เพื่อทำความเข้าใจว่าจุดปลายสุดของฟังก์ชันคืออะไร ไม่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของอนุพันธ์อันดับ 1 และอันดับ 2 และเข้าใจความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์เลย ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจสิ่งต่อไปนี้:
- function extrema ขยายใหญ่สุด หรือในทางกลับกัน ลดค่าของฟังก์ชันให้เหลือน้อยที่สุดในบริเวณใกล้เคียง
- ไม่ควรมีการหยุดการทำงานที่จุดสุดปลาย
และตอนนี้ก็เหมือนเดิม เฉพาะในภาษาธรรมดาเท่านั้น ดูที่ปลายปากกาลูกลื่น หากวางปากกาในแนวตั้งโดยให้ปลายปากกาอยู่ตรงกลางสุดของลูกจะเป็นจุดสูงสุด - จุดสูงสุด ในกรณีนี้ เราพูดถึงค่าสูงสุด ทีนี้ ถ้าคุณหมุนปากกาโดยให้ด้านที่เขียนอยู่ด้านล่าง ฟังก์ชันขั้นต่ำที่ตรงกลางลูกบอลก็จะมีอยู่แล้ว ด้วยความช่วยเหลือของตัวเลขที่ให้ไว้ที่นี่ คุณสามารถจินตนาการถึงการยักย้ายถ่ายเทของดินสอสเตชันเนอรี ดังนั้น สุดขั้วของฟังก์ชันจึงเป็นจุดวิกฤตเสมอ: จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด ส่วนที่อยู่ติดกันของแผนภูมิสามารถคมชัดหรือเรียบได้ตามอำเภอใจ แต่ต้องมีทั้งสองด้าน เฉพาะในกรณีนี้จุดที่เป็นปลายสุด หากแผนภูมิแสดงอยู่เพียงด้านเดียว จุดนี้จะไม่เป็นจุดสุดโต่งแม้ว่าจะอยู่ด้านใดด้านหนึ่งก็ตามตรงตามเงื่อนไขสุดขั้ว ตอนนี้ เรามาศึกษาความสุดขั้วของฟังก์ชันจากมุมมองทางวิทยาศาสตร์กัน เพื่อให้ประเด็นที่จะถือว่าเป็นสุดโต่ง มันเป็นสิ่งจำเป็นและเพียงพอที่:
- อนุพันธ์อันดับแรกเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่ที่จุดนั้น
- อนุพันธ์อันดับแรกเปลี่ยนเครื่องหมาย ณ จุดนี้
เงื่อนไขถูกตีความค่อนข้างแตกต่างไปจากมุมมองของอนุพันธ์อันดับสูงกว่า: สำหรับฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล ณ จุดหนึ่ง ก็เพียงพอแล้วที่จะมีอนุพันธ์อันดับคี่ที่ไม่เท่ากับศูนย์ในขณะที่ทั้งหมด อนุพันธ์อันดับต่ำกว่าต้องมีอยู่และเท่ากับศูนย์ นี่คือการตีความทฤษฎีบทที่ง่ายที่สุดจากตำราคณิตศาสตร์ชั้นสูง แต่สำหรับคนธรรมดาส่วนใหญ่ ควรอธิบายประเด็นนี้ด้วยตัวอย่าง พื้นฐานคือพาราโบลาธรรมดา ทำการจองทันทีที่จุดศูนย์มีขั้นต่ำ คณิตนิดหน่อย:
- อนุพันธ์อันดับแรก (X2)|=2X สำหรับจุดศูนย์ 2X=0;
- อนุพันธ์อันดับสอง (2X)|=2 สำหรับจุดศูนย์ 2=2.
นี่คือภาพประกอบง่ายๆ ของเงื่อนไขที่กำหนดส่วนปลายของฟังก์ชันทั้งอนุพันธ์อันดับ 1 และอนุพันธ์อันดับสูงกว่า เราสามารถบวกด้วยว่าอนุพันธ์อันดับสองเป็นเพียงอนุพันธ์เดียวกันกับลำดับเลขคี่ ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่งถูกกล่าวถึงสูงกว่าเล็กน้อย เมื่อพูดถึงฟังก์ชันสุดขั้วของตัวแปรสองตัว ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับอาร์กิวเมนต์ทั้งสอง เมื่อไหร่ลักษณะทั่วไปเกิดขึ้นจากนั้นจึงใช้อนุพันธ์บางส่วน กล่าวคือ มันจำเป็นสำหรับการมีอยู่ของสุดโต่ง ณ จุดที่อนุพันธ์อันดับหนึ่งทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์ หรืออย่างน้อยหนึ่งอนุพันธ์ก็ไม่มีอยู่จริง เพื่อความเพียงพอของการมีอยู่ของสุดโต่ง นิพจน์จะถูกตรวจสอบ ซึ่งเป็นความแตกต่างระหว่างผลคูณของอนุพันธ์อันดับสองกับกำลังสองของอนุพันธ์อันดับสองแบบผสมของฟังก์ชัน หากนิพจน์นี้มากกว่าศูนย์ แสดงว่ามีสุดโต่ง และหากมีศูนย์ คำถามนั้นยังคงเปิดอยู่ และจำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม
