หนึ่งในหัวข้อที่ยากและเข้าใจยากที่สุดของวิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยคือการบูรณาการและแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ คุณจำเป็นต้องรู้และเข้าใจแนวคิดเหล่านี้ตลอดจนสามารถนำไปใช้ได้ สาขาวิชาเทคนิคของมหาวิทยาลัยหลายแห่งเชื่อมโยงกับดิฟเฟอเรนเชียลและปริพันธ์
ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับสมการ
สมการเหล่านี้เป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดในระบบการศึกษา สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระ ฟังก์ชันที่จะหา และอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นกับตัวแปรที่ถือว่าเป็นอิสระ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สำหรับการหาฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งเรียกว่าสามัญ หากฟังก์ชันที่ต้องการขึ้นอยู่กับตัวแปรหลายตัว ฟังก์ชันหนึ่งจะพูดถึงสมการอนุพันธ์ย่อย
อันที่จริง การหาคำตอบของสมการนั้นมาจากการรวมเข้าด้วยกัน และวิธีการแก้ไขถูกกำหนดโดยประเภทของสมการ
สมการลำดับแรก
สมการอนุพันธ์อันดับแรกคือสมการที่สามารถอธิบายตัวแปร ฟังก์ชันที่ต้องการ และอนุพันธ์อันดับแรกของสมการได้ สมการดังกล่าวมีสามรูปแบบ: ชัดแจ้ง โดยปริยาย อนุพันธ์
แนวคิดที่จำเป็นในการแก้ปัญหา
เงื่อนไขเริ่มต้น - การตั้งค่าของฟังก์ชันที่ต้องการสำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปรที่เป็นอิสระ
คำตอบของสมการอนุพันธ์ - ฟังก์ชันอนุพันธ์ใดๆ ที่ถูกแทนที่ด้วยสมการดั้งเดิมทุกประการ ทำให้มันมีค่าเท่ากัน คำตอบที่ได้ซึ่งไม่ชัดเจนคืออินทิกรัลของสมการ
คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์คือฟังก์ชัน y=y(x;C) ซึ่งสามารถตอบสนองการตัดสินต่อไปนี้:
- A ฟังก์ชันสามารถมีค่าคงที่โดยพลการได้เพียงตัวเดียวเท่านั้น С.
- ฟังก์ชันที่ได้จะต้องเป็นคำตอบของสมการสำหรับค่าคงที่ใดๆ ของค่าคงที่ใดๆ
- ด้วยเงื่อนไขตั้งต้นที่กำหนด ค่าคงที่แบบใดแบบหนึ่งสามารถกำหนดได้ในลักษณะเฉพาะ เพื่อให้ผลลัพธ์ที่ได้จะสอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่ให้ไว้
ในทางปฏิบัติ มักใช้ปัญหา Cauchy - ค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เฉพาะเจาะจงและสามารถเปรียบเทียบกับเงื่อนไขที่ตั้งไว้ตอนต้นได้
ทฤษฎีบทของ Cauchy เป็นทฤษฎีบทที่เน้นการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบเฉพาะในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
สัมผัสทางเรขาคณิต:
- วิธีแก้ปัญหาทั่วไป y=y(x;C)สมการคือจำนวนเส้นโค้งอินทิกรัลทั้งหมด
- แคลคูลัสส่วนต่างทำให้คุณสามารถเชื่อมพิกัดของจุดในระนาบ XOY และเส้นสัมผัสที่วาดกับเส้นโค้งปริพันธ์
- การตั้งเงื่อนไขเบื้องต้นหมายถึงการตั้งจุดบนเครื่องบิน
- ในการแก้ปัญหา Cauchy หมายความว่าจากทั้งชุดของเส้นโค้งอินทิกรัลที่แสดงคำตอบของสมการเดียวกัน จำเป็นต้องเลือกอันเดียวที่ผ่านจุดเดียวที่เป็นไปได้
- การบรรลุเงื่อนไขของทฤษฎีบท Cauchy ณ จุดหนึ่งหมายความว่าเส้นโค้งปริพันธ์ (ยิ่งกว่านั้น มีเพียงเส้นเดียว) จำเป็นต้องผ่านจุดที่เลือกในระนาบ
สมการตัวแปรแยกได้
ตามคำจำกัดความ สมการอนุพันธ์คือสมการที่ด้านขวาอธิบายหรือสะท้อนเป็นผลคูณ (บางครั้งเป็นอัตราส่วน) ของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน ฟังก์ชันหนึ่งขึ้นกับ "x" เท่านั้น และอีกฟังก์ชันหนึ่งใช้ "y" เท่านั้น ". ตัวอย่างที่ชัดเจนสำหรับประเภทนี้: y'=f1(x)f2(y).
ในการแก้สมการของรูปแบบเฉพาะ ก่อนอื่นคุณต้องแปลงอนุพันธ์ y'=dy/dx จากนั้น โดยการจัดการสมการ คุณจะต้องนำสมการนั้นมาอยู่ในรูปแบบที่คุณสามารถรวมสมการทั้งสองส่วนได้ หลังจากการแปลงที่จำเป็น เรารวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกันและทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้น
สมการเอกพันธ์
ตามนิยาม สมการอนุพันธ์สามารถเรียกว่าเอกพันธ์ได้หากมีรูปแบบดังนี้: y'=g(y/x).
ในกรณีนี้ การแทนที่ y/x=มักใช้บ่อยที่สุดt(x).
ในการแก้สมการดังกล่าว จำเป็นต้องลดสมการเอกพันธ์ให้อยู่ในรูปแบบที่มีตัวแปรที่แยกออกได้ คุณต้องดำเนินการดังต่อไปนี้:
- แสดงผล แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม จากฟังก์ชันดั้งเดิมใดๆ เป็นสมการใหม่
- ขั้นตอนต่อไปคือการแปลงฟังก์ชันผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปแบบ f(x;y)=g(y/x) พูดง่ายๆ ก็คือ ทำให้สมการมีเฉพาะอัตราส่วน y/x และค่าคงที่
- ทำการแทนที่ต่อไปนี้: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t การแทนที่ที่เกิดขึ้นจะช่วยแบ่งตัวแปรในสมการ ค่อยๆ ทำให้มันอยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า
สมการเชิงเส้น
คำจำกัดความของสมการดังกล่าวมีดังนี้: สมการอนุพันธ์เชิงเส้นคือสมการที่ด้านขวาแสดงเป็นนิพจน์เชิงเส้นเทียบกับฟังก์ชันดั้งเดิม ฟังก์ชันที่ต้องการในกรณีนี้: y'=a(x)y + b(x).
ลองเปลี่ยนคำจำกัดความใหม่ดังนี้ สมการลำดับที่ 1 ใดๆ จะกลายเป็นเส้นตรงในรูปแบบนั้น ถ้าฟังก์ชันดั้งเดิมและอนุพันธ์รวมอยู่ในสมการดีกรีแรกและไม่ได้คูณกัน "รูปแบบคลาสสิก" ของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นมีโครงสร้างดังนี้: y' + P(x)y=Q(x).
ก่อนแก้สมการดังกล่าว ควรแปลงเป็น "รูปแบบคลาสสิก" ขั้นตอนต่อไปคือการเลือกวิธีการแก้ปัญหา: วิธี Bernoulli หรือวิธี Lagrange
แก้สมการด้วยโดยใช้วิธีการที่ Bernoulli นำเสนอ แสดงถึงการแทนที่และการลดลงของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเป็นสองสมการที่มีตัวแปรแยกจากกันสัมพันธ์กับฟังก์ชัน U(x) และ V(x) ซึ่งให้ไว้ในรูปแบบดั้งเดิม
วิธี Lagrange คือการหาคำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม
- จำเป็นต้องหาคำตอบของสมการเอกพันธ์แบบเดียวกัน หลังจากค้นหาแล้ว เรามีฟังก์ชัน y=y(x, C) โดยที่ C เป็นค่าคงที่โดยพลการ
- เรากำลังมองหาคำตอบของสมการดั้งเดิมในรูปแบบเดียวกัน แต่เราพิจารณาว่า C=C(x) เราแทนที่ฟังก์ชัน y=y(x, C(x)) ลงในสมการดั้งเดิม ค้นหาฟังก์ชัน C(x) และเขียนคำตอบของสมการดั้งเดิมทั่วไป
สมการเบอร์นูลลี
สมการของเบอร์นูลลี - ถ้าด้านขวาของแคลคูลัสอยู่ในรูป f(x;y)=a(x)y + b(x)yk โดยที่ k คือค่าตัวเลขที่เป็นตรรกยะใดๆ ที่เป็นไปได้ ไม่เอาเป็น ตัวอย่างกรณีที่ k=0 และ k=1.
ถ้า k=1 แคลคูลัสจะถูกแยกออกได้ และเมื่อ k=0 สมการยังคงเป็นเส้นตรง
ลองพิจารณากรณีทั่วไปของการแก้สมการประเภทนี้กัน เรามีสมการเบอร์นูลลีมาตรฐาน มันต้องถูกลดรูปให้เป็นเส้นตรง สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องหารสมการด้วย yk หลังจากการดำเนินการนี้ ให้แทนที่ z(x)=y1-k หลังจากชุดของการแปลงแล้ว สมการจะลดลงเป็นเส้นตรง ส่วนใหญ่มักจะใช้วิธีแทนที่ z=UV.
สมการในผลต่างทั้งหมด
คำจำกัดความ. สมการที่มีโครงสร้าง P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 เรียกว่าสมการเต็มดิฟเฟอเรนเชียล หากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ (ในเงื่อนไขนี้ "d" คือดิฟเฟอเรนเชียลบางส่วน): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
สมการอนุพันธ์อันดับแรกทั้งหมดที่พิจารณาก่อนหน้านี้สามารถแสดงเป็นอนุพันธ์ได้
การคำนวณดังกล่าวได้รับการแก้ไขในหลายวิธี อย่างไรก็ตาม พวกเขาทั้งหมดเริ่มต้นด้วยการตรวจสอบสภาพ หากเป็นไปตามเงื่อนไข พื้นที่ซ้ายสุดของสมการคือค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดของฟังก์ชัน U(x;y) ที่ยังไม่ทราบค่า จากนั้น ตามสมการ dU (x; y) จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นอินทิกรัลเดียวกันของสมการในส่วนอนุพันธ์ทั้งหมดจะแสดงในรูปแบบ U (x; y) u003d C ดังนั้น คำตอบของสมการลดลงจนพบฟังก์ชัน U (x; y)
ปัจจัยการบูรณาการ
หากเงื่อนไข dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx ไม่พอใจในสมการ แสดงว่าสมการนั้นไม่มีรูปแบบที่เราพิจารณาข้างต้น แต่บางครั้งก็เป็นไปได้ที่จะเลือกฟังก์ชันบางอย่าง M(x;y) เมื่อคูณด้วยสมการนั้นจึงอยู่ในรูปของสมการ "ส่วนต่าง" เต็ม ฟังก์ชัน M (x;y) เรียกว่าตัวประกอบการบูรณาการ
ผู้รวบรวมจะพบได้ก็ต่อเมื่อกลายเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียวเท่านั้น