ปริซึมสามเหลี่ยมตรง. สูตรปริมาตรและพื้นที่ผิว การแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย หลังจากศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขบนเครื่องบินแล้ว พวกเขาก็เริ่มพิจารณาวัตถุเรขาคณิตเชิงพื้นที่ เช่น ปริซึม ทรงกลม ปิรามิด ทรงกระบอก และกรวย ในบทความนี้ เราจะให้คำอธิบายที่สมบูรณ์ที่สุดของปริซึมสามเหลี่ยมตรง

ปริซึมสามเหลี่ยมคืออะไร

ขอเริ่มบทความด้วยคำจำกัดความของตัวเลขซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป ปริซึมจากมุมมองของเรขาคณิต คือ ตัวเลขในอวกาศที่เกิดจาก n-gon ที่เหมือนกันสองตัวซึ่งอยู่ในระนาบคู่ขนาน ซึ่งมุมเดียวกันนั้นเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นตรง ส่วนเหล่านี้เรียกว่าซี่โครงด้านข้าง ประกอบกับด้านข้างของฐานทำให้เกิดพื้นผิวด้านข้าง ซึ่งโดยทั่วไปจะแสดงด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สอง n-gon เป็นฐานของร่าง หากขอบด้านข้างตั้งฉากกับมัน แสดงว่าเป็นปริซึมตรง ดังนั้น หากจำนวนด้าน n ของรูปหลายเหลี่ยมที่ฐานเป็นสาม ตัวเลขดังกล่าวจะเรียกว่าปริซึมสามเหลี่ยม

ปริซึมตรงสามเหลี่ยมดังในรูป ตัวเลขนี้เรียกอีกอย่างว่าปกติเนื่องจากฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ความยาวของขอบด้านข้างของรูป ซึ่งระบุด้วยตัวอักษร h ในรูป เรียกว่าความสูง

รูปแสดงว่าปริซึมที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมประกอบด้วยห้าหน้า ซึ่งสองอันเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และสามอันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเหมือนกัน นอกจากใบหน้าแล้ว ปริซึมยังมีจุดยอดหกจุดที่ฐานและขอบเก้าจุด จำนวนองค์ประกอบที่พิจารณามีความเกี่ยวข้องกันโดยทฤษฎีบทออยเลอร์:

จำนวนขอบ=จำนวนจุดยอด + จำนวนด้าน - 2.

พื้นที่ปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก

เราพบว่ารูปที่เป็นปัญหานั้นประกอบด้วยใบหน้าห้าหน้าจากสองประเภท (สามเหลี่ยมสองรูปสามเหลี่ยมสามรูป) ใบหน้าทั้งหมดเหล่านี้ก่อตัวเป็นพื้นผิวทั้งหมดของปริซึม พื้นที่ทั้งหมดของพวกเขาคือพื้นที่ของรูป ด้านล่างเป็นปริซึมสามเหลี่ยมที่กางออก ซึ่งสามารถหาได้โดยการตัดฐานสองอันออกจากรูปก่อน จากนั้นจึงตัดขอบด้านหนึ่งแล้วคลี่พื้นผิวด้านข้างออก

ให้สูตรการกำหนดพื้นที่ผิวของการกวาดนี้ เริ่มจากฐานของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากกันก่อน เนื่องจากพวกมันเป็นตัวแทนของสามเหลี่ยม พื้นที่ S_{3 ของพวกมันแต่ละอันสามารถหาได้ดังนี้:}

S₃=1/2ah_a.

นี่คือด้านของสามเหลี่ยม h_{a คือความสูงที่ลดระดับจากจุดยอดของสามเหลี่ยมมาด้านนี้}

หากสามเหลี่ยมด้านเท่า (ปกติ) สูตรสำหรับ S_{3ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ a เพียงตัวเดียว ดูเหมือนว่า:}

S₃=√3/4a^2.

นิพจน์นี้สามารถหาได้โดยพิจารณาจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากกลุ่ม a, a/2, h_a.

พื้นที่ฐาน S_o สำหรับตัวเลขปกติเป็นสองเท่าของค่าของ S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

สำหรับพื้นที่ผิวด้านข้าง S_{b นั้นคำนวณได้ไม่ยาก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะคูณด้วยสามพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เกิดจากด้าน a และ h สูตรที่สอดคล้องกันคือ:}

S_b=3ah.

ดังนั้น พื้นที่ของปริซึมปกติที่มีฐานสามเหลี่ยมหาได้จากสูตรต่อไปนี้:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

หากปริซึมตรงแต่ไม่ปกติ ให้คำนวณพื้นที่ของมัน คุณควรแยกพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่ไม่เท่ากันมาบวกกัน

การกำหนดปริมาตรของตัวเลข

ปริมาตรของปริซึมเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นพื้นที่ที่จำกัดโดยด้านข้าง (ใบหน้า) การคำนวณปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นง่ายกว่าการคำนวณพื้นที่ผิวมาก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะทราบพื้นที่ของฐานและความสูงของร่าง เนื่องจากความสูง h ของรูปทรงตรงคือความยาวของขอบด้านข้าง และวิธีคำนวณพื้นที่ฐาน เราได้ให้ไว้ในข้อที่แล้วชี้ไปที่การคูณค่าทั้งสองนี้ซึ่งกันและกันเพื่อให้ได้ปริมาตรที่ต้องการ สูตรสำหรับมันกลายเป็น:

V=S_3h.

โปรดทราบว่าผลคูณของพื้นที่ของฐานหนึ่งและความสูงจะให้ปริมาตรที่ไม่เพียงแต่เป็นปริซึมตรง แต่ยังมีรูปทรงเฉียงและแม้แต่ทรงกระบอกด้วย

การแก้ปัญหา

ปริซึมสามเหลี่ยมแก้วใช้ในทัศนศาสตร์เพื่อศึกษาสเปกตรัมของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าอันเนื่องมาจากปรากฏการณ์การกระจายตัว เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าปริซึมกระจกธรรมดานั้นมีความยาวด้านฐาน 10 ซม. และขอบยาว 15 ซม. หน้ากระจกของมันมีพื้นที่เท่าไร และมีปริมาตรเท่าใด

เพื่อกำหนดพื้นที่ เราจะใช้สูตรที่เขียนไว้ในบทความ เรามี:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536.6cm^2.

เพื่อกำหนดปริมาตร V เรายังใช้สูตรข้างต้น:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649.5 cm}3^.

ถึงแม้ขอบของปริซึมจะยาว 10 ซม. และยาว 15 ซม. แต่ปริมาตรของรูปทรงนั้นเพียง 0.65 ลิตร (ลูกบาศก์ที่มีด้านยาว 10 ซม. มีปริมาตร 1 ลิตร)