สามเหลี่ยมด้านเท่า: คุณสมบัติ ลักษณะ พื้นที่ ปริมณฑล

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

ในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน ต้องใช้เวลาในการศึกษาสามเหลี่ยมเป็นจำนวนมาก นักเรียนคำนวณมุม สร้างส่วนครึ่งวงกลมและส่วนสูง ค้นหาว่ารูปร่างต่างกันอย่างไร และวิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหาพื้นที่และปริมณฑล ดูเหมือนว่าสิ่งนี้จะไม่มีประโยชน์ในชีวิตแต่อย่างใด แต่บางครั้ง การรู้ยังมีประโยชน์ เช่น จะกำหนดได้อย่างไรว่าสามเหลี่ยมด้านเท่าหรือมุมป้าน ทำอย่างไร

ประเภทของสามเหลี่ยม

สามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและส่วนที่เชื่อมต่อกัน ดูเหมือนว่าตัวเลขนี้จะง่ายที่สุด สามเหลี่ยมจะมีหน้าตาเป็นอย่างไรถ้ามีสามด้านเท่านั้น? อันที่จริง มีตัวเลือกค่อนข้างมาก และบางตัวเลือกก็ได้รับความสนใจเป็นพิเศษซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน สามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า นั่นคือ มุมและด้านทั้งหมดเท่ากัน มีคุณสมบัติเด่นหลายประการซึ่งจะกล่าวถึงในภายหลัง

หน้าจั่วมีเพียงสองด้านเท่ากัน และน่าสนใจทีเดียว ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและมุมป้าน อย่างที่คุณอาจเดาได้ตามลำดับว่ามุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมขวาหรือป้าน ที่นอกจากนี้ยังสามารถเป็นหน้าจั่วได้

มีสามเหลี่ยมชนิดพิเศษที่เรียกว่าอียิปต์ด้วย ด้านของมันคือ 3, 4 และ 5 หน่วย อย่างไรก็ตามมันเป็นสี่เหลี่ยม เป็นที่เชื่อกันว่านักสำรวจและสถาปนิกชาวอียิปต์ใช้รูปสามเหลี่ยมดังกล่าวเพื่อสร้างมุมฉาก เชื่อกันว่าปิรามิดที่มีชื่อเสียงถูกสร้างขึ้นด้วยความช่วยเหลือ

แต่จุดยอดทั้งหมดของสามเหลี่ยมสามารถอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวได้ ในกรณีนี้จะเรียกว่าเสื่อม ส่วนอย่างอื่นเรียกว่าไม่เสื่อม เป็นหนึ่งในวิชาของการศึกษาเรขาคณิต

สามเหลี่ยมด้านเท่า

แน่นอนว่าตัวเลขที่ถูกต้องน่าสนใจที่สุดเสมอ พวกเขาดูสมบูรณ์แบบและสง่างามยิ่งขึ้น สูตรสำหรับคำนวณคุณลักษณะมักจะง่ายกว่าและสั้นกว่าตัวเลขทั่วไป สิ่งนี้ใช้กับรูปสามเหลี่ยมด้วย ไม่น่าแปลกใจที่พวกเขาให้ความสนใจเป็นอย่างมากเมื่อเรียนเรขาคณิต: เด็กนักเรียนได้รับการสอนให้แยกแยะตัวเลขปกติจากส่วนที่เหลือ และพูดถึงคุณลักษณะที่น่าสนใจบางอย่างของพวกเขาด้วย

สัญญาณและทรัพย์สิน

คุณอาจเดาได้จากชื่อ แต่ละด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าจะเท่ากับอีกสองด้าน นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติมากมาย ซึ่งทำให้สามารถระบุได้ว่าตัวเลขนั้นถูกต้องหรือไม่

• ทุกมุมเท่ากัน ค่าของมันคือ 60 องศา
• เส้นแบ่งครึ่ง ความสูง และค่ามัธยฐานที่วาดจากจุดยอดแต่ละจุดเหมือนกัน
• สามเหลี่ยมธรรมดามีสมมาตร 3 แกนค่ะไม่เปลี่ยนเมื่อหมุน 120 องศา
• จุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ก็เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและจุดตัดของค่ามัธยฐาน แบ่งครึ่ง ความสูง และครึ่งแบ่งครึ่งตั้งฉาก

หากสังเกตเครื่องหมายข้างต้นอย่างน้อยหนึ่งเครื่องหมาย แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า สำหรับตัวเลขปกติ ข้อความข้างต้นทั้งหมดเป็นความจริง

สามเหลี่ยมทั้งหมดมีคุณสมบัติเด่นหลายประการ ประการแรก เส้นกลาง กล่าวคือ ส่วนที่แบ่งครึ่งทั้งสองข้างเป็นครึ่งและขนานกับส่วนที่สาม เท่ากับครึ่งหนึ่งของฐาน ประการที่สอง ผลรวมของมุมทั้งหมดของรูปนี้จะเท่ากับ 180 องศาเสมอ นอกจากนี้ยังมีอีกความสัมพันธ์ที่น่าสนใจในรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น ตรงข้ามด้านที่ใหญ่กว่าจะเป็นมุมที่ใหญ่กว่า และในทางกลับกัน แต่แน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่เกี่ยวอะไรกับสามเหลี่ยมด้านเท่า เพราะทุกมุมของมันเท่ากัน

วงกลมที่ถูกจารึกและล้อมรอบ

ไม่ใช่เรื่องแปลกสำหรับนักเรียนในหลักสูตรเรขาคณิตที่จะเรียนรู้ด้วยว่ารูปร่างสามารถโต้ตอบซึ่งกันและกันได้อย่างไร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีการศึกษาวงกลมที่จารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมหรืออธิบายไว้รอบๆ เกี่ยวกับอะไร

วงกลมที่จารึกไว้คือวงกลมที่ด้านของรูปหลายเหลี่ยมทุกด้านเป็นเส้นสัมผัสกัน บรรยาย-มีจุดสัมผัสทุกซอกทุกมุม สำหรับแต่ละรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถสร้างทั้งวงกลมที่หนึ่งและที่สองได้เสมอ แต่จะมีเพียงประเภทเดียวเท่านั้น หลักฐานของสองคนนี้

ทฤษฎีบทอยู่ในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน

นอกจากการคำนวณพารามิเตอร์ของสามเหลี่ยมแล้ว งานบางอย่างยังเกี่ยวข้องกับการคำนวณรัศมีของวงกลมเหล่านี้ด้วย และสูตรของ สามเหลี่ยมด้านเท่าจะออกมาเป็นแบบนี้:

r=a/√ ̅3;

R=a/2√ ̅3;

โดยที่ r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ a คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยม

คำนวณความสูง ปริมณฑล และพื้นที่

พารามิเตอร์หลักซึ่งคำนวณโดยเด็กนักเรียนในขณะที่เรียนเรขาคณิต ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับตัวเลขเกือบทุกชนิด คือปริมณฑล พื้นที่ และความสูง เพื่อความสะดวกในการคำนวณ มีสูตรต่างๆ

ดังนั้น ปริมณฑล นั่นคือ ความยาวของทุกด้าน คำนวณด้วยวิธีต่อไปนี้:

P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r โดยที่ a คือด้านของสามเหลี่ยมปกติ R คือรัศมีของวงกลม r คือวงกลมที่จารึกไว้

ส่วนสูง:

h=(√ ̅3/2)a โดยที่ a คือความยาวของด้าน

สุดท้าย สูตรพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าได้มาจากสูตรมาตรฐาน นั่นคือ ผลคูณของครึ่งฐานและส่วนสูง

S=(√ ̅3/4)a2 โดยที่ a คือความยาวของด้าน

นอกจากนี้ ค่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้พารามิเตอร์ของวงกลมที่ล้อมรอบหรือที่จารึกไว้ นอกจากนี้ยังมีสูตรพิเศษสำหรับสิ่งนี้:

S=3√ ̅3r²=(3√ ̅3/4)R^{2 โดยที่ r และ R ตามลำดับ radii จารึกและ circumscribed วงกลม}

ตึก

อีกนิดเดียวประเภทงานที่น่าสนใจ รวมทั้งรูปสามเหลี่ยม เกี่ยวข้องกับความจำเป็นในการวาดรูปหนึ่งหรือหลายตัวโดยใช้ชุดขั้นต่ำ

เครื่องมือ: เข็มทิศและไม้บรรทัดที่ไม่มีการแบ่งแยก

สร้างสามเหลี่ยมที่ถูกต้องด้วยเครื่องมือเหล่านี้เพียงไม่กี่ขั้นตอน

1. คุณต้องวาดวงกลมที่มีรัศมีใด ๆ และอยู่กึ่งกลางจุด A โดยอำเภอใจ ต้องทำเครื่องหมาย
2. ต่อไป คุณต้องลากเส้นตรงผ่านจุดนี้
3. ทางแยกของวงกลมและเส้นตรงจะต้องถูกกำหนดเป็น B และ C การก่อสร้างทั้งหมดจะต้องดำเนินการด้วยความแม่นยำสูงสุดเท่าที่เป็นไปได้
4. ถัดไป คุณต้องสร้างวงกลมอีกวงที่มีรัศมีเดียวกันและจุดศูนย์กลางที่จุด C หรือส่วนโค้งด้วยพารามิเตอร์ที่เหมาะสม ทางแยกจะถูกทำเครื่องหมายเป็น D และ F.
5. คะแนน B, F, D ต้องเชื่อมต่อกันด้วยเซกเมนต์ สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า

การแก้ปัญหาดังกล่าวมักจะเป็นปัญหาสำหรับเด็กนักเรียน แต่ทักษะนี้มีประโยชน์ในชีวิตประจำวัน