เมื่อศึกษาคุณสมบัติของสมการกำลังสอง มีการกำหนดข้อจำกัด - สำหรับ discriminant ที่น้อยกว่าศูนย์ ไม่มีทางแก้ไข มีการกำหนดทันทีว่าเรากำลังพูดถึงเซตของจำนวนจริง ความอยากรู้อยากเห็นของนักคณิตศาสตร์จะสนใจ - อะไรคือความลับที่อยู่ในประโยคเกี่ยวกับคุณค่าที่แท้จริง?
เมื่อเวลาผ่านไป นักคณิตศาสตร์ได้แนะนำแนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ค่าตามเงื่อนไขของรากที่สองของลบหนึ่งจะถูกนำมาเป็นหน่วย
ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์
ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์พัฒนาขึ้นตามลำดับ จากง่ายไปซับซ้อน มาดูกันว่าแนวคิดที่เรียกว่า "จำนวนเชิงซ้อน" เกิดขึ้นได้อย่างไรและทำไมจึงจำเป็น
จากกาลเวลา พื้นฐานของคณิตศาสตร์เป็นบัญชีปกติ นักวิจัยรู้เพียงชุดค่านิยมตามธรรมชาติเท่านั้น การบวกและการลบเป็นเรื่องง่าย เมื่อความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจมีความซับซ้อนมากขึ้น การคูณจึงเริ่มถูกนำมาใช้แทนการเพิ่มค่าเดียวกัน มีการดำเนินการย้อนกลับไปยังการคูณ - หาร
แนวคิดของจำนวนธรรมชาติจำกัดการใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหาการหารทั้งหมดในชุดค่าจำนวนเต็ม การทำงานกับเศษส่วนนำไปสู่แนวคิดเรื่องค่าตรรกยะก่อน แล้วจึงนำไปสู่ค่าอตรรกยะ หากมีเหตุผลเป็นไปได้ที่จะระบุตำแหน่งที่แน่นอนของจุดบนเส้นแล้วสำหรับอตรรกยะก็เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุจุดดังกล่าว คุณสามารถประมาณช่วงเวลาเท่านั้น การรวมกันของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะก่อให้เกิดเซตจริง ซึ่งสามารถแสดงเป็นเส้นตรงที่มีมาตราส่วนที่กำหนด แต่ละขั้นของเส้นนั้นเป็นจำนวนธรรมชาติ และระหว่างนั้นคือค่าตรรกยะและอตรรกยะ
ยุคคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีได้เริ่มต้นขึ้นแล้ว การพัฒนาดาราศาสตร์ กลศาสตร์ ฟิสิกส์ จำเป็นต้องมีการแก้สมการที่ซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ โดยทั่วไปจะพบรากของสมการกำลังสอง เมื่อแก้โจทย์พหุนามลูกบาศก์ที่ซับซ้อนมากขึ้น นักวิทยาศาสตร์พบข้อขัดแย้ง แนวคิดของรากที่สามจากค่าลบนั้นสมเหตุสมผล แต่สำหรับรากที่สอง จะทำให้เกิดความไม่แน่นอน ยิ่งไปกว่านั้น สมการกำลังสองเป็นเพียงกรณีพิเศษของลูกบาศก์หนึ่งเท่านั้น
ในปี ค.ศ. 1545 เจคาร์ดาโนชาวอิตาลีเสนอให้แนะนำแนวคิดเรื่องจำนวนจินตภาพ
ตัวเลขนี้คือรากที่สองของลบหนึ่ง ในที่สุดคำว่าจำนวนเชิงซ้อนก็เกิดขึ้นเพียงสามร้อยปีต่อมาในผลงานของ Gauss นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง เขาเสนอให้ขยายกฎของพีชคณิตเป็นจำนวนจินตภาพอย่างเป็นทางการ สายจริงขยายไปถึงเครื่องบิน โลกนี้กว้างใหญ่
แนวคิดพื้นฐาน
เรียกคืนฟังก์ชันจำนวนหนึ่งที่มีข้อจำกัดในชุดจริง:
- y=arcsin(x) กำหนดระหว่างค่าลบและค่าบวก 1.
- y=ln(x) ลอการิทึมทศนิยมเหมาะสมกับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวก
- รากที่สอง y=√x คำนวณเฉพาะสำหรับ x ≧ 0
Denoting i=√(-1) เราแนะนำแนวคิดดังกล่าวเป็นจำนวนจินตภาพ ซึ่งจะลบข้อจำกัดทั้งหมดออกจากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันข้างต้น นิพจน์เช่น y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) สมเหตุสมผลในบางพื้นที่ของจำนวนเชิงซ้อน
รูปแบบพีชคณิตสามารถเขียนเป็นนิพจน์ z=x + i×y บนเซตของค่า x และ y จริง และ i2 =-1.
แนวคิดใหม่นี้ลบข้อจำกัดทั้งหมดเกี่ยวกับการใช้ฟังก์ชันพีชคณิตและคล้ายกับกราฟของเส้นตรงในพิกัดของค่าจริงและค่าจินตภาพ
เครื่องบินคอมเพล็กซ์
รูปเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนช่วยให้เราแสดงคุณสมบัติได้หลายอย่าง บนแกน Re(z) เราทำเครื่องหมายค่า x จริง บน Im(z) - ค่าจินตภาพของ y จากนั้นจุด z บนระนาบจะแสดงค่าที่ซับซ้อนที่ต้องการ
คำจำกัดความ:
- Re(z) - แกนจริง
- Im(z) - หมายถึงแกนจินตภาพ
- z - จุดเงื่อนไขของจำนวนเชิงซ้อน
- เรียกค่าตัวเลขของความยาวของเวกเตอร์จากศูนย์ถึง zโมดูล
- แกนจริงและจินตภาพแบ่งระนาบออกเป็นสี่ส่วน ด้วยค่าบวกของพิกัด - ฉันไตรมาส เมื่ออาร์กิวเมนต์ของแกนจริงน้อยกว่า 0 และแกนจินตภาพมากกว่า 0 - II ควอเตอร์ เมื่อพิกัดเป็นลบ - ไตรมาสที่สาม ไตรมาสที่ 4 ที่แล้วประกอบด้วยค่าจริงบวกและค่าจินตภาพเชิงลบมากมาย
ดังนั้น บนระนาบที่มีค่าพิกัด x และ y เราสามารถมองเห็นจุดของจำนวนเชิงซ้อนได้เสมอ แนะนำตัวละคร i เพื่อแยกส่วนจริงออกจากส่วนจินตภาพ
คุณสมบัติ
- เมื่อค่าของอาร์กิวเมนต์จินตภาพเป็นศูนย์ เราก็จะได้ตัวเลข (z=x) ซึ่งอยู่บนแกนจริงและอยู่ในเซตของจริง
- กรณีพิเศษเมื่อค่าของอาร์กิวเมนต์จริงกลายเป็นศูนย์ นิพจน์ z=i×y จะสอดคล้องกับตำแหน่งของจุดบนแกนจินตภาพ
- รูปแบบทั่วไปของ z=x + i×y จะใช้สำหรับค่าที่ไม่เป็นศูนย์ของอาร์กิวเมนต์ ระบุตำแหน่งของจุดที่แสดงลักษณะจำนวนเชิงซ้อนในหนึ่งในสี่
สัญลักษณ์ตรีโกณมิติ
จำระบบพิกัดเชิงขั้วและนิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin และ cos เห็นได้ชัดว่าด้วยความช่วยเหลือของฟังก์ชันเหล่านี้ สามารถอธิบายตำแหน่งของจุดใดๆ บนเครื่องบินได้ การทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบความยาวของลำแสงโพลาร์และมุมเอียงไปยังแกนจริง
คำจำกัดความ. รายการของรูปแบบ ∣z ∣ คูณด้วยผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ cos(ϴ) และส่วนจินตภาพ i ×sin(ϴ) เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนตรีโกณมิติ นี่คือการกำหนดมุมเอียงไปยังแกนจริง
ϴ=arg(z) และ r=∣z∣ ความยาวลำแสง
จากคำจำกัดความและคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตร Moivre ที่สำคัญมากมีดังนี้:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × บาป(n × ϴ)).
การใช้สูตรนี้ จะสะดวกต่อการแก้สมการหลายระบบที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ ยิ่งเมื่อเกิดปัญหาการยกกำลังขึ้น
โมดูลและเฟส
เพื่อให้คำอธิบายของชุดที่ซับซ้อนสมบูรณ์ เราขอเสนอคำจำกัดความที่สำคัญสองคำ
เมื่อรู้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว ก็ง่ายที่จะคำนวณความยาวของลำแสงในระบบพิกัดเชิงขั้ว
r=∣z∣=√(x2 + y2) เครื่องหมายบนพื้นที่ที่ซับซ้อนเรียกว่า " โมดูล" และกำหนดระยะทางจาก 0 ถึงจุดบนเครื่องบิน
มุมเอียงของลำแสงเชิงซ้อนกับเส้นจริง ϴ โดยทั่วไปเรียกว่าเฟส
คำจำกัดความนี้แสดงว่าส่วนจริงและส่วนจินตภาพถูกอธิบายโดยใช้ฟังก์ชันแบบวนซ้ำ กล่าวคือ:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × บาป(ϴ);
ในทางกลับกัน เฟสเกี่ยวข้องกับค่าพีชคณิตผ่านสูตร:
ϴ=arctan(x / y) + µ การปรับแก้ µ ถูกนำมาใช้เพื่อพิจารณาระยะเวลาของฟังก์ชันเรขาคณิต
สูตรออยเลอร์
นักคณิตศาสตร์มักใช้รูปแบบเลขชี้กำลัง หมายเลขระนาบที่ซับซ้อนเขียนเป็นนิพจน์
z=r × ei×ϴ ซึ่งตามมาจากสูตรออยเลอร์
บันทึกนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายสำหรับการคำนวณปริมาณทางกายภาพในทางปฏิบัติ รูปแบบการนำเสนอในรูปแบบจำนวนเชิงซ้อนแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสะดวกเป็นพิเศษสำหรับการคำนวณทางวิศวกรรม ซึ่งจำเป็นต้องคำนวณวงจรด้วยกระแสไซน์ และจำเป็นต้องทราบค่าของอินทิกรัลของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด การคำนวณเองทำหน้าที่เป็นเครื่องมือในการออกแบบเครื่องจักรและกลไกต่างๆ
กำหนดการดำเนินการ
ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว กฎพีชคณิตทั้งหมดของการทำงานกับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์พื้นฐานใช้กับจำนวนเชิงซ้อน
ผลรวม
เมื่อเพิ่มค่าที่ซับซ้อน ส่วนจริงและส่วนจินตภาพก็ถูกเพิ่มเข้าไปด้วย
z=z1 + z2 โดยที่ z1 และ z2 - จำนวนเชิงซ้อนทั่วไป เปลี่ยนนิพจน์ หลังจากเปิดวงเล็บและทำให้สัญกรณ์ง่ายขึ้น เราจะได้อาร์กิวเมนต์ที่แท้จริง x=(x1 + x2) อาร์กิวเมนต์จินตภาพ y=(y 1 + y2).
บนกราฟ ดูเหมือนว่าการบวกเวกเตอร์สองตัว ตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานที่รู้จักกันดี
การลบ
ถือเป็นกรณีพิเศษของการบวก เมื่อจำนวนหนึ่งเป็นบวก อีกจำนวนหนึ่งเป็นค่าลบ นั่นคือ ตั้งอยู่ในไตรมาสกระจก สัญกรณ์พีชคณิตดูเหมือนความแตกต่างระหว่างส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
z=z1 - z2 หรือคำนึงถึงค่าของอาร์กิวเมนต์เช่นเดียวกับการบวก การดำเนินการ เราได้รับสำหรับค่าจริง x=(x1 - x2) และจินตภาพ y=(y1- y2).
การคูณบนระนาบเชิงซ้อน
เราใช้กฎสำหรับการทำงานกับพหุนาม เราได้สูตรแก้จำนวนเชิงซ้อน
ตามกฎพีชคณิตทั่วไป z=z1×z2 อธิบายแต่ละอาร์กิวเมนต์และแสดงรายการที่คล้ายกัน ส่วนจริงและจินตภาพสามารถเขียนได้ดังนี้:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
ถ้าเราใช้จำนวนเชิงซ้อนแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลจะสวยขึ้น
นิพจน์มีลักษณะดังนี้: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
ยิ่งไปกว่านั้น โมดูลจะถูกคูณและเพิ่มเฟส
ดิวิชั่น
เมื่อพิจารณาการดำเนินการของการหารเป็นผลผกผันของการคูณ เราได้นิพจน์อย่างง่ายในรูปแบบเลขชี้กำลัง การหารค่า z1 โดย z2 เป็นผลจากการแบ่งโมดูลและความแตกต่างของเฟส อย่างเป็นทางการ เมื่อใช้รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน จะมีลักษณะดังนี้:
z=z1 / z2 =r1 × e ผมϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
ในรูปของสัญกรณ์พีชคณิต การดำเนินการหารตัวเลขของระนาบเชิงซ้อนนั้นเขียนให้ซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย:
z=z1 / z2.
อธิบายอาร์กิวเมนต์และการแปลงพหุนาม หาค่าได้ง่ายx=x1 × x2 + y1 × y2ตามลำดับ y=x2 × y1 - x1 × y2 อย่างไรก็ตาม ภายในช่องว่างที่อธิบายไว้ นิพจน์นี้เหมาะสมถ้า z2 ≠ 0.
แตกราก
ทั้งหมดข้างต้นสามารถใช้ได้เมื่อกำหนดฟังก์ชันพีชคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้น - เพิ่มกำลังใด ๆ และผกผัน - แยกราก
โดยใช้แนวคิดทั่วไปของการเพิ่มกำลัง n เราได้คำจำกัดความ:
zn =(r × eiϴ).
ใช้คุณสมบัติทั่วไป เขียนใหม่เป็น:
zn =rn × eiϴ.
เราได้สูตรง่ายๆ ในการบวกเลขยกกำลัง
จากคำจำกัดความของระดับ เราได้รับผลลัพธ์ที่สำคัญมาก กำลังคู่ของหน่วยจินตภาพเสมอ 1 กำลังคี่ของหน่วยจินตภาพจะเป็น -1 เสมอ
ตอนนี้ มาศึกษาฟังก์ชันผกผัน - แยกรูทกัน
เพื่อความง่ายในการเขียน ลองใช้ n=2 รากที่สอง w ของค่าเชิงซ้อน z บนระนาบเชิงซ้อน C ถือเป็นนิพจน์ z=± ใช้ได้สำหรับอาร์กิวเมนต์จริงใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ ศูนย์. สำหรับ w ≦ 0 ไม่มีทางแก้
ลองดูสมการกำลังสองที่ง่ายที่สุด z2 =1. ใช้สูตรจำนวนเชิงซ้อน เขียนใหม่ r2 × eผม2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. จากบันทึกจะเห็นได้ว่า r2 =1 และ ϴ=0 ดังนั้น เรามีคำตอบเฉพาะที่เท่ากับ 1แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับแนวคิดที่ว่า z=-1 ก็เข้ากับคำจำกัดความของสแควร์รูทเช่นกัน
มาดูกันว่าเราไม่พิจารณาอะไร หากเราจำสัญกรณ์ตรีโกณมิติได้ เราก็คืนค่าคำสั่ง - ด้วยการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะในเฟส ϴ จำนวนเชิงซ้อนจะไม่เปลี่ยนแปลง ให้ p แทนค่าของคาบ, แล้วเราจะได้ r2 × ei2ϴ =ei(0+p) โดยที่ 2ϴ=0 + p หรือ ϴ=p / 2 ดังนั้น ei0 =1 และ eip/2 =-1. เราได้วิธีแก้ปัญหาที่สอง ซึ่งสอดคล้องกับความเข้าใจทั่วไปของสแควร์รูท
ดังนั้น ในการหารากของจำนวนเชิงซ้อนโดยพลการ เราจะทำตามขั้นตอน
- เขียนรูปแบบเลขชี้กำลัง w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk) k เป็นจำนวนเต็มตามอำเภอใจ
- หมายเลขที่ต้องการจะแสดงในรูปแบบออยเลอร์ z=r × eiϴ.
- ใช้คำจำกัดความทั่วไปของฟังก์ชันการแยกราก r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg( w) + pk).
- จากคุณสมบัติทั่วไปของความเท่าเทียมกันของโมดูลและอาร์กิวเมนต์ เราเขียน rn =∣w∣ และ nϴ=arg (w) + p×k.
- บันทึกสุดท้ายของรากของจำนวนเชิงซ้อนอธิบายโดยสูตร z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- หมายเหตุ. ค่าของ ∣w∣ ตามคำจำกัดความเป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้นรากของดีกรีใดๆ ก็สมเหตุสมผล
สนามและการผันคำกริยา
โดยสรุป เราให้คำจำกัดความสำคัญสองคำที่มีความสำคัญเพียงเล็กน้อยสำหรับการแก้ปัญหาประยุกต์ด้วยจำนวนเชิงซ้อน แต่จำเป็นสำหรับการพัฒนาทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ต่อไป
นิพจน์สำหรับการบวกและการคูณถูกกล่าวว่าเป็นสนามหากพวกมันตอบสนองสัจพจน์ขององค์ประกอบใด ๆ ของระนาบเชิงซ้อน z:
- ผลรวมเชิงซ้อนไม่เปลี่ยนจากการเปลี่ยนตำแหน่งของพจน์ที่ซับซ้อน
- คำสั่งนี้เป็นจริง - ในนิพจน์ที่ซับซ้อน ผลรวมของตัวเลขสองจำนวนใดๆ สามารถแทนที่ด้วยค่าของมันได้
- มีค่าเป็นกลาง 0 โดยที่ z + 0=0 + z=z เป็นจริง
- สำหรับ z ใด ๆ จะมีค่าตรงข้าม - z บวกกับที่ให้ศูนย์
- เมื่อเปลี่ยนตำแหน่งของปัจจัยเชิงซ้อน ผลิตภัณฑ์ที่ซับซ้อนจะไม่เปลี่ยนแปลง
- การคูณตัวเลขสองจำนวนใดๆ สามารถแทนที่ด้วยค่าของมันได้
- มีค่าเป็นกลาง 1 คูณโดยไม่เปลี่ยนจำนวนเชิงซ้อน
- สำหรับทุกๆ z ≠ 0 จะมีค่าผกผันของ z-1 ซึ่งคูณด้วย 1.
- การคูณผลรวมของตัวเลขสองจำนวนด้วยหนึ่งในสามนั้นเทียบเท่ากับการคูณแต่ละตัวด้วยตัวเลขนี้แล้วบวกผลลัพธ์
- 0 ≠ 1.
ตัวเลข z1 =x + i×y และ z2 =x - i×y เรียกว่า conjugate
ทฤษฎีบท. สำหรับการผันคำกริยา คำสั่งเป็นจริง:
- การผันของผลรวมเท่ากับผลรวมขององค์ประกอบคอนจูเกต
- คอนจูเกตของผลิตภัณฑ์คือผลิตภัณฑ์ของการผันคำกริยา
- การผันของการผันคำกริยาเท่ากับจำนวนตัวเอง
ในพีชคณิตทั่วไป คุณสมบัติดังกล่าวเรียกว่า automorphisms ของสนาม
ตัวอย่าง
ตามกฎและสูตรของจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนด คุณสามารถดำเนินการกับพวกมันได้อย่างง่ายดาย
มาดูตัวอย่างที่ง่ายที่สุดกัน
ปัญหาที่ 1. ใช้สมการ 3y +5 x i=15 - 7i หาค่า x และ y
ตัดสินใจ. จำคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อน จากนั้น 3y=15, 5x=-7 ดังนั้น x=-7 / 5, y=5.
งาน 2. คำนวณค่า 2 + i28 และ 1 + i135.
ตัดสินใจ. แน่นอน 28 เป็นจำนวนคู่ จากผลของการกำหนดจำนวนเชิงซ้อนในยกกำลังที่เรามี i28 =1 ซึ่งหมายความว่านิพจน์ 2 + i 28 =3. ค่าที่สอง i135 =-1 แล้ว 1 + i135 =0.
Task 3. คำนวณผลคูณของค่า 2 + 5i และ 4 + 3i.
ตัดสินใจ. จากคุณสมบัติทั่วไปของการคูณจำนวนเชิงซ้อน เราได้รับ (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20) ค่าใหม่จะเป็น -7 + 26i.
งาน 4. คำนวณรากของสมการ z3 =-i.
ตัดสินใจ. มีหลายวิธีในการหาจำนวนเชิงซ้อน ลองพิจารณาความเป็นไปได้อย่างหนึ่ง ตามคำจำกัดความ ∣ - i∣=1 เฟสของ -i คือ -p / 4 สมการเดิมสามารถเขียนใหม่เป็น r3ei3ϴ =e-p/4+pk จากที่ z=e-p / 12 + pk/3 สำหรับจำนวนเต็ม k.
ชุดสารละลายมีรูปแบบ (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
ทำไมเราต้องมีตัวเลขที่ซับซ้อน
ประวัติศาสตร์รู้ตัวอย่างมากมายเมื่อนักวิทยาศาสตร์ที่ทำงานเกี่ยวกับทฤษฎีไม่แม้แต่จะคิดถึงการนำผลลัพธ์ไปปฏิบัติจริง ประการแรก คณิตศาสตร์คือเกมแห่งจิตใจ การยึดมั่นในความสัมพันธ์แบบเหตุและผลอย่างเคร่งครัด โครงสร้างทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดถูกลดขนาดลงเพื่อแก้สมการปริพันธ์และอนุพันธ์ และในทางกลับกัน โดยการประมาณค่าบางส่วน จะได้รับการแก้ไขโดยการหารากของพหุนาม อันดับแรก เราจะพบกับความขัดแย้งของจำนวนจินตภาพ
นักวิทยาศาสตร์ธรรมชาติวิทยา, การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติอย่างสมบูรณ์, หันไปใช้คำตอบของสมการต่างๆ, ค้นพบความขัดแย้งทางคณิตศาสตร์ การตีความความขัดแย้งเหล่านี้นำไปสู่การค้นพบที่น่าอัศจรรย์อย่างยิ่ง ลักษณะคู่ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นตัวอย่างหนึ่ง ตัวเลขที่ซับซ้อนมีบทบาทสำคัญในการทำความเข้าใจคุณสมบัติของพวกมัน
ในที่สุดก็พบว่ามีการใช้งานจริงในด้านทัศนศาสตร์ วิทยุอิเล็กทรอนิกส์ พลังงาน และเทคโนโลยีอื่น ๆ อีกมากมาย อีกตัวอย่างหนึ่ง ยากที่จะเข้าใจปรากฏการณ์ทางกายภาพ ปฏิสสารถูกทำนายไว้ที่ปลายปากกา และหลายปีต่อมา ความพยายามที่จะสังเคราะห์ร่างกายก็เริ่มขึ้น
อย่าคิดว่ามีเพียงฟิสิกส์เท่านั้นที่มีสถานการณ์เช่นนี้ มีการค้นพบที่น่าสนใจไม่น้อยในสัตว์ป่า ในการสังเคราะห์โมเลกุลขนาดใหญ่ ระหว่างการศึกษาปัญญาประดิษฐ์ และทั้งหมดต้องขอบคุณการขยายตัวของจิตสำนึกของเราออกจากการบวกและการลบอย่างง่ายของค่าธรรมชาติ