พีระมิดหกเหลี่ยมธรรมดา. สูตรปริมาตรและพื้นที่ผิว การแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

Stereometry เป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตในอวกาศ ศึกษาคุณสมบัติของปริซึม ทรงกระบอก กรวย ลูกบอล ปิรามิด และตัวเลขสามมิติอื่นๆ บทความนี้มีเนื้อหาเกี่ยวกับการทบทวนลักษณะและคุณสมบัติของพีระมิดฐานหกเหลี่ยมโดยละเอียด

ปิรามิดใดที่จะศึกษา

พีระมิดหกเหลี่ยมปกติคือรูปในอวกาศ ซึ่งถูกจำกัดด้วยรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าหนึ่งรูป และสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เหมือนกันหกรูป สามเหลี่ยมเหล่านี้สามารถเป็นด้านเท่ากันหมดได้ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ปิรามิดนี้แสดงอยู่ด้านล่าง

รูปเดียวกันแสดงไว้ที่นี่ มีกรณีเดียวเท่านั้นที่หันด้านข้างเข้าหาเครื่องอ่าน และอีกกรณีหนึ่ง - มีขอบด้านข้าง

พีระมิดหกเหลี่ยมปกติมี 7 หน้าตามที่กล่าวไว้ข้างต้น มีจุดยอด 7 จุดและขอบ 12 จุด ปิรามิดทั้งหมดมีจุดยอดพิเศษจุดเดียวซึ่งแตกต่างจากปริซึมซึ่งเกิดจากจุดตัดของด้านข้างสามเหลี่ยม. สำหรับพีระมิดทั่วไปนั้น พีระมิดมีบทบาทสำคัญ เนื่องจากความสูงตั้งฉากจากฐานถึงฐานของรูปคือความสูง นอกจากนี้ ส่วนสูงจะแสดงด้วยตัวอักษร h.

ปิรามิดที่แสดงถูกเรียกถูกต้องด้วยเหตุผลสองประการ:

• ที่ฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเท่ากัน a และมุมเท่ากับ 120o;
• ความสูงของปิรามิด h ตัดรูปหกเหลี่ยมตรงจุดศูนย์กลาง (จุดตัดอยู่ที่ระยะห่างเท่ากันจากทุกด้านและจากจุดยอดทั้งหมดของรูปหกเหลี่ยม)

พื้นผิว

คุณสมบัติของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติจะพิจารณาจากคำจำกัดความของพื้นที่ ในการทำเช่นนี้ เป็นครั้งแรกที่มีประโยชน์ที่จะแฉร่างบนเครื่องบิน แผนผังแสดงไว้ด้านล่าง

จะเห็นได้ว่าพื้นที่กวาดและด้วยเหตุนี้พื้นผิวทั้งหมดของรูปที่พิจารณาจึงเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เหมือนกันหกรูปและหกเหลี่ยมหนึ่งรูป

เพื่อกำหนดพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยม S_{6 ใช้สูตรสากลสำหรับ n-gon ปกติ:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

โดยที่ a คือความยาวของด้านของรูปหกเหลี่ยม

พื้นที่ของสามเหลี่ยม S₃ ของด้านข้างสามารถพบได้หากคุณทราบค่าของความสูง h_b:

S₃=1/2h_ba.

เพราะทั้งหกสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากัน จากนั้นเราจะได้นิพจน์การทำงานเพื่อกำหนดพื้นที่ของปิรามิดหกเหลี่ยมที่มีฐานที่ถูกต้อง:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

ปริมาตรพีระมิด

ปริมาตรของพีระมิดฐานหกเหลี่ยมเป็นสมบัติที่สำคัญเช่นเดียวกับพื้นที่ ปริมาตรนี้คำนวณโดยสูตรทั่วไปสำหรับปิรามิดและกรวยทั้งหมด มาเขียนกันเถอะ:

V=1/3S_oh.

สัญลักษณ์ S_o คือพื้นที่ของฐานหกเหลี่ยม เช่น S_o=S _6.

แทนที่นิพจน์ข้างต้นสำหรับ S_{6 ในสูตรสำหรับ V เรามาถึงความเท่าเทียมกันขั้นสุดท้ายเพื่อกำหนดปริมาตรของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติ:}

V=√3/2a2h.

ตัวอย่างโจทย์เรขาคณิต

ในปิรามิดหกเหลี่ยมปกติ ขอบด้านข้างจะยาวเป็นสองเท่าของด้านฐาน เมื่อรู้ว่าส่วนหลังยาว 7 ซม. จึงจำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปนี้

คุณอาจเดาได้ วิธีแก้ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับการใช้นิพจน์ที่ได้รับข้างต้นสำหรับ S และ V อย่างไรก็ตาม จะใช้ไม่ได้ในทันที เนื่องจากเราไม่ทราบเส้นตั้งฉากและเส้นตั้งฉาก ความสูงของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติ มาคำนวณกัน

เส้นตั้งฉาก h_b สามารถกำหนดได้โดยพิจารณาจากสามเหลี่ยมมุมฉากที่สร้างจากด้าน b, a/2 และ h_{b b คือความยาวของขอบด้านข้าง ใช้เงื่อนไขของปัญหาเราได้รับ:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 ซม.}

ความสูง h ของพีระมิดสามารถกำหนดได้ในลักษณะเดียวกับเส้นตั้งฉาก แต่ตอนนี้ เราควรพิจารณาสามเหลี่ยมที่มีด้าน h, b และ a ซึ่งอยู่ภายในพีระมิด ส่วนสูงจะเป็น:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 ซม.}

จะเห็นได้ว่าค่าความสูงที่คำนวณได้นั้นน้อยกว่าค่าของเส้นตั้งฉาก ซึ่งเป็นความจริงสำหรับปิรามิดใดๆ

ตอนนี้คุณสามารถใช้นิพจน์สำหรับปริมาณและพื้นที่:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48ซม^3.

ดังนั้น หากต้องการกำหนดคุณลักษณะของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติให้ชัดเจน คุณจำเป็นต้องทราบพารามิเตอร์เชิงเส้น 2 ตัวใดๆ ของพีระมิดนั้น