คณิตศาสตร์บางปัญหาต้องการความสามารถในการคำนวณรากที่สอง ปัญหาเหล่านี้รวมถึงการแก้สมการอันดับสอง ในบทความนี้ เราขอนำเสนอวิธีที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณรากที่สองและใช้เมื่อทำงานกับสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง
สแควร์รูทคืออะไร
ในทางคณิตศาสตร์ แนวคิดนี้สอดคล้องกับสัญลักษณ์ √ ข้อมูลทางประวัติศาสตร์กล่าวว่ามีการใช้เป็นครั้งแรกในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 16 ในเยอรมนี (งานภาษาเยอรมันชิ้นแรกเกี่ยวกับพีชคณิตโดย Christoph Rudolf) นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าสัญลักษณ์นี้เป็นอักษรละตินแปลงร่าง r (radix แปลว่า "ราก" ในภาษาละติน)
รูทของตัวเลขใดๆ เท่ากับค่าดังกล่าว สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งสอดคล้องกับนิพจน์รูท ในภาษาของคณิตศาสตร์ คำจำกัดความนี้จะมีลักษณะดังนี้: √x=y if y2=x.
รากของจำนวนบวก (x > 0) ก็เช่นกันจำนวนบวก (y > 0) แต่ถ้ารากมาจากจำนวนลบ (x < 0) ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนอยู่แล้ว รวมทั้งหน่วยจินตภาพ i.
นี่คือสองตัวอย่างง่ายๆ:
√9=3 เพราะ 32 =9; √(-9)=3i เพราะ i2=-1.
สูตรวนซ้ำของนกกระสาในการหารากที่สอง
ตัวอย่างข้างต้นนั้นง่ายมาก และการคำนวณรากในตัวนั้นก็ไม่ยาก ความยากเริ่มปรากฏขึ้นแล้วเมื่อหาค่ารูทของค่าใด ๆ ที่ไม่สามารถแสดงเป็นกำลังสองของจำนวนธรรมชาติได้ เช่น √10, √11, √12, √13 ไม่ต้องพูดถึงความจริงที่ว่าในทางปฏิบัติมัน จำเป็นต้องหารากของตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เช่น √(12, 15), √(8, 5) และอื่นๆ
ในกรณีข้างต้น ควรใช้วิธีการพิเศษในการคำนวณรากที่สอง ในปัจจุบัน รู้จักวิธีการดังกล่าวหลายวิธี เช่น การขยายอนุกรมเทย์เลอร์ หารด้วยคอลัมน์ และอื่นๆ บางวิธี จากวิธีการที่รู้จักทั้งหมด บางทีวิธีที่ง่ายที่สุดและมีประสิทธิภาพมากที่สุดคือการใช้สูตรวนซ้ำของ Heron ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าวิธีบาบิโลนในการหารากที่สอง (มีหลักฐานว่าชาวบาบิโลนโบราณใช้สูตรนี้ในการคำนวณเชิงปฏิบัติ)
ให้จำเป็นต้องกำหนดมูลค่าของ √x สูตรการหารากที่สองมีดังต่อไปนี้:
an+1=1/2(a+x/a) โดยที่ limn->∞(a)=> x.
ถอดรหัสสัญกรณ์คณิตศาสตร์นี้ ในการคำนวณ √x คุณควรใช้ตัวเลข a0 (อาจเป็นกฎเกณฑ์ก็ได้ แต่เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่รวดเร็ว คุณควรเลือกตัวเลขนั้น (a0) 2 ใกล้เคียงกับ x มากที่สุด จากนั้นแทนที่ลงในสูตรรากที่สองที่ระบุ แล้วได้ตัวเลขใหม่ a1 ซึ่งจะแล้ว ใกล้เคียงกับค่าที่ต้องการมากที่สุด จำเป็นต้องแทนที่ a1 ลงในนิพจน์และรับ a2 ขั้นตอนนี้ควรทำซ้ำจนกว่าจะได้ความถูกต้องตามที่กำหนด.
ตัวอย่างการใช้สูตรวนซ้ำของนกกระสา
อัลกอริธึมที่อธิบายข้างต้นสำหรับการหารากที่สองของตัวเลขบางตัวอาจฟังดูค่อนข้างซับซ้อนและสับสนสำหรับหลายๆ คน แต่ในความเป็นจริง ทุกอย่างกลับกลายเป็นว่าง่ายกว่ามาก เนื่องจากสูตรนี้มาบรรจบกันเร็วมาก (โดยเฉพาะถ้าเป็นเลขนำโชค ถูกเลือกเป็น0).
มาดูตัวอย่างง่ายๆ กัน เราต้องคำนวณ √11 เราเลือก a0=3 เนื่องจาก 32=9 ซึ่งใกล้เคียงกับ 11 มากกว่า 42=16. แทนสูตร จะได้
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
ไม่มีประโยชน์ในการคำนวณต่อไป เนื่องจากเราได้รับว่า a2 และ a3 เริ่มแตกต่างกันเฉพาะในทศนิยมที่ 5 สถานที่. ดังนั้นก็เพียงพอแล้วที่จะทาเพียง 2 เท่าของสูตรเพื่อคำนวณ √11 ถึงภายใน 0.0001.
ปัจจุบัน เครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณราก อย่างไรก็ตาม การจำสูตรที่ทำเครื่องหมายไว้นั้นมีประโยชน์ เพื่อให้สามารถคำนวณค่าที่แน่นอนได้ด้วยตนเอง
สมการลำดับที่สอง
การทำความเข้าใจว่ารากที่สองคืออะไรและความสามารถในการคำนวณจะใช้เมื่อแก้สมการกำลังสอง สมการเหล่านี้มีค่าเท่ากันโดยไม่ทราบรูปแบบทั่วไป ดังแสดงในรูปด้านล่าง
ในที่นี้ c, b และ a คือตัวเลขบางตัว และ a ต้องไม่เท่ากับศูนย์ และค่าของ c และ b สามารถกำหนดได้โดยอำเภอใจทั้งหมด รวมทั้งศูนย์
ค่าใดๆ ของ x ที่เป็นไปตามความเท่าเทียมกันที่ระบุในรูปจะเรียกว่ารากของมัน (แนวคิดนี้ไม่ควรสับสนกับรากที่สอง √) เนื่องจากสมการที่พิจารณามีลำดับที่ 2 (x2) ดังนั้นจึงไม่มีตัวเลขสำหรับรากของตัวเลขเกินสองตัว เรามาดูวิธีค้นหารากเหล่านี้ในบทความต่อไป
การหารากของสมการกำลังสอง (สูตร)
วิธีการแก้ประเภทความเท่าเทียมกันที่พิจารณานี้เรียกอีกอย่างว่าสากลหรือวิธีการผ่านการเลือกปฏิบัติ สามารถใช้กับสมการกำลังสองใดก็ได้ สูตรสำหรับการเลือกปฏิบัติและรากของสมการกำลังสองมีดังนี้:
มันแสดงว่ารากขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ทั้งสามของสมการแต่ละตัว นอกจากนี้การคำนวณx1 แตกต่างจากการคำนวณ x2 เฉพาะเครื่องหมายก่อนรากที่สอง การแสดงออกที่รุนแรงซึ่งเท่ากับ b2 - 4ac ไม่มีอะไรมากไปกว่าการเลือกปฏิบัติของความเท่าเทียมกันที่พิจารณา การเลือกปฏิบัติในสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองมีบทบาทสำคัญเพราะเป็นตัวกำหนดจำนวนและประเภทของคำตอบ ดังนั้น หากเป็นศูนย์ ก็จะมีเพียงคำตอบเดียว หากเป็นบวก สมการจะมีรากจริงสองราก ในที่สุด ตัวจำแนกเชิงลบจะนำไปสู่รากเชิงซ้อนสองราก x1 และ x 2.
ทฤษฎีบทของเวียต้าหรือคุณสมบัติบางอย่างของรากของสมการอันดับสอง
ปลายศตวรรษที่ 16 หนึ่งในผู้ก่อตั้งพีชคณิตสมัยใหม่ Francois Viet ชาวฝรั่งเศสที่ศึกษาสมการอันดับสอง ก็สามารถได้คุณสมบัติของรากของมันมา ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้:
x1 + x2=-b / a และ x1 x 2=c / a.
ทุกคนสามารถหาความเท่าเทียมกันทั้งสองได้อย่างง่ายดาย ด้วยเหตุนี้จึงจำเป็นต้องดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมกับรากที่ได้จากสูตรด้วยการเลือกปฏิบัติเท่านั้น
การรวมกันของนิพจน์ทั้งสองนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นสูตรที่สองของรากของสมการกำลังสอง ซึ่งทำให้สามารถเดาคำตอบของสมการได้โดยไม่ต้องใช้ตัวแบ่งแยก ควรสังเกตว่าแม้ว่านิพจน์ทั้งสองจะถูกต้องเสมอ แต่ก็สะดวกที่จะใช้เพื่อแก้สมการเฉพาะในกรณีที่แยกตัวประกอบได้
งานรวบรวมความรู้ที่ได้รับ
มาแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์กัน โดยเราจะสาธิตเทคนิคทั้งหมดที่กล่าวถึงในบทความ เงื่อนไขของปัญหามีดังนี้: คุณต้องค้นหาตัวเลขสองตัวที่ผลิตภัณฑ์คือ -13 และผลรวมคือ 4.
เงื่อนไขนี้ทำให้นึกถึงทฤษฎีบทของเวียตาทันที โดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของรากที่สองและผลคูณของมัน เราเขียนว่า:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
สมมติว่า a=1 จากนั้น b=-4 และ c=-13 สัมประสิทธิ์เหล่านี้ทำให้เราเขียนสมการลำดับที่สองได้:
x2 - 4x - 13=0.
ใช้สูตรกับ discriminant เราได้รากต่อไปนี้:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
คืองานถูกลดให้หาเลข √68 โปรดทราบว่า 68=417 จากนั้นใช้คุณสมบัติรากที่สอง เราได้รับ: √68=2√17
ตอนนี้ ลองใช้สูตรรากที่สองที่พิจารณากัน: a0=4 จากนั้น:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
ไม่จำเป็นต้องคำนวณ a3 เพราะค่าที่พบแตกต่างกันเพียง 0.02 ดังนั้น √68=8.246 แทนค่าลงในสูตรสำหรับ x 1, 2 เราได้:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 และ x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
อย่างที่คุณเห็น ผลรวมของตัวเลขที่พบคือ 4 ตัว แต่ถ้าคุณพบผลลัพธ์มันจะเท่ากับ -12999 ซึ่งตรงตามเงื่อนไขของปัญหาด้วยความแม่นยำ 0.001
