พีทาโกรัสแย้งว่าจำนวนดังกล่าวรองรับโลกพร้อมกับองค์ประกอบพื้นฐาน เพลโตเชื่อว่าตัวเลขเชื่อมโยงปรากฏการณ์กับคำนาม ช่วยในการรับรู้ วัดผล และสรุปผลได้ เลขคณิตมาจากคำว่า "เลขคณิต" ซึ่งเป็นตัวเลขจุดเริ่มต้นของการเริ่มต้นในวิชาคณิตศาสตร์ มันสามารถอธิบายวัตถุใด ๆ - จากแอปเปิ้ลระดับประถมศึกษาไปจนถึงช่องว่างนามธรรม
ความต้องการเป็นปัจจัยในการพัฒนา
ในช่วงเริ่มต้นของการก่อตัวของสังคม ความต้องการของผู้คนจำกัดอยู่ที่ความจำเป็นในการนับ - ข้าวหนึ่งกระสอบ ข้าวสองกระสอบ ฯลฯ ตัวเลขธรรมชาติก็เพียงพอแล้วสำหรับสิ่งนี้ ชุดของมันคือ ลำดับจำนวนเต็มบวกอนันต์ N.
ต่อมา เมื่อมีการพัฒนาคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ จึงมีความจำเป็นสำหรับฟิลด์ของจำนวนเต็ม Z ที่แยกจากกัน ซึ่งรวมค่าลบและศูนย์ไว้ด้วย การปรากฏตัวของมันในระดับครัวเรือนถูกกระตุ้นโดยความจริงที่ว่าในการบัญชีหลักจำเป็นต้องแก้ไขอย่างใดหนี้และขาดทุน ในระดับวิทยาศาสตร์ ตัวเลขติดลบทำให้สามารถแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดได้ เหนือสิ่งอื่นใด รูปภาพของระบบพิกัดเล็กน้อยก็เป็นไปได้แล้ว เนื่องจากมีจุดอ้างอิงปรากฏขึ้น
ขั้นตอนต่อไปคือความจำเป็นในการแนะนำตัวเลขเศษส่วน เนื่องจากวิทยาศาสตร์ไม่หยุดนิ่ง การค้นพบจำนวนมากขึ้นเรื่อยๆ จำเป็นต้องมีพื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับแรงกระตุ้นการเติบโตใหม่ นี่คือลักษณะที่ช่องจำนวนตรรกยะปรากฏ Q.
สุดท้าย ความมีเหตุผลก็หยุดตอบสนองคำขอ เพราะข้อสรุปใหม่ทั้งหมดจำเป็นต้องมีเหตุผล ฟิลด์ของจำนวนจริง R ปรากฏขึ้นงานของ Euclid เกี่ยวกับความไม่สามารถเทียบได้ของปริมาณที่แน่นอนเนื่องจากความไร้เหตุผล กล่าวคือ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณวางตำแหน่งตัวเลขไม่เพียง แต่เป็นค่าคงที่ แต่ยังเป็นปริมาณนามธรรมด้วย ซึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยอัตราส่วนของปริมาณที่เทียบไม่ได้ เนื่องจากจำนวนจริงปรากฏขึ้น ปริมาณเช่น "pi" และ "e" "เห็นแสงสว่าง" โดยที่คณิตศาสตร์สมัยใหม่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้
นวัตกรรมสุดท้ายคือจำนวนเชิงซ้อน C ซึ่งตอบคำถามจำนวนหนึ่งและหักล้างสัจพจน์ที่นำมาใช้ก่อนหน้านี้ เนื่องจากการพัฒนาอย่างรวดเร็วของพีชคณิต ผลลัพธ์สามารถคาดการณ์ได้ - มีตัวเลขจริง การแก้ปัญหาหลายอย่างเป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่น ต้องขอบคุณจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีสตริงและความโกลาหลจึงโดดเด่น และสมการของอุทกพลศาสตร์ก็ขยายตัว
ทฤษฎีเซต. ต้นเสียง
แนวคิดไม่มีที่สิ้นสุดตลอดเวลาทำให้เกิดความขัดแย้ง เนื่องจากไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้ ในบริบทของคณิตศาสตร์ซึ่งดำเนินการด้วยสัจพจน์ที่ตรวจสอบอย่างเข้มงวด สิ่งนี้แสดงออกอย่างชัดเจนที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อแง่มุมทางเทววิทยายังคงมีน้ำหนักในวิทยาศาสตร์
อย่างไรก็ตาม ขอบคุณผลงานของนักคณิตศาสตร์ Georg Kantor ที่ทุกอย่างเข้าที่เข้าทางตามกาลเวลา เขาพิสูจน์ว่ามีเซตอนันต์จำนวนอนันต์ และฟิลด์ R นั้นมากกว่าฟิลด์ N แม้ว่าทั้งคู่จะไม่มีที่สิ้นสุด ในช่วงกลางของศตวรรษที่ 19 ความคิดของเขาถูกเรียกว่าเรื่องไร้สาระและเป็นอาชญากรรมต่อศีลคลาสสิกที่ไม่สั่นคลอน แต่เวลาทำให้ทุกอย่างเข้าที่
คุณสมบัติพื้นฐานของสนาม R
จำนวนจริงไม่เพียงมีคุณสมบัติเหมือนกับเซตย่อยที่รวมอยู่ในตัวเลขเท่านั้น แต่ยังเสริมด้วยส่วนอื่นๆ ด้วยเนื่องจากขนาดขององค์ประกอบ:
- ศูนย์มีอยู่และเป็นของฟิลด์ R. c + 0=c สำหรับ c ใดๆ จาก R.
- ศูนย์มีอยู่และเป็นของฟิลด์ R. c x 0=0 สำหรับ c ใด ๆ จาก R.
- ความสัมพันธ์ c: d สำหรับ d ≠ 0 มีอยู่และใช้ได้สำหรับ c, d จาก R.
- ช่อง R ได้รับคำสั่ง นั่นคือ ถ้า c ≦ d d ≦ c แล้ว c=d สำหรับ c ใดๆ d จาก R
- การเติมในฟิลด์ R เป็นการสับเปลี่ยน เช่น c + d=d + c สำหรับ c, d จาก R
- การคูณในสนาม R เป็นการสับเปลี่ยน เช่น c x d=d x c สำหรับ c, d จาก R
- เพิ่มเติมในฟิลด์ R คือการเชื่อมโยง เช่น (c + d) + f=c + (d + f) สำหรับ c, d, f จาก R.
- การคูณในสนาม R เป็นความสัมพันธ์ เช่น (c x d) x f=c x (d x f) สำหรับ c, d, f จาก R
- สำหรับทุกตัวเลขในฟิลด์ R จะมีค่าตรงข้าม เช่น c + (-c)=0 โดยที่ c, -c มาจาก R
- สำหรับแต่ละหมายเลขจากฟิลด์ R จะมีการผกผันของมัน เช่น c x c-1 =1 โดยที่ c, c-1 จากอาร์
- หน่วยนี้มีอยู่แล้วและเป็นของ R ดังนั้น c x 1=c สำหรับ c ใดๆ จาก R
- กฎหมายการจัดจำหน่ายถูกต้อง ดังนั้น c x (d + f)=c x d + c x f สำหรับ c, d, f จาก R
- ในสนาม R ศูนย์ไม่เท่ากับหนึ่ง
- ช่อง R เป็นสกรรมกริยา: ถ้า c ≦ d, d ≦ f แล้ว c ≦ f สำหรับ c, d, f จาก R.
- ในฟิลด์ R ลำดับและการบวกที่เกี่ยวข้องกัน: ถ้า c ≦ d แล้ว c + f ≦ d + f สำหรับ c, d, f จาก R
- ในช่อง R ลำดับและการคูณสัมพันธ์กัน: ถ้า 0 ≦ c, 0 ≦ d แล้ว 0 ≦ c x d สำหรับ c ใดๆ, d จาก R
- ทั้งจำนวนจริงลบและบวกเป็นจำนวนต่อเนื่อง นั่นคือ สำหรับ c, d จาก R ใดๆ จะมี f จาก R ที่ c ≦ f ≦ d.
โมดูลในสนาม R
จำนวนจริงรวมโมดูลัส
แสดงเป็น |f| สำหรับ f จาก R. |f|=f ถ้า 0 ≦ f และ |f|=-f ถ้า 0 > ฉ หากเราถือว่าโมดูลัสเป็นปริมาณเรขาคณิต ก็จะเป็นระยะทางที่เดินทาง ไม่สำคัญว่าคุณจะ "ผ่าน" ศูนย์เป็นลบหรือส่งต่อไปยังบวก
จำนวนเชิงซ้อนและจำนวนจริง อะไรคือความเหมือนและความแตกต่างคืออะไร
โดยขนาดใหญ่ จำนวนเชิงซ้อนและจำนวนจริงเป็นหนึ่งเดียวกัน ยกเว้นว่าหน่วยจินตภาพ i ซึ่งกำลังสองคือ -1 องค์ประกอบของฟิลด์ R และ C สามารถแสดงเป็นสูตรต่อไปนี้:
c=d + f x i โดยที่ d, f อยู่ในสนาม R และ i เป็นหน่วยจินตภาพ
ในการรับ c จาก R ในกรณีนี้ f ถูกตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ นั่นคือ เหลือเพียงส่วนจริงของตัวเลขเท่านั้น เนื่องจากฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนมีคุณสมบัติชุดเดียวกันกับฟิลด์ของจำนวนจริง f x i=0 ถ้า f=0.
เกี่ยวกับความแตกต่างในทางปฏิบัติ เช่น ในฟิลด์ R สมการกำลังสองจะไม่ถูกแก้ไขหากการจำแนกเป็นลบ ในขณะที่ฟิลด์ C ไม่ได้กำหนดข้อจำกัดดังกล่าวเนื่องจากมีการแนะนำหน่วยจินตภาพ i.
ผลลัพธ์
"อิฐ" ของสัจพจน์และสมมติฐานที่คณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากข้อมูลที่เพิ่มขึ้นและการแนะนำทฤษฎีใหม่จึงมีการวาง "อิฐ" ต่อไปนี้ไว้ในบางส่วนซึ่งในอนาคตจะกลายเป็นพื้นฐานสำหรับขั้นตอนต่อไป ตัวอย่างเช่น ตัวเลขธรรมชาติแม้ว่าจะเป็นส่วนย่อยของสนามจริง R ก็จะไม่สูญเสียความเกี่ยวข้อง มันขึ้นอยู่กับพวกเขาที่เลขคณิตพื้นฐานทั้งหมดเป็นพื้นฐานซึ่งความรู้ของมนุษย์เกี่ยวกับโลกเริ่มต้น
จากมุมมองเชิงปฏิบัติ ตัวเลขจริงจะดูเหมือนเส้นตรง คุณสามารถเลือกทิศทางกำหนดจุดเริ่มต้นและขั้นตอนได้ เส้นตรงประกอบด้วยจุดจำนวนอนันต์ ซึ่งแต่ละจุดสอดคล้องกับจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียว ไม่ว่าจะมีเหตุผลหรือไม่ก็ตาม เป็นที่ชัดเจนจากคำอธิบายที่เรากำลังพูดถึงแนวคิดที่มีการสร้างทั้งคณิตศาสตร์โดยทั่วไปและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไปโดยเฉพาะ