วิธีหาผลคูณของเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ ผลคูณสเกลาร์ของเมทริกซ์ ผลคูณของเมทริกซ์สามตัว

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

Matrices (ตารางที่มีองค์ประกอบตัวเลข) สามารถใช้สำหรับการคำนวณต่างๆ บางส่วนเป็นการคูณด้วยจำนวน, เวกเตอร์, เมทริกซ์อื่น, เมทริกซ์หลายตัว สินค้ามีบางครั้งที่ไม่ถูกต้อง ผลลัพธ์ที่ผิดพลาดเป็นผลมาจากการเพิกเฉยต่อกฎสำหรับการดำเนินการคำนวณ มาดูวิธีการคูณกัน

เมทริกซ์และตัวเลข

เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด - คูณตารางด้วยตัวเลขด้วยค่าเฉพาะ ตัวอย่างเช่น เรามีเมทริกซ์ A ที่มีองค์ประกอบ a_ij (i คือหมายเลขแถว และ j คือหมายเลขคอลัมน์) และหมายเลข e ผลคูณของเมทริกซ์ด้วยจำนวน e จะเป็นเมทริกซ์ B ที่มีองค์ประกอบ b_ij ซึ่งพบโดยสูตร:

b_ij=e × a_ij.

T. e. เพื่อให้ได้องค์ประกอบ b₁₁ คุณต้องนำองค์ประกอบนั้นมาใช้ a₁₁ แล้วคูณด้วยจำนวนที่ต้องการ เพื่อให้ได้ b₁₂ จำเป็นต้องค้นหาผลคูณขององค์ประกอบ a₁₂ และหมายเลข e เป็นต้น

มาไขปัญหาข้อที่ 1 ที่แสดงในรูปกันเถอะ ในการรับเมทริกซ์ B เพียงแค่คูณองค์ประกอบจาก A ด้วย 3:

1. a₁₁ × 3=18 เราเขียนค่านี้ลงในเมทริกซ์ B ตรงตำแหน่งที่คอลัมน์ที่ 1 และแถวที่ 1 ตัดกัน
2. a₂₁ × 3=15 เราได้องค์ประกอบ b₂₁.
3. a₁₂ × 3=-6. เราได้รับองค์ประกอบ b₁₂ เราเขียนมันลงในเมทริกซ์ B ตรงตำแหน่งที่คอลัมน์ 2 และแถว 1 ตัดกัน
4. a₂₂ × 3=9 ผลลัพธ์นี้คือองค์ประกอบ b₂₂.
5. a₁₃ × 3=12. ใส่ตัวเลขนี้ลงในเมทริกซ์แทนที่องค์ประกอบ b₁₃.
6. a₂₃ × 3=-3. หมายเลขสุดท้ายที่ได้รับคือองค์ประกอบ b₂₃.

ดังนั้นเราจึงได้อาร์เรย์สี่เหลี่ยมที่มีองค์ประกอบตัวเลข

18	–6	12
15	9	–3

เวกเตอร์และเงื่อนไขการมีอยู่ของผลคูณของเมทริกซ์

ในทางคณิตศาสตร์ มีสิ่งที่เรียกว่า "เวกเตอร์" คำนี้หมายถึงชุดของค่าที่เรียงลำดับจาก a₁ ถึง a พวกมันถูกเรียกว่าพิกัดพื้นที่เวกเตอร์และเขียนเป็นคอลัมน์ นอกจากนี้ยังมีคำว่า "เวกเตอร์ทรานสโพส" ส่วนประกอบของมันถูกจัดเรียงเป็นสตริง

เวกเตอร์สามารถเรียกว่าเมทริกซ์:

• เวกเตอร์คอลัมน์เป็นเมทริกซ์ที่สร้างจากคอลัมน์เดียว
• เวกเตอร์แถวเป็นเมทริกซ์ที่มีเพียงแถวเดียว

เมื่อเสร็จแล้วเหนือเมทริกซ์ของการดำเนินการคูณ สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่ามีเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของผลิตภัณฑ์ การคำนวณ A × B สามารถทำได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ในตาราง A เท่ากับจำนวนแถวในตาราง B เมทริกซ์ผลลัพธ์ที่ได้จากการคำนวณจะมีจำนวนแถวในตาราง A และจำนวนคอลัมน์เสมอ ในตาราง B.

เมื่อคูณ ไม่แนะนำให้จัดเรียงเมทริกซ์ใหม่ (ตัวคูณ) ผลิตภัณฑ์ของพวกเขามักจะไม่สอดคล้องกับกฎการคูณ (การกระจัด) ของการคูณเช่น ผลลัพธ์ของการดำเนินการ A × B ไม่เท่ากับผลลัพธ์ของการดำเนินการ B × A คุณลักษณะนี้เรียกว่าการไม่เปลี่ยนรูปของผลิตภัณฑ์ของ เมทริกซ์ ในบางกรณี ผลลัพธ์ของการคูณ A × B จะเท่ากับผลลัพธ์ของการคูณ B × A กล่าวคือ ผลคูณคือสับเปลี่ยน เมทริกซ์ที่ความเท่าเทียมกัน A × B=B × A เรียกว่าเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน ดูตัวอย่างของตารางดังกล่าวด้านล่าง

การคูณด้วยเวกเตอร์คอลัมน์

เมื่อคูณเมทริกซ์ด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ เราต้องคำนึงถึงเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของผลิตภัณฑ์ด้วย จำนวนคอลัมน์ (n) ในตารางต้องตรงกับจำนวนพิกัดที่ประกอบเป็นเวกเตอร์ ผลลัพธ์ของการคำนวณคือเวกเตอร์ที่แปลงแล้ว จำนวนพิกัดเท่ากับจำนวนเส้น (m) จากตาราง

พิกัดของเวกเตอร์ y คำนวณอย่างไรถ้ามีเมทริกซ์ A และเวกเตอร์ x สำหรับการคำนวณสร้างสูตร:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

…………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

โดยที่ x₁, …, x คือพิกัดจากเวกเตอร์ x, m คือจำนวนแถวในเมทริกซ์และจำนวน ของพิกัดในเวกเตอร์ y ใหม่ n คือจำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์และจำนวนพิกัดในเวกเตอร์ x a₁₁, a_{12, …, a}mn– องค์ประกอบของเมทริกซ์ A.

ดังนั้น เพื่อให้ได้องค์ประกอบที่ i ของเวกเตอร์ใหม่ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์จึงถูกดำเนินการ เวกเตอร์แถวที่ i นำมาจากเมทริกซ์ A และคูณด้วยเวกเตอร์ x ที่มีอยู่

มาแก้ปัญหากัน 2. คุณสามารถหาผลคูณของเมทริกซ์กับเวกเตอร์ได้เพราะ A มี 3 คอลัมน์ และ x ประกอบด้วย 3 พิกัด เป็นผลให้เราควรได้เวกเตอร์คอลัมน์ที่มี 4 พิกัด ลองใช้สูตรข้างต้น:

1. คำนวณ y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4) ค่าสุดท้ายคือ 2.
2. คำนวณ y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4) ตอนคำนวณจะได้ 0
3. คำนวณ y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4) ผลรวมของผลิตภัณฑ์จากปัจจัยที่ระบุคือ 6.
4. คำนวณ y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4) พิกัดคือ -8.

การคูณเวกเตอร์เมทริกซ์แถว

คุณไม่สามารถคูณเมทริกซ์ที่มีหลายคอลัมน์ด้วยเวกเตอร์แถวได้ ในกรณีเช่นนี้ เงื่อนไขการมีอยู่ของงานไม่เป็นที่พอใจ แต่การคูณเวกเตอร์แถวด้วยเมทริกซ์นั้นเป็นไปได้ นี้การคำนวณจะดำเนินการเมื่อจำนวนพิกัดในเวกเตอร์และจำนวนแถวในตารางตรงกัน ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์และเมทริกซ์คือเวกเตอร์แถวใหม่ จำนวนพิกัดต้องเท่ากับจำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์

การคำนวณพิกัดแรกของเวกเตอร์ใหม่เกี่ยวข้องกับการคูณเวกเตอร์แถวและเวกเตอร์คอลัมน์แรกจากตาราง พิกัดที่สองคำนวณในลักษณะเดียวกัน แต่แทนที่จะใช้เวกเตอร์คอลัมน์แรก จะใช้เวกเตอร์ของคอลัมน์ที่สองแทน นี่คือสูตรทั่วไปสำหรับการคำนวณพิกัด:

y_k=a_1kx1_{+ a}2k_x2 _{+ … + a}mk_x m,

โดยที่ y_k คือพิกัดจากเวกเตอร์ y (k อยู่ระหว่าง 1 ถึง n) m คือจำนวนแถวในเมทริกซ์และจำนวนพิกัด ในเวกเตอร์ x n คือจำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์และจำนวนพิกัดในเวกเตอร์ y a ที่มีดัชนีตัวอักษรและตัวเลขเป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ A

ผลคูณของเมทริกซ์สี่เหลี่ยม

การคำนวณนี้อาจดูซับซ้อน อย่างไรก็ตามการคูณนั้นทำได้ง่าย เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ ผลคูณของเมทริกซ์ A ที่มี m แถวและ n คอลัมน์ และเมทริกซ์ B ที่มี n แถวและคอลัมน์ p คือเมทริกซ์ C ที่มี m แถวและคอลัมน์ p โดยที่องค์ประกอบ c_ij คือ ผลรวมของผลิตภัณฑ์ในแถวที่ i- จากตาราง A และคอลัมน์ที่ j จากตาราง B ในแง่ที่ง่ายกว่า องค์ประกอบ c_ij เป็นผลคูณของสเกลาร์ของแถวที่ i เวกเตอร์จากตาราง A และเวกเตอร์คอลัมน์ที่ j จากตาราง B

ตอนนี้ ในทางปฏิบัติ มาลองคิดกันว่าจะหาผลคูณของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมได้อย่างไร มาแก้ปัญหาข้อที่ 3 กัน เงื่อนไขการมีอยู่ของผลิตภัณฑ์เป็นที่พอใจ มาเริ่มคำนวณองค์ประกอบกัน c_ij:

1. Matrix C จะมี 2 แถว 3 คอลัมน์
2. คำนวณองค์ประกอบ c₁₁ ในการทำเช่นนี้ เราทำผลคูณสเกลาร์ของแถวที่ 1 จากเมทริกซ์ A และคอลัมน์ที่ 1 จากเมทริกซ์ B c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. จากนั้นเราก็ดำเนินการในลักษณะเดียวกัน โดยเปลี่ยนเฉพาะแถว คอลัมน์ (ขึ้นอยู่กับดัชนีองค์ประกอบ)
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

มีการคำนวณองค์ประกอบ ตอนนี้เหลือเพียงการสร้างบล็อกสี่เหลี่ยมของตัวเลขที่ได้รับ

16	12	9
31	18	36

การคูณเมทริกซ์สามตัว: ส่วนทางทฤษฎี

หาผลคูณของเมทริกซ์สามตัวได้ไหม การคำนวณนี้เป็นไปได้ ผลลัพธ์สามารถรับได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น มีตารางสี่เหลี่ยม 3 ตาราง (ในลำดับเดียวกัน) - A, B และ C ในการคำนวณผลิตภัณฑ์ คุณสามารถ:

1. คูณ A และ B ก่อน แล้วคูณผลลัพธ์ด้วย C
2. ขั้นแรกให้หาผลคูณของ B และ C จากนั้นคูณเมทริกซ์ A ด้วยผลลัพธ์

ถ้าคุณต้องการคูณเมทริกซ์สี่เหลี่ยม ก่อนอื่นคุณต้องแน่ใจว่าการคำนวณนี้เป็นไปได้ ควรมีผลิตภัณฑ์ A × B และ B × C

การคูณแบบเพิ่มหน่วยไม่ผิด มีบางอย่างเช่น "ความเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์" คำนี้หมายถึงความเท่าเทียมกัน (A × B) × C=A × (B × C)

ฝึกการคูณสามเมทริกซ์

เมทริกซ์สี่เหลี่ยม

เริ่มด้วยการคูณเมทริกซ์สี่เหลี่ยมเล็ก ๆ รูปด้านล่างแสดงปัญหาหมายเลข 4 ซึ่งเราต้องแก้ไข

เราจะใช้คุณสมบัติการเชื่อมโยง อันดับแรก เราคูณ A กับ B หรือ B และ C เราจำได้เพียงสิ่งเดียวเท่านั้น: คุณไม่สามารถสลับตัวประกอบ นั่นคือ คุณไม่สามารถคูณ B × A หรือ C × B ได้ ด้วยการคูณนี้ เราจะได้ ผลลัพธ์ที่ผิดพลาด

ความคืบหน้าของการตัดสินใจ

ขั้นตอนที่หนึ่ง. ในการหาผลคูณทั่วไป ก่อนอื่นเราต้องคูณ A ด้วย B เมื่อคูณเมทริกซ์สองตัว เราจะได้รับคำแนะนำจากกฎที่ระบุไว้ข้างต้น ดังนั้นผลลัพธ์ของการคูณ A และ B จะเป็นเมทริกซ์ D ที่มี 2 แถวและ 2 คอลัมน์ นั่นคือ อาร์เรย์สี่เหลี่ยมจะมี 4 องค์ประกอบ มาคำนวณกัน:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

ผลกลางพร้อม

30	10
15	16

ขั้นตอนที่สอง. ทีนี้ลองคูณเมทริกซ์ D กับเมทริกซ์ C กัน ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจตุรัส G ที่มี 2 แถวและ 2 คอลัมน์ คำนวณองค์ประกอบ:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

ดังนั้น ผลคูณของเมทริกซ์กำลังสองคือตาราง G ที่มีองค์ประกอบจากการคำนวณ

250	180
136	123

เมทริกซ์สี่เหลี่ยม

รูปด้านล่างแสดงปัญหาหมายเลข 5 จำเป็นต้องคูณเมทริกซ์สี่เหลี่ยมแล้วหาทางแก้ไข

เรามาดูกันว่าเงื่อนไขการมีอยู่ของผลิตภัณฑ์ A × B และ B × C เป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่ คำสั่งของเมทริกซ์ที่ระบุทำให้เราทำการคูณได้ มาเริ่มแก้ปัญหากันเถอะ

ความคืบหน้าของการตัดสินใจ

ขั้นตอนที่หนึ่ง. คูณ B ด้วย C เพื่อให้ได้ D เมทริกซ์ B มี 3 แถว 4 คอลัมน์ และเมทริกซ์ C มี 4 แถวและ 2 คอลัมน์ ซึ่งหมายความว่าเราจะได้เมทริกซ์ D ที่มี 3 แถว 2 คอลัมน์ มาคำนวณองค์ประกอบกัน ต่อไปนี้คือตัวอย่างการคำนวณ 2 ตัวอย่าง:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

เรายังคงแก้ปัญหาต่อไป จากการคำนวณเพิ่มเติม เราจะพบค่าd₂₁, d_{2 2, d}31 _{และ d}32_{. องค์ประกอบเหล่านี้คือ 0, 19, 1 และ 11 ตามลำดับ มาเขียนค่าที่พบลงในอาร์เรย์สี่เหลี่ยมกัน}

0	7
0	19
1	11

ขั้นตอนที่สอง. คูณ A ด้วย D เพื่อให้ได้เมทริกซ์สุดท้าย F ซึ่งจะมี 2 แถว 2 คอลัมน์ คำนวณองค์ประกอบ:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

เขียนอาร์เรย์สี่เหลี่ยม ซึ่งเป็นผลลัพธ์สุดท้ายของการคูณเมทริกซ์สามตัว

1	139
3	52

แนะนำตัวงาน

วัสดุที่ค่อนข้างเข้าใจยากคือผลคูณของเมทริกซ์โครเนคเกอร์ นอกจากนี้ยังมีชื่อเพิ่มเติม - งานโดยตรง คำนี้มีความหมายว่าอะไร? สมมติว่าเรามีตาราง A ของคำสั่ง m × n และตาราง B ของคำสั่ง p × q ผลคูณโดยตรงของเมทริกซ์ A และเมทริกซ์ B คือเมทริกซ์ของคำสั่ง mp × nq.

เรามีเมทริกซ์ 2 ตาราง A, B ซึ่งแสดงในภาพ อันแรกมี 2 คอลัมน์ 2 แถว และอันที่สองมี 3 คอลัมน์ 3 แถว เราจะเห็นว่าเมทริกซ์ที่เกิดจากผลิตภัณฑ์โดยตรงประกอบด้วย 6 แถวและจำนวนคอลัมน์เท่ากันทุกประการ

องค์ประกอบของเมทริกซ์ใหม่คำนวณในผลิตภัณฑ์โดยตรงอย่างไร การหาคำตอบสำหรับคำถามนี้ง่ายมากหากคุณวิเคราะห์รูปภาพ ขั้นแรกให้กรอกบรรทัดแรก นำองค์ประกอบแรกจากแถวบนสุดของตาราง A แล้วคูณด้วยองค์ประกอบของแถวแรกตามลำดับจากตาราง B. จากนั้น นำองค์ประกอบที่สองของแถวแรกของตาราง A แล้วคูณด้วยองค์ประกอบของแถวแรกของตาราง B ตามลำดับ หากต้องการเติมแถวที่สอง ให้นำองค์ประกอบแรกจากแถวแรกของตาราง A อีกครั้งและ คูณด้วยองค์ประกอบของแถวที่สองของตาราง B

เมทริกซ์สุดท้ายที่ได้จากผลิตภัณฑ์โดยตรงเรียกว่าเมทริกซ์บล็อก หากเราวิเคราะห์ตัวเลขอีกครั้งจะพบว่าผลลัพธ์ของเราประกอบด้วย 4 ช่วงตึก ทั้งหมดรวมถึงองค์ประกอบของเมทริกซ์ B นอกจากนี้ องค์ประกอบของแต่ละบล็อกจะถูกคูณด้วยองค์ประกอบเฉพาะของเมทริกซ์ A ในบล็อกแรก องค์ประกอบทั้งหมดจะถูกคูณด้วย a₁₁ ใน ที่สอง - โดย _{12ในสาม - ใน} 21 _{ในที่สี่ - ใน a}22.

ดีเทอร์มิแนนต์ผลิตภัณฑ์

เมื่อพิจารณาหัวข้อของการคูณเมทริกซ์ ควรพิจารณาคำศัพท์เช่น "ดีเทอร์มีแนนต์ของผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์" ดีเทอร์มีแนนต์คืออะไร? นี่คือคุณลักษณะที่สำคัญของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งเป็นค่าที่กำหนดให้กับเมทริกซ์นี้ การกำหนดตามตัวอักษรของดีเทอร์มีแนนต์คือ det.

สำหรับเมทริกซ์ A ที่ประกอบด้วยสองคอลัมน์และสองแถว ดีเทอร์มีแนนต์นั้นหาง่าย มีสูตรเล็ก ๆ ที่มีความแตกต่างระหว่างผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบเฉพาะ:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์สำหรับตารางอันดับสองกัน มีเมทริกซ์ A โดยที่ a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 และ a22_{=1. ในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ ให้ใช้สูตร:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

สำหรับเมทริกซ์ 3 × 3 ดีเทอร์มีแนนต์คำนวณโดยใช้สูตรที่ซับซ้อนกว่านี้ นำเสนอด้านล่างสำหรับเมทริกซ์ A:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃.

เพื่อจำสูตร เราได้มากับกฎสามเหลี่ยมซึ่งแสดงในรูปภาพ ขั้นแรกให้คูณองค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก ผลคูณขององค์ประกอบเหล่านั้นที่ระบุโดยมุมของสามเหลี่ยมที่มีด้านสีแดงจะถูกเพิ่มเข้าไปในค่าที่ได้รับ ถัดไป ผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมรองจะถูกลบออก และผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบเหล่านั้นที่ระบุโดยมุมของสามเหลี่ยมที่มีด้านสีน้ำเงินจะถูกลบออก

ตอนนี้ เรามาพูดถึงดีเทอร์มีแนนต์ของผลิตภัณฑ์เมทริกซ์กัน มีทฤษฎีบทหนึ่งที่บอกว่าตัวบ่งชี้นี้เท่ากับผลคูณของดีเทอร์มีแนนต์ของตารางตัวคูณ ลองตรวจสอบสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง เรามีเมทริกซ์ A ที่มีรายการ a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 และ a22_{=1 และเมทริกซ์ B ที่มีรายการ b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 และ b}22_{=2. ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์สำหรับเมทริกซ์ A และ B ผลคูณ A × B และดีเทอร์มีแนนต์ของผลิตภัณฑ์นี้}

ความคืบหน้าของการตัดสินใจ

ขั้นตอนที่หนึ่ง. คำนวณดีเทอร์มีแนนต์สำหรับ A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1 ต่อไป คำนวณดีเทอร์มีแนนต์สำหรับ B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

ขั้นตอนที่สอง. มาหากันผลิตภัณฑ์ A × B. แทนเมทริกซ์ใหม่ด้วยตัวอักษร C. คำนวณองค์ประกอบ:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

ขั้นตอนที่สาม. คำนวณดีเทอร์มีแนนต์สำหรับ C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3 เปรียบเทียบกับค่าที่ได้จากการคูณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิม ตัวเลขก็เหมือนกัน ทฤษฎีบทข้างต้นเป็นความจริง

อันดับสินค้า

อันดับของเมทริกซ์เป็นคุณลักษณะที่สะท้อนถึงจำนวนสูงสุดของแถวหรือคอลัมน์อิสระเชิงเส้น ในการคำนวณอันดับ การแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์จะดำเนินการ:

• การจัดเรียงใหม่ของสองแถวขนานกัน
• การคูณองค์ประกอบทั้งหมดของแถวบางแถวจากตารางด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
• การบวกองค์ประกอบของแถวหนึ่งขององค์ประกอบจากแถวอื่น คูณด้วยจำนวนเฉพาะ

หลังจากการแปลงเบื้องต้น ให้ดูที่จำนวนสตริงที่ไม่ใช่ศูนย์ จำนวนของพวกเขาคืออันดับของเมทริกซ์ พิจารณาตัวอย่างก่อนหน้านี้ มันนำเสนอ 2 เมทริกซ์: A ที่มีองค์ประกอบ a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 และ a₂₂ =1 และ B ที่มีองค์ประกอบ b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 และ b}22_{=2 เราจะใช้เมทริกซ์ C ที่ได้รับจากการคูณด้วย หากเราทำการแปลงเบื้องต้น จะไม่มีแถวศูนย์ในเมทริกซ์แบบง่าย ซึ่งหมายความว่าทั้งอันดับของตาราง A และอันดับของตาราง B และอันดับตาราง C คือ 2.}

ตอนนี้มาสนใจอันดับของผลคูณของเมทริกซ์กัน มีทฤษฎีบทหนึ่งที่บอกว่าอันดับของผลิตภัณฑ์ตารางที่มีองค์ประกอบตัวเลขไม่เกินอันดับของปัจจัยใด ๆ นี้สามารถพิสูจน์ได้ ให้ A เป็นเมทริกซ์ k × s และ B เป็นเมทริกซ์ขนาด s × m ผลคูณของ A และ B เท่ากับ C.

มาศึกษาภาพข้างบนกันนะครับ มันแสดงคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ C และสัญกรณ์แบบง่าย คอลัมน์นี้เป็นการรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ที่รวมอยู่ในเมทริกซ์ A ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพูดเกี่ยวกับคอลัมน์อื่นจากอาร์เรย์สี่เหลี่ยม C ได้ ดังนั้น สเปซย่อยที่เกิดจากเวกเตอร์คอลัมน์ของตาราง C จะอยู่ในสเปซย่อยที่เกิดจาก เวกเตอร์คอลัมน์ของตาราง A โดยสิ่งนี้ ดังนั้นขนาดของพื้นที่ย่อยหมายเลข 1 จะไม่เกินขนาดของพื้นที่ย่อยหมายเลข 2 ซึ่งหมายความว่าอันดับในคอลัมน์ของตาราง C ไม่เกินอันดับในคอลัมน์ของตาราง A เช่น r(C) ≦ r(A). หากเราโต้แย้งในลักษณะเดียวกัน เราก็สามารถแน่ใจได้ว่าแถวของเมทริกซ์ C เป็นการรวมเชิงเส้นของแถวของเมทริกซ์ B นี่แสดงถึงความไม่เท่าเทียมกัน r(C) ≦ r(B).

วิธีค้นหาผลคูณของเมทริกซ์เป็นหัวข้อที่ค่อนข้างซับซ้อน สามารถเข้าใจได้ง่าย แต่เพื่อให้บรรลุผลดังกล่าว คุณจะต้องใช้เวลามากในการท่องจำกฎและทฤษฎีที่มีอยู่ทั้งหมด