สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม หกเหลี่ยม - เกือบทุกคนรู้จักตัวเลขเหล่านี้ แต่ไม่ใช่ทุกคนที่รู้ว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติคืออะไร แต่สิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นรูปทรงเรขาคณิตเหมือนกัน รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีมุมและด้านเท่ากัน มีตัวเลขดังกล่าวจำนวนมาก แต่ทั้งหมดมีคุณสมบัติเหมือนกัน และมีการใช้สูตรเดียวกัน
คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
รูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ไม่ว่าจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือแปดเหลี่ยม สามารถจารึกเป็นวงกลมได้ คุณสมบัติพื้นฐานนี้มักใช้ในการสร้างร่าง นอกจากนี้ วงกลมยังสามารถจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยม ในกรณีนี้จำนวนจุดติดต่อจะเท่ากับจำนวนด้าน เป็นสิ่งสำคัญที่วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมปกติจะมีจุดศูนย์กลางร่วมด้วย รูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้อยู่ภายใต้ทฤษฎีบทเดียวกัน ด้านใดด้านหนึ่งของ n-gon ปกติสัมพันธ์กับรัศมี R ของวงกลมที่ล้อมรอบมัน ดังนั้น จึงสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: a=2R ∙ sin180° ผ่านรัศมีของวงกลม ไม่เพียงแต่จะพบด้านเท่านั้น แต่ยังหาปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมได้ด้วย
วิธีหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
n-gon ปกติใด ๆ ประกอบด้วยส่วนจำนวนหนึ่งที่เท่ากันซึ่งเมื่อเชื่อมต่อแล้วจะสร้างเส้นปิด ในกรณีนี้ทุกมุมของรูปที่ขึ้นรูปมีค่าเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมแบ่งออกเป็นแบบง่ายและซับซ้อน กลุ่มแรกประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมจตุรัส รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนมีด้านมากกว่า พวกเขายังรวมถึงรูปดาว สำหรับรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาที่ซับซ้อน ด้านข้างจะพบโดยเขียนเป็นวงกลม มาพิสูจน์กัน วาดรูปหลายเหลี่ยมปกติด้วยจำนวนด้าน n ตามใจชอบ อธิบายวงกลมรอบๆ ระบุรัศมี R ทีนี้ลองนึกภาพว่ามี n-gon มาให้ หากจุดของมุมอยู่บนวงกลมและมีค่าเท่ากัน จากนั้นสูตรสามารถหาด้านได้: a=2R ∙ sinα: 2.
การหาจำนวนด้านของสามเหลี่ยมธรรมดาที่จารึกไว้
สามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ สูตรเดียวกันนี้ใช้กับสี่เหลี่ยมจัตุรัสและ n-gon สามเหลี่ยมจะถือว่าถูกต้องหากมีด้านยาวเท่ากัน ในกรณีนี้ มุมคือ60⁰ สร้างสามเหลี่ยมโดยให้ด้านยาว a กำหนด เมื่อรู้ค่ามัธยฐานและส่วนสูงแล้วคุณสามารถหาค่าของด้านของมันได้ ในการทำเช่นนี้ เราจะใช้วิธีการค้นหาโดยใช้สูตร a \u003d x: cosα โดยที่ x คือค่ามัธยฐานหรือความสูง เนื่องจากทุกด้านของสามเหลี่ยมเท่ากัน เราจึงได้ a=b=c จากนั้นข้อความต่อไปนี้จะเป็นจริง a=b=c=x: cosα ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถหาค่าของด้านต่างๆ ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แต่ x จะเป็นความสูงที่กำหนด ในขณะเดียวกันก็ควรจะฉายบนฐานของร่างอย่างเคร่งครัด ดังนั้น เมื่อทราบความสูง x เราจะหาด้าน a ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยใช้สูตร a \u003d b \u003d x: cosα หลังจากหาค่าของ a แล้ว คุณสามารถคำนวณความยาวของฐาน c ได้ ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน เราจะหาค่าครึ่งหนึ่งของฐาน c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα จากนั้น c=2xtanα นี่เป็นวิธีง่ายๆ ในการค้นหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้
คำนวณด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกเป็นวงกลม
เหมือนรูปหลายเหลี่ยมปกติอื่นๆ ที่จารึกไว้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านและมุมเท่ากัน สูตรเดียวกันกับรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถคำนวณด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยใช้ค่าของเส้นทแยงมุม ลองพิจารณาวิธีนี้โดยละเอียด เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งมุม ในขั้นต้น ค่าของมันคือ 90 องศา ดังนั้นหลังจากหารแล้ว จะเกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป มุมฐานของพวกมันจะเท่ากับ 45 องศา ดังนั้นแต่ละด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเท่ากัน นั่นคือ: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2 โดยที่ e คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือฐานของ สามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้นหลังจากการหาร ไม่ใช่ทางเดียวการหาด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลองจารึกรูปนี้เป็นวงกลม เมื่อทราบรัศมีของวงกลม R แล้ว เราจะหาด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราจะคำนวณได้ดังนี้ a4=R√2 รัศมีของรูปหลายเหลี่ยมปกติคำนวณโดยสูตร R=a: 2tg (360o: 2n) โดยที่ a คือความยาวด้าน
วิธีคำนวณปริมณฑลของ n-gon
ปริมณฑลของ n-gon คือผลบวกของทุกด้าน มันง่ายที่จะคำนวณมัน ในการทำเช่นนี้คุณต้องรู้ค่าของทุกด้าน สำหรับรูปหลายเหลี่ยมบางประเภท จะมีสูตรพิเศษ พวกมันช่วยให้คุณค้นหาปริมณฑลได้เร็วกว่ามาก เป็นที่ทราบกันว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ มีด้านเท่ากัน ดังนั้นในการคำนวณปริมณฑลก็เพียงพอที่จะรู้อย่างน้อยหนึ่งอัน สูตรจะขึ้นอยู่กับจำนวนด้านของรูป โดยทั่วไปแล้ว จะมีลักษณะดังนี้: P \u003d an โดยที่ a คือค่าของด้าน และ n คือจำนวนมุม ตัวอย่างเช่น ในการหาเส้นรอบรูปของรูปแปดเหลี่ยมปกติที่มีด้าน 3 ซม. คุณต้องคูณมันด้วย 8 นั่นคือ P=3 ∙ 8=24 ซม. สำหรับรูปหกเหลี่ยมที่มีด้าน 5 ซม. เราคำนวณ ดังนี้ P=5 ∙ 6=30 ซม. และสำหรับแต่ละรูปหลายเหลี่ยม
การหาปริมณฑลของสี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมจัตุรัส และสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
ปริมณฑลคำนวณโดยขึ้นอยู่กับว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติมีกี่ด้าน ทำให้งานง่ายขึ้นมาก อันที่จริงไม่เหมือนกับตัวเลขอื่น ๆ ในกรณีนี้ไม่จำเป็นต้องมองหาทุกด้านเพียงอันเดียวก็เพียงพอแล้ว โดยหลักการเดียวกัน เราจะหาปริมณฑลที่สี่เหลี่ยมนั่นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แม้ว่าตัวเลขเหล่านี้จะต่างกัน แต่สูตรสำหรับพวกมันก็เหมือนกัน P=4a โดยที่ a คือด้าน ลองมาดูตัวอย่างกัน หากด้านสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ 6 ซม. เราจะหาเส้นรอบวงได้ดังนี้: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 ซม. สี่เหลี่ยมด้านขนานจะมีด้านตรงข้ามเท่านั้น ดังนั้นจึงพบขอบเขตโดยใช้วิธีอื่น ดังนั้น เราต้องรู้ความยาว a และความกว้าง b ของรูป จากนั้นเราใช้สูตร P=(a + c) ∙ 2 สี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งทุกด้านและมุมระหว่างกันเท่ากันเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
การหาปริมณฑลของสามเหลี่ยมด้านเท่าและมุมขวา
เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมด้านเท่าปกติสามารถหาได้จากสูตร P=3a โดยที่ a คือความยาวของด้าน หากไม่ทราบก็สามารถหาได้จากค่ามัธยฐาน ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีเพียงสองด้านเท่านั้นที่เท่ากัน พื้นฐานสามารถพบได้ผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส หลังจากที่ทราบค่าของทั้งสามด้านแล้ว เราจะคำนวณปริมณฑล สามารถพบได้โดยการใช้สูตร P \u003d a + b + c โดยที่ a และ b เป็นด้านเท่ากัน และ c เป็นฐาน จำได้ว่าในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว a \u003d b \u003d a ดังนั้น a + b \u003d 2a จากนั้น P \u003d 2a + c ตัวอย่างเช่น ด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือ 4 ซม. หาฐานและเส้นรอบรูป เราคำนวณค่าของด้านตรงข้ามมุมฉากโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส c=√a2 + v2=√16+16=√32=5.65 ซม. ตอนนี้เราคำนวณปริมณฑล Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13.65 ซม.
วิธีหามุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
รูปหลายเหลี่ยมปกติเกิดขึ้นในชีวิตประจำวันของเรา เช่น สี่เหลี่ยมธรรมดา สามเหลี่ยม แปดเหลี่ยม ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรง่ายไปกว่าการสร้างตัวเลขนี้ด้วยตัวคุณเอง แต่นี่เป็นเพียงแวบแรกเท่านั้น ในการสร้าง n-gon ใดๆ คุณต้องรู้ค่าของมุมของมัน แต่คุณจะพบพวกเขาได้อย่างไร แม้แต่นักวิทยาศาสตร์ในสมัยโบราณก็ยังพยายามสร้างรูปหลายเหลี่ยมแบบปกติ พวกเขาเดาว่าจะประกอบเป็นวงกลม จากนั้นทำเครื่องหมายจุดที่จำเป็นโดยเชื่อมต่อด้วยเส้นตรง สำหรับตัวเลขอย่างง่าย ปัญหาการก่อสร้างได้รับการแก้ไขแล้ว ได้รับสูตรและทฤษฎีบทแล้ว ตัวอย่างเช่น Euclid ในงานที่โด่งดังของเขา "The Beginning" มีส่วนร่วมในการแก้ปัญหา 3-, 4-, 5-, 6- และ 15-gons เขาพบวิธีสร้างพวกมันและหามุม มาดูวิธีการทำ 15-gon กัน ก่อนอื่นคุณต้องคำนวณผลรวมของมุมภายในของมัน จำเป็นต้องใช้สูตร S=180⁰(n-2) ดังนั้นเราจึงได้รับ 15-gon ซึ่งหมายความว่าตัวเลข n คือ 15 เราแทนที่ข้อมูลที่เรารู้ลงในสูตรแล้วได้ S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰ เราพบผลรวมของมุมภายในทั้งหมดของ 15-gon แล้ว ตอนนี้เราต้องได้รับค่าของแต่ละรายการ มีทั้งหมด 15 มุม เราทำการคำนวณ 2340⁰: 15=156⁰ ซึ่งหมายความว่าแต่ละมุมภายในคือ 156⁰ ตอนนี้คุณใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ คุณสามารถสร้าง 15 กอนปกติได้ แล้ว n-gon ที่ซับซ้อนกว่านี้ล่ะ? นักวิทยาศาสตร์ได้พยายามแก้ปัญหานี้มานานหลายศตวรรษ มันถูกค้นพบในศตวรรษที่ 18 โดย Carl Friedrich Gauss เท่านั้น เขาสามารถสร้าง 65537-gon ได้ ตั้งแต่นั้นมาปัญหาก็ถือว่าได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์แล้ว
การคำนวณมุม n-gonsหน่วยเป็นเรเดียน
แน่นอนว่าการหามุมของรูปหลายเหลี่ยมมีหลายวิธี ส่วนใหญ่มักจะคำนวณเป็นองศา แต่คุณยังสามารถแสดงเป็นเรเดียนได้อีกด้วย ทำอย่างไร? มีความจำเป็นต้องดำเนินการดังนี้ อันดับแรก เราหาจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ แล้วลบ 2 จากนั้น เราจะได้ค่า: n - 2 คูณผลต่างที่พบด้วยจำนวน n (“pi”=3, 14) ตอนนี้เหลือเพียงการแบ่งผลคูณด้วยจำนวนมุมใน n-gon พิจารณาการคำนวณเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างด้านสิบห้าด้านเดียวกัน ดังนั้นจำนวน n คือ 15 ใช้สูตร S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72 แน่นอนว่าสิ่งนี้ ไม่ใช่วิธีเดียวในการคำนวณมุมเป็นเรเดียน คุณแค่หารขนาดของมุมเป็นองศาด้วยเลข 57, 3 ได้เลย เพราะหลายองศานั้นมีค่าเท่ากับหนึ่งเรเดียน
คำนวณค่ามุมเป็นองศา
นอกเหนือจากองศาและเรเดียน คุณสามารถลองหาค่าของมุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติในรูปแบบการไล่ระดับได้ นี้จะทำในวิธีต่อไปนี้ ลบ 2 จากจำนวนมุมทั้งหมด หารผลต่างที่เป็นผลลัพธ์ด้วยจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ เราคูณผลลัพธ์ที่พบด้วย 200 อย่างไรก็ตาม หน่วยวัดมุมเช่นลูกเห็บนั้นแทบจะไม่ได้ใช้เลย
การคำนวณมุมภายนอกของ n-gon
สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ยกเว้นรูปภายใน คุณยังสามารถคำนวณมุมภายนอกได้ ค่าของมันถูกพบในลักษณะเดียวกับตัวเลขอื่นๆ ดังนั้น ในการหามุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมปกติ คุณต้องมีรู้ความหมายภายใน นอกจากนี้ เรารู้ว่าผลบวกของมุมทั้งสองนี้มีค่าเท่ากับ 180 องศาเสมอ ดังนั้นเราจึงทำการคำนวณดังนี้ 180⁰ ลบค่าของมุมภายใน เราพบความแตกต่าง มันจะเท่ากับค่าของมุมที่อยู่ติดกับมัน ตัวอย่างเช่น มุมด้านในของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90 องศา ดังนั้นมุมด้านนอกจะเป็น 180⁰ - 90⁰=90⁰ อย่างที่เราเห็นมันหาได้ไม่ยาก มุมภายนอกสามารถรับค่าได้ตั้งแต่ +180⁰ ถึง -180⁰ ตามลำดับ