลคูณของรายการที่เกี่ยวข้องใน g A และ h B เป็นไปได้ที่จะคูณเมทริกซ์สองเมทริกซ์ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ในคอลัมน์แรกและแถวในหน่วยที่สอง มีค่าเท่ากัน ตัวอย่าง: ปฏิบัติตามเงื่อนไขสำหรับการพิจารณา A และ B: A=[1−130]B=[2−11214] เป็นไปได้เนื่องจากเมทริกซ์แรกมี 2 คอลัมน์ และคอลัมน์ที่สองมี 2 แถวAB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[-1−27−113−1].
ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับเมทริกซ์
ค่าที่เป็นปัญหาจะจัดระเบียบข้อมูล เช่น ตัวแปรและค่าคงที่ และจัดเก็บไว้ในแถวและคอลัมน์ ปกติจะเรียกว่า C แต่ละตำแหน่งในเมทริกซ์เรียกว่าองค์ประกอบ ตัวอย่าง: C=[1234]. ประกอบด้วยสองแถวและสองคอลัมน์ องค์ประกอบ 4 อยู่ในแถวที่ 2 และคอลัมน์ 2 โดยปกติคุณสามารถตั้งชื่อเมทริกซ์ตามขนาดได้ โดยที่ชื่อ Cmk มี m แถวและ k คอลัมน์
เมทริกซ์ขยาย
การพิจารณาเป็นสิ่งที่มีประโยชน์อย่างเหลือเชื่อที่เกิดขึ้นในพื้นที่การใช้งานที่แตกต่างกันมากมาย เมทริกซ์เดิมใช้ระบบสมการเชิงเส้น ด้วยโครงสร้างความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ จึงต้องคำนึงถึงเมทริกซ์เสริมต่อไปนี้:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
เขียนสัมประสิทธิ์และค่าคำตอบ รวมทั้งเครื่องหมายลบทั้งหมด หากองค์ประกอบที่มีจำนวนลบก็จะเท่ากับ "1" นั่นคือ ระบบของสมการ (เชิงเส้น) จึงสามารถเชื่อมโยงเมทริกซ์ (ตารางของตัวเลขในวงเล็บ) เข้ากับเมทริกซ์ได้ มันมีค่าสัมประสิทธิ์ของระบบเชิงเส้นตรงเท่านั้น นี่เรียกว่า "เมทริกซ์ขยาย" ตารางที่มีค่าสัมประสิทธิ์จากด้านซ้ายของแต่ละสมการได้รับการ "เสริม" ด้วยคำตอบจากด้านขวาของแต่ละสมการ
บันทึก นั่นคือค่า B ของเมทริกซ์สอดคล้องกับค่า x-, y- และ z ในระบบเดิม ถ้าจัดถูกแล้ว ให้ตรวจสอบก่อน บางครั้งคุณจำเป็นต้องจัดเรียงคำศัพท์ใหม่หรือใส่ศูนย์เป็นตัวยึดตำแหน่งในเมทริกซ์ที่กำลังศึกษาหรือศึกษา
ด้วยระบบสมการต่อไปนี้ เราสามารถเขียนเมทริกซ์เสริมที่เกี่ยวข้องได้ทันที:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
อันดับแรก ให้แน่ใจว่าได้จัดเรียงระบบใหม่เป็น:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
จากนั้นก็เป็นไปได้ที่จะเขียนเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องเป็น: [11000113-1012] เมื่อสร้างส่วนขยาย ควรใช้ศูนย์สำหรับระเบียนใดๆ ที่จุดที่สอดคล้องกันในระบบสมการเชิงเส้นว่างเปล่า
เมทริกซ์พีชคณิต: คุณสมบัติของการดำเนินการ
หากจำเป็นต้องสร้างองค์ประกอบจากค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ค่าที่พิจารณาจะมีลักษณะดังนี้: [110011-101] นี่เรียกว่า "เมทริกซ์สัมประสิทธิ์"
เมื่อคำนึงถึงพีชคณิตเมทริกซ์แบบขยายต่อไปนี้ จำเป็นต้องปรับปรุงและเพิ่มระบบเชิงเส้นตรงที่เกี่ยวข้อง อย่างที่กล่าวไปแล้ว สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าพวกเขาต้องการตัวแปรที่ได้รับการจัดวางอย่างดีและเรียบร้อย และโดยปกติเมื่อมีตัวแปรสามตัว ให้ใช้ x, y และ z ตามลำดับ ดังนั้น ระบบเชิงเส้นตรงที่เกี่ยวข้องควรเป็น:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
ขนาดเมทริกซ์
รายการที่เป็นปัญหามักถูกอ้างถึงโดยการแสดงของพวกเขา ขนาดของเมทริกซ์ในพีชคณิตจะได้รับเป็นการวัดเนื่องจากห้องสามารถเรียกได้ว่าแตกต่างกัน การวัดค่าที่วัดได้คือแถวและคอลัมน์ไม่ใช่ความกว้างและความยาว ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ A:
[1234]
[2345]
[3456].
เนื่องจาก A มีสามแถวและสี่คอลัมน์ ขนาดของ A คือ 3 × 4
→
↓
เส้นไปด้านข้าง คอลัมน์ขึ้นและลง "แถว" และ "คอลัมน์" เป็นข้อกำหนดและไม่สามารถใช้แทนกันได้ ขนาดเมทริกซ์จะถูกระบุด้วยจำนวนแถวและจำนวนคอลัมน์เสมอ ตามอนุสัญญานี้ ต่อไปนี้ B:
[123]
[234] คือ 2 × 3 หากเมทริกซ์มีจำนวนแถวเท่ากันกับคอลัมน์ จะเรียกว่า "สี่เหลี่ยม" ตัวอย่างเช่น ค่าสัมประสิทธิ์จากด้านบน:
[110]
[011]
[-101] เป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส 3×3
สัญกรณ์และการจัดรูปแบบเมทริกซ์
หมายเหตุการจัดรูปแบบ: ตัวอย่างเช่น เมื่อคุณต้องการเขียนเมทริกซ์ สิ่งสำคัญคือต้องใช้วงเล็บปีกกา แถบค่าสัมบูรณ์ || ไม่ได้ใช้เนื่องจากมีทิศทางที่แตกต่างกันในบริบทนี้ วงเล็บหรือวงเล็บปีกกา {} ไม่เคยใช้ หรือสัญลักษณ์การจัดกลุ่มอื่นๆ หรือไม่มีเลย เนื่องจากการนำเสนอเหล่านี้ไม่มีความหมายใดๆ ในพีชคณิต เมทริกซ์อยู่ภายในวงเล็บเหลี่ยมเสมอ ต้องใช้เฉพาะสัญกรณ์ที่ถูกต้อง มิฉะนั้น คำตอบอาจถือว่าอ่านไม่ออก
ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ค่าที่อยู่ในเมทริกซ์เรียกว่าเร็กคอร์ด ด้วยเหตุผลใดก็ตาม องค์ประกอบที่เป็นปัญหามักจะถูกเขียนขึ้นตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A หรือ B และรายการต่างๆ จะถูกระบุโดยใช้อักษรตัวพิมพ์เล็กที่เกี่ยวข้อง แต่มีตัวห้อย ในเมทริกซ์ A ค่ามักจะเรียกว่า "ai, j" โดยที่ i คือแถวของ A และ j คือคอลัมน์ของ A ตัวอย่างเช่น a3, 2=8 รายการสำหรับ a1, 3 คือ 3
สำหรับเมทริกซ์ที่เล็กกว่า เมตริกที่มีแถวและคอลัมน์น้อยกว่า 10 แถว บางครั้งระบบจะละเว้นเครื่องหมายจุลภาคตัวห้อย ตัวอย่างเช่น "a1, 3=3" สามารถเขียนเป็น "a13=3" ได้ เห็นได้ชัดว่าวิธีนี้ใช้ไม่ได้กับเมทริกซ์ขนาดใหญ่เนื่องจาก a213 จะคลุมเครือ
ประเภทเมทริกซ์
บางครั้งจัดตามการกำหนดค่าบันทึก ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ดังกล่าวที่มีรายการศูนย์ทั้งหมดด้านล่าง "แนวทแยง" บนซ้ายล่างขวาในแนวทแยงเรียกว่าสามเหลี่ยมบน เหนือสิ่งอื่นใด อาจมีชนิดและประเภทอื่น ๆ แต่ก็ไม่มีประโยชน์มากนัก โดยทั่วไป ส่วนใหญ่จะมองว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมบน ค่าที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นศูนย์ในแนวนอนเท่านั้นเรียกว่าค่าแนวทแยง ประเภทที่คล้ายกันมีรายการที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งทั้งหมดเป็น 1 คำตอบดังกล่าวเรียกว่าเหมือนกัน (ด้วยเหตุผลที่จะชัดเจนเมื่อเรียนรู้และเข้าใจวิธีการคูณค่าที่เป็นปัญหา) มีตัวบ่งชี้การวิจัยที่คล้ายกันมากมาย ตัวตน 3 × 3 นั้นแสดงด้วย I3 ในทำนองเดียวกัน เอกลักษณ์ 4 × 4 คือ I4
เมทริกซ์พีชคณิตและปริภูมิเชิงเส้น
โปรดทราบว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่เส้นทแยงมุมเป็นรูปสามเหลี่ยม ในมุมมองนี้ พวกเขาคือสี่เหลี่ยม. และอัตลักษณ์ถือเป็นเส้นทแยงมุมและดังนั้นจึงเป็นรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมจัตุรัส เมื่อจำเป็นต้องอธิบายเมทริกซ์ เรามักจะระบุการจำแนกประเภทที่เจาะจงที่สุดของตนเอง เนื่องจากนี่หมายถึงการจำแนกประเภทอื่นๆ ทั้งหมด จำแนกตัวเลือกการวิจัยต่อไปนี้:เป็น 3 × 4 ในกรณีนี้ จะไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นค่าไม่สามารถเป็นอย่างอื่นได้ การจำแนกประเภทต่อไปนี้:เป็นไปได้เป็น 3 × 3 แต่ถือว่าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และไม่มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับเรื่องนี้ การจำแนกประเภทของข้อมูลต่อไปนี้:เป็น 3 × 3 สามเหลี่ยมบน แต่ไม่เป็นแนวทแยง จริงในค่าที่อยู่ระหว่างการพิจารณาอาจมีศูนย์เพิ่มเติมในหรือเหนือพื้นที่ที่ตั้งอยู่และระบุ การจำแนกประเภทที่กำลังศึกษาอยู่เพิ่มเติม:โดยแสดงเป็นเส้นทแยงมุมและยิ่งกว่านั้น รายการทั้งหมดเป็น 1 แล้วนี่คือข้อมูลประจำตัว 3 × 3, I3.
เนื่องจากเมทริกซ์ที่คล้ายคลึงกันอยู่ในกำลังสองนิยาม คุณจึงต้องใช้ดัชนีเดียวเพื่อค้นหามิติของพวกมัน เพื่อให้เมทริกซ์สองตัวเท่ากัน พวกมันต้องมีพารามิเตอร์เหมือนกันและมีรายการเดียวกันในที่เดียวกัน ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีสององค์ประกอบที่อยู่ระหว่างการพิจารณา: A=[1 3 0] [-2 0 0] และ B=[1 3] [-2 0] ค่าเหล่านี้ไม่สามารถเหมือนกันได้เนื่องจากมีขนาดต่างกัน
แม้ว่า A และ B จะเป็น: A=[3 6] [2 5] [1 4] และ B=[1 2 3] [4 5 6] - พวกเขายังคงไม่เหมือนเดิม สิ่งเดียวกัน A และ B แต่ละคนมีหกรายการและมีตัวเลขเหมือนกัน แต่ไม่เพียงพอสำหรับเมทริกซ์ A คือ 3×2 และ B เป็นเมทริกซ์ขนาด 2×3 A สำหรับ 3×2 ไม่ใช่ 2×3 ไม่สำคัญว่า A และ B จะมีข้อมูลจำนวนเท่ากันหรือแม้แต่ตัวเลขเดียวกันกับระเบียน หาก A และ B มีขนาดและรูปร่างไม่เท่ากัน แต่มีค่าเท่ากันในตำแหน่งที่เหมือนกัน จะไม่เท่ากัน
ปฏิบัติการที่คล้ายกันในพื้นที่ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา
คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์นี้สามารถเปลี่ยนเป็นงานสำหรับการวิจัยอิสระได้ ตัวอย่างเช่น ให้เมทริกซ์สองตัวและระบุว่ามีค่าเท่ากัน ในกรณีนี้ คุณจะต้องใช้ความเท่าเทียมกันนี้เพื่อสำรวจและรับคำตอบสำหรับค่าของตัวแปร
ตัวอย่างและคำตอบของเมทริกซ์ในพีชคณิตสามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพูดถึงความเท่าเทียมกัน เนื่องจากพิจารณาเมทริกซ์ต่อไปนี้ จึงจำเป็นต้องค้นหาค่า x และ y เพื่อให้ A และ B เท่ากัน ต้องมีขนาดและรูปร่างเท่ากัน อันที่จริงมันเป็นแบบนั้น เพราะแต่ละตัวมีเมทริกซ์ 2 × 2 และควรมีค่าเท่ากันในที่เดียวกัน จากนั้น a1, 1 ต้องเท่ากับ b1, 1, a1, 2 ต้องเท่ากับ b1, 2 เป็นต้น) แต่เห็นได้ชัดว่า a1 1=1 ไม่เท่ากับ b1 1=x เพื่อให้ A เหมือนกับ B รายการต้องมี a1, 1=b1, 1 ดังนั้นจึงสามารถเป็น 1=x ในทำนองเดียวกัน ดัชนี a2, 2=b2, 2, ดังนั้น 4=y คำตอบคือ x=1, y=4 โดยให้ดังนี้เมทริกซ์เท่ากัน คุณต้องหาค่าของ x, y และ z เพื่อให้มี A=B สัมประสิทธิ์ต้องมีรายการทั้งหมดเท่ากัน นั่นคือ a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 เป็นต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ต้อง:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
ดังที่คุณเห็นจากเมทริกซ์ที่เลือก: ด้วย 1, 1-, 2, 2- และ 3, 1 องค์ประกอบ จากการแก้สมการทั้งสามนี้ เราได้คำตอบ: x=4, y=-6 and z=9 พีชคณิตเมทริกซ์และการดำเนินการเมทริกซ์แตกต่างจากที่ทุกคนคุ้นเคย แต่ไม่สามารถทำซ้ำได้
ข้อมูลเพิ่มเติมในพื้นที่นี้
พีชคณิตเมทริกซ์เชิงเส้นคือการศึกษาชุดสมการที่คล้ายกันและคุณสมบัติการแปลงของพวกมัน ความรู้สาขานี้ช่วยให้คุณสามารถวิเคราะห์การหมุนในอวกาศ ประมาณกำลังสองน้อยที่สุด แก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง กำหนดวงกลมที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด และแก้ปัญหาอื่นๆ อีกมากมายในวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และเทคโนโลยี พีชคณิตเชิงเส้นของเมทริกซ์ไม่ใช่ความหมายเชิงเทคนิคของคำที่ใช้ กล่าวคือ ช่องว่างเวกเตอร์ v บนฟิลด์ f เป็นต้น
เมทริกซ์และดีเทอร์มีแนนต์เป็นเครื่องมือพีชคณิตเชิงเส้นที่มีประโยชน์อย่างยิ่ง งานหลักอย่างหนึ่งคือการแก้สมการเมทริกซ์ Ax=b สำหรับ x แม้ว่าในทางทฤษฎีจะสามารถแก้ไขได้โดยใช้ค่าผกผัน x=A-1 b วิธีอื่นๆ เช่น การกำจัดแบบเกาส์เซียน มีความน่าเชื่อถือทางตัวเลขมากกว่า
นอกจากจะใช้เพื่ออธิบายการศึกษาชุดสมการเชิงเส้นแล้ว ตัวระบุคำข้างต้นยังใช้เพื่ออธิบายพีชคณิตบางประเภท โดยเฉพาะอย่างยิ่ง L บนสนาม F มีโครงสร้างของวงแหวนที่มีสัจพจน์ปกติทั้งหมดสำหรับการบวกและการคูณภายใน ร่วมกับกฎการกระจาย ดังนั้นจึงให้โครงสร้างมากกว่าวงแหวน พีชคณิตเมทริกซ์เชิงเส้นยังยอมรับการดำเนินการภายนอกของการคูณด้วยสเกลาร์ที่เป็นองค์ประกอบของฟิลด์ F ต้นแบบ ตัวอย่างเช่น ชุดของการแปลงที่พิจารณาทั้งหมดจากเวคเตอร์สเปซ V ไปยังตัวมันเองบนสนาม F จะถูกสร้างขึ้นเหนือ F อีกตัวอย่างหนึ่งของเส้นตรง พีชคณิตคือเซตของเมทริกซ์กำลังสองจริงทั้งหมดบนเขตข้อมูล R จำนวนจริง