ในวิชาคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันผกผันคือนิพจน์ที่สอดคล้องกันซึ่งเปลี่ยนมารวมกัน เพื่อให้เข้าใจว่าสิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร ควรพิจารณาตัวอย่างเฉพาะ สมมุติว่าเรามี y=cos(x) หากเราหาโคไซน์จากอาร์กิวเมนต์ เราก็สามารถหาค่าของ y ได้ แน่นอน สำหรับสิ่งนี้คุณต้องมี x แต่ถ้าผู้เล่นได้รับในตอนแรกล่ะ? นี่คือสิ่งที่เข้าถึงหัวใจของเรื่อง ในการแก้ปัญหาจำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันผกผัน ในกรณีของเรา นี่คือโคไซน์อาร์ค
หลังจากการแปลงทั้งหมด เราได้: x=arccos(y).
นั่นคือ การหาฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันที่กำหนด แค่แสดงอาร์กิวเมนต์จากฟังก์ชันนั้นก็เพียงพอแล้ว แต่จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อผลลัพธ์มีค่าเพียงค่าเดียว (เพิ่มเติมในภายหลัง)
ในแง่ทั่วไป ข้อเท็จจริงนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: f(x)=y, g(y)=x.
คำจำกัดความ
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต X และช่วงของค่าคือชุด Y จากนั้นหากมี g ซึ่งโดเมนทำงานตรงข้ามกัน f จะย้อนกลับได้
นอกจากนี้ ในกรณีนี้ g ไม่ซ้ำกัน ซึ่งหมายความว่ามีฟังก์ชันเดียวที่ตรงกับคุณสมบัตินี้ (ไม่มาก ไม่น้อย) จากนั้นจะเรียกว่าฟังก์ชันผกผัน และเขียนแทนดังนี้: g(x)=f -1(x).
กล่าวอีกนัยหนึ่ง พวกมันสามารถถูกมองว่าเป็นความสัมพันธ์แบบไบนารี การย้อนกลับจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อองค์ประกอบหนึ่งของชุดสอดคล้องกับค่าหนึ่งจากอีกค่าหนึ่ง
ไม่มีฟังก์ชันผกผันเสมอไป ในการทำเช่นนี้แต่ละองค์ประกอบ y є Y จะต้องสอดคล้องกับ x є X อย่างน้อยหนึ่งรายการ จากนั้น f จะถูกเรียกว่าตัวต่อตัวหรือการฉีด หาก f -1 เป็นของ Y ดังนั้นแต่ละองค์ประกอบของชุดนี้จะต้องสอดคล้องกับ x ∈ X บางตัว ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่า surjections มันเป็นไปตามคำจำกัดความถ้า Y เป็นภาพ f แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป ในการจะผกผัน ฟังก์ชันต้องเป็นทั้งการฉีดและการพุ่งเข้าใส่ สำนวนดังกล่าวเรียกว่า bijections
ตัวอย่าง: ฟังก์ชันสแควร์และรูท
ฟังก์ชันถูกกำหนดบน [0, ∞) และกำหนดโดยสูตร f (x)=x2.
แล้วมันไม่ใช่การเสริม เนื่องจากทุกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ Y (ยกเว้น 0) สอดคล้องกับค่า X ที่แตกต่างกันสองตัว - หนึ่งค่าบวกและหนึ่งค่าลบ ดังนั้นจึงไม่สามารถย้อนกลับได้ ในกรณีนี้จะไม่สามารถรับข้อมูลเบื้องต้นจากข้อมูลที่ได้รับซึ่งขัดแย้งทฤษฎี มันจะไม่เป็นการฉีดยา
หากโดเมนของคำจำกัดความจำกัดตามเงื่อนไขเป็นค่าที่ไม่ใช่ค่าลบ ทุกอย่างจะทำงานเหมือนเมื่อก่อน จากนั้นก็เป็นแบบสองแง่สองทางและด้วยเหตุนี้จึงพลิกกลับได้ ฟังก์ชันผกผันที่นี่เรียกว่า positive
หมายเหตุในการเข้า
ให้การกำหนด f -1 (x) อาจทำให้คนสับสนได้ แต่ไม่ควรใช้ในลักษณะนี้: (f (x)) - 1 . มันหมายถึงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงและไม่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันผกผัน
ตามกฎทั่วไป ผู้เขียนบางคนใช้นิพจน์เช่น บาป-1 (x).
อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ เชื่อว่าสิ่งนี้อาจทำให้เกิดความสับสนได้ เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาดังกล่าว ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันมักจะแสดงด้วยคำนำหน้า "ส่วนโค้ง" (จากส่วนโค้งภาษาละติน) ในกรณีของเรา เรากำลังพูดถึงอาร์กไซน์ คุณยังสามารถดูคำนำหน้า "ar" หรือ "inv" ของฟังก์ชันอื่นๆ ได้เป็นครั้งคราว