พื้นที่ผิวด้านข้างและปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน: สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาทั่วไป

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

เมื่อศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขในพื้นที่สามมิติภายในเฟรมเวิร์กของสเตอริโอเมทรี เรามักจะต้องแก้ปัญหาเพื่อหาปริมาตรและพื้นที่ผิว ในบทความนี้ เราจะแสดงวิธีการคำนวณปริมาตรและพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี

พีระมิดในเรขาคณิต

ในทางเรขาคณิต ปิรามิดธรรมดาคือร่างในอวกาศ ซึ่งสร้างขึ้นบน n-gon บางอัน จุดยอดทั้งหมดเชื่อมต่อกับจุดหนึ่งที่อยู่นอกระนาบของรูปหลายเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น นี่คือรูปภาพที่แสดงปิรามิดห้าเหลี่ยม

รูปนี้มีใบหน้า จุดยอด และขอบ ใบหน้าห้าเหลี่ยมเรียกว่าฐาน ใบหน้ารูปสามเหลี่ยมที่เหลือเป็นพื้นผิวด้านข้าง จุดตัดของสามเหลี่ยมทั้งหมดเป็นจุดยอดหลักของปิรามิด หากแนวตั้งฉากถูกลดระดับลงจากฐานถึงฐาน ตำแหน่งของจุดตัดจะเป็นไปได้สองทางเลือก:

ในจุดศูนย์กลางเรขาคณิต จากนั้นปิรามิดเรียกว่าเส้นตรง
ไม่เข้าศูนย์กลางเรขาคณิต จากนั้นรูปจะเอียง

นอกจากนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะตัวเลขตรงที่มีฐาน n-gonal ปกติ

รูปนี้คืออะไร - พีระมิดที่ถูกตัดทอน

เพื่อกำหนดปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน จำเป็นต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าตัวเลขใดเป็นปัญหาโดยเฉพาะ มาชี้แจงประเด็นนี้กัน

สมมติว่าเราเอาระนาบตัดที่ขนานกับฐานของปิรามิดธรรมดาแล้วตัดส่วนหนึ่งของพื้นผิวด้านข้างออกด้วย หากการดำเนินการนี้เสร็จสิ้นด้วยปิรามิดห้าเหลี่ยมที่แสดงด้านบน คุณจะได้ตัวเลขดังรูปด้านล่าง

จากภาพจะเห็นได้ว่าปิรามิดนี้มีฐานอยู่ 2 ฐานแล้ว และอันบนคล้ายกับฐานล่าง แต่มีขนาดเล็กกว่า พื้นผิวด้านข้างไม่ได้แสดงด้วยรูปสามเหลี่ยมอีกต่อไป แต่เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู พวกมันคือหน้าจั่วและจำนวนของมันสอดคล้องกับจำนวนด้านของฐาน รูปที่ถูกตัดปลายไม่มีจุดยอดหลักเหมือนปิรามิดทั่วไป และความสูงถูกกำหนดโดยระยะห่างระหว่างฐานคู่ขนาน

ในกรณีทั่วไป ถ้ารูปที่กำลังพิจารณาประกอบขึ้นจากฐาน n-gonal ก็จะมีหน้าหรือข้าง n+2 จุด จุดยอด 2n และขอบ 3n นั่นคือปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม

สูตรสำหรับปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

จำได้ว่าปริมาตรของพีระมิดธรรมดาคือ 1/3 ของผลคูณของความสูงและพื้นที่ฐาน สูตรนี้ไม่เหมาะกับปิรามิดที่ถูกตัดทอน เนื่องจากมี 2 เบส และปริมาณของมันจะน้อยกว่าค่าเดิมเสมอสำหรับตัวเลขปกติที่ได้มา

โดยไม่ต้องลงรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ของการได้รับนิพจน์ เรานำเสนอสูตรสุดท้ายสำหรับปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน มันเขียนดังนี้:

V=1/3ชั่วโมง(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

ที่นี่ S₁ และ S_{2 คือพื้นที่ของฐานล่างและบน ตามลำดับ h คือความสูงของรูป. นิพจน์ที่เป็นลายลักษณ์อักษรใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนแบบปกติธรรมดาเท่านั้น แต่ยังใช้ได้กับตัวเลขใดๆ ของคลาสนี้ด้วย นอกจากนี้ โดยไม่คำนึงถึงชนิดของรูปหลายเหลี่ยมฐาน เงื่อนไขเดียวที่จำกัดการใช้นิพจน์สำหรับ V คือต้องการให้ฐานของปิรามิดขนานกัน}

สรุปที่สำคัญได้หลายข้อโดยศึกษาคุณสมบัติของสูตรนี้ ดังนั้นถ้าพื้นที่ฐานบนเป็นศูนย์ เราก็มาที่สูตร V ของพีระมิดธรรมดา ถ้าพื้นที่ฐานเท่ากัน เราก็จะได้สูตรปริมาตรของปริซึม

จะกำหนดพื้นที่ผิวด้านข้างได้อย่างไร

การพัฒนาปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมที่ถูกตัดทอน

การรู้ลักษณะของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นไม่ได้ต้องการแค่ความสามารถในการคำนวณปริมาตรเท่านั้น แต่ยังต้องรู้วิธีกำหนดพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างด้วย

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนประกอบด้วยใบหน้าสองประเภท:

สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว;
ฐานเหลี่ยม

หากมีรูปหลายเหลี่ยมปกติในฐาน การคำนวณพื้นที่จะไม่แสดงขนาดใหญ่ความยากลำบาก ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องรู้ความยาวของด้าน a และจำนวน n เท่านั้น

ในกรณีของพื้นผิวด้านข้าง การคำนวณพื้นที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดค่านี้สำหรับแต่ละรูปสี่เหลี่ยมคางหมู n หาก n-gon ถูกต้อง สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างจะกลายเป็น:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

ที่นี่ h_b คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งเรียกว่าจุดยอดของรูป ปริมาณ a₁ และ a_{2คือความยาวของด้านของฐาน n-gonal ปกติ}

สำหรับปิรามิดที่ตัดปลาย n-gonal ทุกอัน apotema h_b สามารถกำหนดได้โดยไม่ซ้ำกันโดยใช้พารามิเตอร์ a₁ และ a _{2และความสูง h ของรูปร่าง}

งานคำนวณปริมาตรและพื้นที่ของรูป

ให้พีระมิดที่ตัดเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความสูง h เท่ากับ 10 ซม. และความยาวของด้านข้างของฐานคือ 5 ซม. และ 3 ซม. พีระมิดที่ถูกตัดทอนและพื้นที่ผิวด้านข้างมีปริมาตรเท่าใด

อันดับแรก มาคำนวณค่า V กัน โดยหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งอยู่ที่ฐานของรูป เรามี: