ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

แม้แต่ที่โรงเรียน พวกเราแต่ละคนก็เรียนสมการและระบบสมการด้วยแน่นอน แต่หลายคนไม่ทราบว่ามีหลายวิธีในการแก้ปัญหาเหล่านี้ วันนี้เราจะมาวิเคราะห์รายละเอียดวิธีการทั้งหมดสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ซึ่งประกอบด้วยความเท่าเทียมกันมากกว่าสองค่า

ประวัติศาสตร์

วันนี้เป็นที่รู้กันว่าศิลปะการแก้สมการและระบบของพวกมันมีต้นกำเนิดมาจากบาบิโลนและอียิปต์โบราณ อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันในรูปแบบปกติปรากฏขึ้นหลังจากการปรากฏตัวของเครื่องหมายเท่ากับ "=" ซึ่งเปิดตัวในปี ค.ศ. 1556 โดยบันทึกนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ โดยวิธีการที่เครื่องหมายนี้ถูกเลือกด้วยเหตุผล: มันหมายถึงสองส่วนที่เท่ากันขนานกัน อันที่จริง ไม่มีตัวอย่างความเท่าเทียมกันที่ดีไปกว่านี้

นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อ Francois Viet อย่างไรก็ตาม การกำหนดของเขาแตกต่างอย่างมากจากปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น เขาระบุกำลังสองของตัวเลขที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษร Q (lat. "quadratus") และลูกบาศก์ที่มีตัวอักษร C (lat. "cubus") การกำหนดเหล่านี้ดูเหมือนไม่สะดวก แต่แล้วเป็นวิธีที่เข้าใจได้มากที่สุดในการเขียนระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

อย่างไรก็ตาม ข้อเสียของวิธีการแก้ปัญหาในขณะนั้นคือนักคณิตศาสตร์พิจารณาเฉพาะรากที่เป็นบวก บางทีนี่อาจเป็นเพราะค่าลบไม่ได้มีประโยชน์จริง ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano และ Rafael Bombelli เป็นคนแรกที่พิจารณารากฐานเชิงลบในศตวรรษที่ 16 และรูปลักษณ์ที่ทันสมัย วิธีการหลักในการแก้สมการกำลังสอง (ผ่านการแบ่งแยก) ถูกสร้างขึ้นในศตวรรษที่ 17 เท่านั้นด้วยผลงานของ Descartes และ Newton

ในช่วงกลางศตวรรษที่ 18 นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส Gabriel Cramer ได้ค้นพบวิธีใหม่ในการทำให้การแก้ระบบสมการเชิงเส้นง่ายขึ้น วิธีนี้ได้รับการตั้งชื่อตามเขาในเวลาต่อมาและจนถึงทุกวันนี้เราใช้วิธีนี้ แต่เราจะพูดถึงวิธี Cramer ในภายหลัง แต่สำหรับตอนนี้ เราจะพูดถึงสมการเชิงเส้นและวิธีการแก้สมการแยกจากระบบ

สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นคือความเท่าเทียมกันที่ง่ายที่สุดกับตัวแปร จัดเป็นพีชคณิต สมการเชิงเส้นเขียนในรูปแบบทั่วไปดังนี้: 2_{+…a x =b เราต้องการการแสดงของพวกเขาในแบบฟอร์มนี้เมื่อรวบรวมระบบและเมทริกซ์เพิ่มเติม}

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

คำจำกัดความของคำนี้คือ: เป็นชุดของสมการที่ไม่ทราบค่าทั่วไปและเป็นคำตอบร่วม ตามกฎแล้ว ที่โรงเรียนทุกอย่างถูกกำหนดโดยระบบด้วยสองหรือสามสมการ แต่มีระบบที่มีสี่องค์ประกอบขึ้นไป ก่อนอื่นเรามาหาวิธีเขียนมันกันก่อน จะได้สะดวกในการแก้ไขในภายหลัง อย่างแรก ระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะดูดีขึ้นถ้าตัวแปรทั้งหมดเขียนเป็น x ด้วยดัชนีที่เหมาะสม: 1, 2, 3 และอื่นๆ ประการที่สอง สมการทั้งหมดควรถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติ: a₁x₁+a₂ x 2_{+…a x =b.}

หลังจากขั้นตอนเหล่านี้ทั้งหมด เราสามารถเริ่มพูดถึงวิธีหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นได้ เมทริกซ์จะมีประโยชน์มากสำหรับสิ่งนี้

เมทริกซ์

เมทริกซ์คือตารางที่ประกอบด้วยแถวและคอลัมน์ และองค์ประกอบจะอยู่ที่จุดตัดกัน ค่าเหล่านี้อาจเป็นค่าเฉพาะหรือตัวแปรก็ได้ ส่วนใหญ่แล้ว ในการกำหนดองค์ประกอบ ตัวห้อยจะอยู่ใต้องค์ประกอบเหล่านี้ (เช่น a₁₁ หรือ a₂₃) ดัชนีแรกหมายถึงหมายเลขแถวและดัชนีที่สองคือหมายเลขคอลัมน์ ในเมทริกซ์ เช่นเดียวกับองค์ประกอบทางคณิตศาสตร์อื่นๆ คุณสามารถดำเนินการต่างๆ ได้ ดังนั้นคุณสามารถ:

1) ลบและเพิ่มตารางที่มีขนาดเท่ากัน

2) คูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนหรือเวกเตอร์บางตัว

3) ย้าย: เปลี่ยนแถวเมทริกซ์เป็นคอลัมน์และคอลัมน์เป็นแถว

4) คูณเมทริกซ์ถ้าจำนวนแถวของหนึ่งในนั้นเท่ากับจำนวนคอลัมน์ของอีกคอลัมน์

เราจะพูดถึงเทคนิคเหล่านี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น เนื่องจากจะเป็นประโยชน์ต่อเราในอนาคต การลบและการบวกเมทริกซ์นั้นง่ายมาก ดังนั้นในขณะที่เราใช้เมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน แต่ละองค์ประกอบของตารางหนึ่งจะสอดคล้องกับแต่ละองค์ประกอบของอีกองค์ประกอบหนึ่ง ดังนั้นเราจึงบวก (ลบ) องค์ประกอบทั้งสองนี้ (สิ่งสำคัญคือต้องอยู่ในตำแหน่งเดียวกันในเมทริกซ์) เมื่อคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขหรือเวกเตอร์ คุณเพียงแค่ต้องคูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยตัวเลขนั้น (หรือเวกเตอร์) การขนย้ายเป็นกระบวนการที่น่าสนใจมาก เป็นเรื่องที่น่าสนใจมากในบางครั้งที่ได้เห็นในชีวิตจริง เช่น เมื่อเปลี่ยนการวางแนวของแท็บเล็ตหรือโทรศัพท์ ไอคอนบนเดสก์ท็อปเป็นเมทริกซ์ และเมื่อคุณเปลี่ยนตำแหน่ง ไอคอนจะสลับไปมาและกว้างขึ้น แต่ความสูงลดลง

เรามาดูกระบวนการของการคูณเมทริกซ์กัน แม้ว่าจะไม่เป็นประโยชน์กับเรา แต่ก็ยังมีประโยชน์ที่จะรู้ คุณสามารถคูณเมทริกซ์สองตัวได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ในตารางหนึ่งเท่ากับจำนวนแถวในอีกตารางหนึ่ง ทีนี้ มาดูองค์ประกอบของแถวของเมทริกซ์หนึ่งกับองค์ประกอบของคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องกันของอีกคอลัมน์หนึ่ง เราคูณมันเข้าด้วยกันแล้วบวกมันเข้าไป (เช่น ผลคูณขององค์ประกอบ a₁₁ และ a₁₂ โดย b _{12และ b}22 _{จะเท่ากับ: a}11_b12 _{+ a 12} b₂₂). ดังนั้น ได้องค์ประกอบหนึ่งของตารางมา และมันถูกเติมเพิ่มเติมด้วยวิธีการที่คล้ายกัน

ตอนนี้ เรามาเริ่มดูว่าระบบสมการเชิงเส้นถูกแก้อย่างไร

วิธีเกาส์

หัวข้อนี้เริ่มผ่านแม้ที่โรงเรียน เรารู้แนวคิดของ "ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการ" เป็นอย่างดีและรู้วิธีแก้สมการแต่ถ้าจำนวนสมการมากกว่าสองล่ะ? วิธีเกาส์จะช่วยเราได้

แน่นอน วิธีนี้สะดวกที่จะใช้ถ้าคุณสร้างเมทริกซ์ออกจากระบบ แต่คุณไม่สามารถแปลงและแก้ปัญหาในรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุดได้

แล้ววิธีนี้แก้ระบบสมการเกาส์เซียนเชิงเส้นอย่างไร? ถึงแม้ว่าวิธีนี้จะตั้งชื่อตามเขา แต่ก็ถูกค้นพบในสมัยโบราณ เกาส์เสนอสิ่งต่อไปนี้: เพื่อดำเนินการกับสมการเพื่อลดชุดทั้งหมดให้อยู่ในรูปแบบขั้น นั่นคือ จำเป็นที่จากบนลงล่าง (หากวางอย่างถูกต้อง) จากสมการแรกถึงสมการสุดท้าย ค่าที่ไม่ทราบค่าหนึ่งค่าจะลดลง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องแน่ใจว่าเราได้สมการสามสมการ: ในค่าแรก - สามค่าที่ไม่ทราบค่า ในค่าที่สอง - สอง ในค่าที่สาม - หนึ่ง จากสมการที่แล้ว เราจะหาค่าที่ไม่รู้จักตัวแรก แทนค่าลงในสมการที่สองหรือสมการแรก แล้วหาตัวแปรอีกสองตัวที่เหลือ

วิธีแครมเมอร์

เพื่อให้เชี่ยวชาญวิธีนี้ จำเป็นต้องฝึกฝนทักษะการบวก การลบเมทริกซ์ และคุณจำเป็นต้องสามารถหาดีเทอร์มิแนนต์ได้ด้วย เพราะฉะนั้น ถ้าทำมาไม่ดีหรือไม่รู้เลย ก็ต้องเรียนรู้และฝึกฝน

สาระสำคัญของวิธีนี้คืออะไร และทำอย่างไรจึงจะได้ระบบสมการแครมเมอร์เชิงเส้น ทุกอย่างง่ายมาก เราต้องสร้างเมทริกซ์จากค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข (เกือบทุกครั้ง) ของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เพียงแค่นำตัวเลขข้างหน้าสิ่งแปลกปลอมมาเรียงในตารางตามลำดับที่บันทึกไว้ในระบบ หากตัวเลขนำหน้าด้วยเครื่องหมาย "-" เราจะเขียนสัมประสิทธิ์เชิงลบลงไป ดังนั้น เราจึงได้รวบรวมเมทริกซ์แรกจากสัมประสิทธิ์ของนิรนาม โดยไม่รวมตัวเลขหลังเครื่องหมายเท่ากับ (โดยปกติ สมการควรลดให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติ เมื่อเฉพาะตัวเลขอยู่ทางขวา และค่านิรนามทั้งหมดด้วย สัมประสิทธิ์ทางด้านซ้าย) จากนั้นคุณต้องสร้างเมทริกซ์อีกหลายตัว - หนึ่งชุดสำหรับแต่ละตัวแปร ในการทำเช่นนี้ เราจะแทนที่แต่ละคอลัมน์ด้วยสัมประสิทธิ์ในเมทริกซ์แรกด้วยคอลัมน์ตัวเลขหลังเครื่องหมายเท่ากับ ดังนั้นเราจึงได้รับเมทริกซ์หลายตัวแล้วจึงหาดีเทอร์มิแนนต์ของพวกมัน

หลังจากที่เราพบดีเทอร์มิแนนต์แล้ว เรื่องก็เล็ก เรามีเมทริกซ์เริ่มต้น และมีเมทริกซ์ผลลัพธ์หลายตัวที่สอดคล้องกับตัวแปรต่างๆ เพื่อให้ได้คำตอบของระบบ เราแบ่งดีเทอร์มีแนนต์ของตารางผลลัพธ์ด้วยดีเทอร์มีแนนต์ของตารางเริ่มต้น จำนวนผลลัพธ์คือค่าของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง ในทำนองเดียวกัน เราพบสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมด

วิธีอื่นๆ

มีอีกหลายวิธีในการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น วิธีที่เรียกว่าเกาส์-จอร์แดน ซึ่งใช้เพื่อค้นหาคำตอบของระบบสมการกำลังสองและยังเกี่ยวข้องกับการใช้เมทริกซ์ นอกจากนี้ยังมีวิธีจาโคบีในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น เป็นการง่ายที่สุดในการปรับให้เข้ากับคอมพิวเตอร์และใช้ในการคำนวณ

คดียาก

ความซับซ้อนมักเกิดขึ้นเมื่อจำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปร จากนั้นเราสามารถพูดได้อย่างแน่นอนว่าระบบไม่สอดคล้องกัน (นั่นคือไม่มีราก) หรือจำนวนของการแก้ปัญหามีแนวโน้มที่จะไม่สิ้นสุด ถ้าเรามีกรณีที่ 2 เราก็จะต้องเขียนคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นลงไป โดยจะมีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว

สรุป

มาถึงตอนจบแล้ว เพื่อสรุป: เราได้วิเคราะห์ว่าระบบและเมทริกซ์คืออะไร เราได้เรียนรู้วิธีค้นหาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น นอกจากนี้ ยังมีการพิจารณาทางเลือกอื่นๆ เราค้นพบวิธีการแก้สมการเชิงเส้น: วิธีเกาส์และวิธีแครมเมอร์ เราได้พูดถึงเคสที่ยากและวิธีอื่นๆ ในการหาทางแก้ไข

อันที่จริง หัวข้อนี้กว้างขวางกว่ามาก และหากคุณต้องการทำความเข้าใจให้ดีขึ้น เราขอแนะนำให้คุณอ่านวรรณกรรมเฉพาะทางเพิ่มเติม