ในการพิจารณาความขนานและความตั้งฉากของระนาบ ตลอดจนการคำนวณระยะทางระหว่างวัตถุเรขาคณิตเหล่านี้ จะสะดวกที่จะใช้ฟังก์ชันตัวเลขอย่างใดอย่างหนึ่งหรืออย่างอื่น โจทย์ข้อใดสะดวกที่จะใช้สมการระนาบเป็นเซกเมนต์ ในบทความนี้เราจะมาดูว่ามันคืออะไรและใช้งานจริงได้อย่างไร
สมการในส่วนของเส้นตรงคืออะไร
เครื่องบินสามารถกำหนดในพื้นที่ 3 มิติได้หลายวิธี ในบทความนี้จะกล่าวถึงบางส่วนในขณะที่แก้ปัญหาประเภทต่างๆ ในที่นี้เราจะให้คำอธิบายโดยละเอียดของสมการในส่วนของระนาบ โดยทั่วไปจะมีรูปแบบต่อไปนี้:
x/p + y/q + z/r=1.
โดยที่สัญลักษณ์ p, q, r หมายถึงตัวเลขเฉพาะบางตัว สมการนี้สามารถแปลเป็นนิพจน์ทั่วไปและฟังก์ชันตัวเลขในรูปแบบอื่นๆ สำหรับระนาบได้อย่างง่ายดาย
ความสะดวกในการเขียนสมการในส่วนต่างๆ อยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่ามันประกอบด้วยพิกัดที่ชัดเจนของจุดตัดของระนาบที่มีแกนพิกัดตั้งฉาก บนแกน xเทียบกับจุดเริ่มต้น เครื่องบินตัดส่วนของความยาว p บนแกน y - เท่ากับ q บน z - ของความยาว r
หากตัวแปรใดในสามตัวแปรไม่มีอยู่ในสมการ แสดงว่าระนาบไม่ผ่านแกนที่สอดคล้องกัน (นักคณิตศาสตร์บอกว่ามันตัดที่อนันต์)
ต่อไป ต่อไปนี้คือปัญหาที่เราจะแสดงวิธีทำงานกับสมการนี้
การสื่อสารทั่วไปและในส่วนของสมการ
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเครื่องบินได้รับจากความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
2x - 3y + z - 6=0.
จำเป็นต้องเขียนสมการทั่วไปนี้ของระนาบออกเป็นส่วนๆ
เมื่อเกิดปัญหาที่คล้ายคลึงกัน คุณต้องปฏิบัติตามเทคนิคนี้: เราย้ายเทอมฟรีไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน จากนั้นเราหารสมการทั้งหมดด้วยเทอมนี้ พยายามอธิบายในรูปแบบที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า เรามี:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
เราได้รับในส่วนสมการของระนาบ, ให้ในขั้นต้นในรูปแบบทั่วไป. สังเกตได้ว่าระนาบตัดส่วนที่มีความยาว 3, 2 และ 6 สำหรับแกน x, y และ z ตามลำดับ แกน y ตัดระนาบในพื้นที่พิกัดเชิงลบ
เมื่อวาดสมการในกลุ่มต่างๆ สิ่งสำคัญคือตัวแปรทั้งหมดนำหน้าด้วยเครื่องหมาย "+" เฉพาะในกรณีนี้ ตัวเลขที่แบ่งตัวแปรนี้จะแสดงพิกัดที่ถูกตัดบนแกน
เวกเตอร์ปกติแล้วชี้ไปที่เครื่องบิน
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าระนาบบางลำมีเวกเตอร์ทิศทาง (3; 0; -1) เป็นที่รู้จักกันว่าผ่านจุด (1; 1; 1) สำหรับระนาบนี้ ให้เขียนสมการเป็นเซ็กเมนต์
เพื่อแก้ปัญหานี้ ก่อนอื่นคุณควรใช้รูปร่างทั่วไปสำหรับวัตถุเรขาคณิตสองมิตินี้ แบบฟอร์มทั่วไปเขียนเป็น:
Ax + By + Cz + D=0.
สามสัมประสิทธิ์แรกนี่คือพิกัดของเวกเตอร์ไกด์ ซึ่งระบุไว้ในคำสั่งปัญหา นั่นคือ:
A=3;
B=0;
C=-1.
มันยังคงที่จะหาคำอิสระ D. สามารถกำหนดได้โดยสูตรต่อไปนี้:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
โดยที่ค่าพิกัดที่มีดัชนี 1 ตรงกับพิกัดของจุดที่เป็นของระนาบ เราแทนที่ค่าของพวกเขาจากเงื่อนไขของปัญหา เราได้รับ:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
ตอนนี้คุณสามารถเขียนสมการเต็ม:
3x - z - 2=0.
เทคนิคในการแปลงนิพจน์นี้เป็นสมการในส่วนของระนาบได้แสดงให้เห็นแล้วข้างต้น นำไปใช้:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
ได้รับคำตอบของปัญหาแล้ว โปรดทราบว่าระนาบนี้ตัดเฉพาะแกน x และ z สำหรับ y มันขนานกัน
เส้นตรงสองเส้นที่กำหนดเครื่องบิน
จากหลักสูตรเรขาคณิตเชิงพื้นที่ นักเรียนทุกคนรู้ว่าเส้นตรงสองเส้นกำหนดระนาบโดยไม่ซ้ำกันพื้นที่สามมิติ มาแก้ปัญหาที่คล้ายกันกันเถอะ
รู้จักสมการสองเส้น:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบเป็นส่วน ๆ โดยลากผ่านเส้นเหล่านี้
เนื่องจากทั้งสองบรรทัดต้องอยู่ในระนาบ นี่หมายความว่าเวกเตอร์ (ไกด์) จะต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ (ไกด์) ของเครื่องบิน ในเวลาเดียวกัน เป็นที่ทราบกันดีว่าผลคูณเวกเตอร์ของสองส่วนโดยตรงโดยพลการให้ผลลัพธ์ในรูปแบบของพิกัดที่สาม ซึ่งตั้งฉากกับสองส่วนดั้งเดิม จากคุณสมบัตินี้ เราได้รับพิกัดของเวกเตอร์ปกติไปยังระนาบที่ต้องการ:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
เนื่องจากสามารถคูณด้วยจำนวนใด ๆ ก็ได้ ทำให้เกิดเซกเมนต์กำกับใหม่ขนานกับอันเดิม เราสามารถแทนที่เครื่องหมายของพิกัดที่ได้รับด้วยด้านตรงข้าม (คูณด้วย -1) เราจะได้:
(1; 2; 1).
เรารู้เวกเตอร์ทิศทางแล้ว มันยังคงใช้จุดใดจุดหนึ่งของเส้นตรงและวาดสมการทั่วไปของระนาบ:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
แปลความเท่าเทียมกันนี้เป็นนิพจน์ในส่วน เราจะได้:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
ดังนั้น เครื่องบินตัดทั้งสามแกนในพื้นที่บวกของระบบพิกัด
สามแต้มและเครื่องบิน
เหมือนเส้นตรงสองเส้น จุดสามจุดกำหนดระนาบที่ไม่ซ้ำกันในพื้นที่สามมิติ เราเขียนสมการที่สอดคล้องกันเป็นส่วน ๆ หากทราบพิกัดต่อไปนี้ของจุดที่อยู่บนระนาบ:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
มาทำสิ่งต่อไปนี้กัน: คำนวณพิกัดของเวกเตอร์สองอันที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้ จากนั้นหาเวกเตอร์ n¯ ปกติกับระนาบโดยการคำนวณผลคูณของเซกเมนต์กำกับที่พบ เราได้:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6)
นำจุด P มาเป็นตัวอย่าง เขียนสมการระนาบ:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 หรือ z=0.
เราได้นิพจน์ง่ายๆ ที่สอดคล้องกับระนาบ xy ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด ไม่สามารถเขียนเป็นส่วนๆ ได้ เนื่องจากแกน x และ y เป็นของระนาบ และความยาวของส่วนที่ตัดบนแกน z เป็นศูนย์ (จุด (0; 0; 0) เป็นของระนาบ)
