เครื่องบินในอวกาศ. ตำแหน่งของเครื่องบินในอวกาศ

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

ระนาบคือวัตถุทรงเรขาคณิตซึ่งใช้คุณสมบัติในการสร้างการฉายภาพของจุดและเส้น เช่นเดียวกับเมื่อคำนวณระยะทางและมุมไดเฮดรัลระหว่างองค์ประกอบของตัวเลขสามมิติ เรามาพิจารณากันในบทความนี้ว่าสมการใดบ้างที่สามารถใช้ศึกษาตำแหน่งของระนาบในอวกาศได้

นิยามเครื่องบิน

ทุกคนลองนึกภาพตามสัญชาตญาณว่าจะพูดถึงเรื่องใด จากมุมมองทางเรขาคณิต ระนาบคือชุดของจุด เวกเตอร์ใดๆ ระหว่างนั้นต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์หนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น หากมีจุดต่าง ๆ อยู่ m จุดในอวกาศ จากนั้น m(m-1) / เวกเตอร์ที่แตกต่างกัน 2 ตัวสามารถสร้างจากจุดเหล่านั้นได้ โดยเชื่อมต่อจุดต่างๆ เป็นคู่ หากเวกเตอร์ทั้งหมดตั้งฉากกับทิศทางเดียว นี่เป็นเงื่อนไขเพียงพอที่จุด m ทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน

สมการทั่วไป

ในเรขาคณิตเชิงพื้นที่ มีการอธิบายระนาบโดยใช้สมการที่โดยทั่วไปประกอบด้วยพิกัดที่ไม่รู้จักสามพิกัดซึ่งสอดคล้องกับแกน x, y และ z ถึงรับสมการทั่วไปในพิกัดระนาบในอวกาศ สมมติว่ามีเวกเตอร์ n¯(A; B; C) และจุด M(x₀; y₀; z_{0). เมื่อใช้วัตถุทั้งสองนี้ เครื่องบินสามารถกำหนดได้ไม่ซ้ำกัน}

อันที่จริง สมมติว่ามีจุดที่สอง P(x; y; z) ซึ่งไม่ทราบพิกัด ตามคำจำกัดความข้างต้น เวกเตอร์ MP¯ ต้องตั้งฉากกับ n¯ นั่นคือผลคูณของสเกลาร์สำหรับพวกมันจะเท่ากับศูนย์ จากนั้นเราสามารถเขียนนิพจน์ต่อไปนี้:

(n¯MP¯)=0 หรือ

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

เปิดวงเล็บและแนะนำสัมประสิทธิ์ D ใหม่ เราได้นิพจน์:

Ax + By + Cz + D=0 โดยที่ D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

นิพจน์นี้เรียกว่าสมการทั่วไปสำหรับระนาบ สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้า x, y และ z สร้างพิกัดของเวกเตอร์ n¯(A; B; C) ตั้งฉากกับระนาบ มันตรงกับปกติและเป็นแนวทางสำหรับเครื่องบิน ในการหาสมการทั่วไป ไม่สำคัญว่าเวกเตอร์นี้มุ่งตรงไปที่ใด นั่นคือ เครื่องบินที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ n¯ และ -n¯ จะเหมือนกัน

รูปด้านบนแสดงระนาบ เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ และเส้นตั้งฉากกับระนาบ

ส่วนที่ถูกตัดโดยระนาบบนแกนและสมการที่สอดคล้องกัน

สมการทั่วไปอนุญาตให้ใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายเพื่อกำหนด inที่จุดที่ระนาบจะตัดแกนพิกัด สิ่งสำคัญคือต้องทราบข้อมูลนี้เพื่อให้มีแนวคิดเกี่ยวกับตำแหน่งในอวกาศของเครื่องบิน ตลอดจนเมื่อวาดภาพในภาพวาด

ในการหาจุดตัดที่มีชื่อ ให้ใช้สมการในกลุ่ม มันถูกเรียกว่าเพราะมันมีค่าของความยาวของเซ็กเมนต์ที่ตัดโดยระนาบบนแกนพิกัดอย่างชัดเจนเมื่อนับจากจุด (0; 0; 0) หาสมการนี้กันเถอะ

เขียนนิพจน์ทั่วไปสำหรับระนาบดังนี้:

Ax + By + Cz=-D

ส่วนซ้ายและขวาสามารถหารด้วย -D โดยไม่ละเมิดความเท่าเทียมกัน เรามี:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 หรือ

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

ออกแบบตัวหารของแต่ละเทอมด้วยสัญลักษณ์ใหม่ เราจะได้:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C แล้ว

x/p + y/q + z/r=1

นี่คือสมการที่กล่าวถึงข้างต้นในกลุ่ม ตามด้วยค่าของตัวหารของแต่ละเทอมระบุพิกัดของจุดตัดกับแกนที่สอดคล้องกันของระนาบ ตัวอย่างเช่น มันตัดแกน y ที่จุด (0; q; 0) สิ่งนี้เข้าใจง่ายหากคุณแทนที่พิกัด x และ z ศูนย์ลงในสมการ

โปรดทราบว่าหากไม่มีตัวแปรในสมการในกลุ่ม แสดงว่าระนาบไม่ตัดกับแกนที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น กำหนดนิพจน์:

x/p + y/q=1

หมายความว่าเครื่องบินจะตัดส่วน p และ q บนแกน x และ y ตามลำดับ แต่จะขนานกับแกน z

สรุปพฤติกรรมของเครื่องบินเมื่อการไม่มีตัวแปรบางตัวในสมการของเธอก็เป็นจริงเช่นกันสำหรับนิพจน์ประเภททั่วไป ดังแสดงในรูปด้านล่าง

สมการพาราเมทริกเวกเตอร์

มีสมการแบบที่สามที่อธิบายระนาบในอวกาศได้ มันถูกเรียกว่าเวกเตอร์พาราเมทริกเพราะมันถูกกำหนดโดยเวกเตอร์สองตัวที่อยู่ในระนาบและพารามิเตอร์สองตัวที่สามารถรับค่าอิสระโดยพลการ มาดูกันว่าสมการนี้หาได้อย่างไร

สมมติว่ามีเวกเตอร์ที่รู้จักสองสามตัว u ¯(a₁; b₁; c₁) และ v¯(a₂; b₂; c₂) หากไม่ขนานกัน สามารถใช้กำหนดระนาบเฉพาะได้ โดยกำหนดจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์เหล่านี้ที่จุดที่ทราบ M(x₀; y₀; z_{0). หากเวกเตอร์ MP¯ ตามอำเภอใจสามารถแสดงเป็นการรวมกันของเวกเตอร์เชิงเส้น u¯ และ v¯ แสดงว่าจุด P(x; y; z) อยู่ในระนาบเดียวกันกับ u¯, v¯ ดังนั้น เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้:}

MP¯=αu¯ + βv¯

หรือเขียนความเท่าเทียมกันนี้ในรูปของพิกัด เราจะได้:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

ความเท่าเทียมกันที่นำเสนอคือสมการเวกเตอร์พาราเมตริกสำหรับระนาบ ที่พื้นที่เวกเตอร์บนเครื่องบิน u¯ และ v¯ เรียกว่า generator

ต่อไป เมื่อแก้ปัญหา จะเห็นว่าสมการนี้สามารถลดรูปทั่วไปของระนาบได้อย่างไร

มุมระหว่างระนาบในอวกาศ

โดยสัญชาตญาณ เครื่องบินในพื้นที่ 3 มิติสามารถตัดหรือไม่ตัดก็ได้ ในกรณีแรก การหามุมระหว่างพวกมันเป็นเรื่องที่น่าสนใจ การคำนวณมุมนี้ยากกว่ามุมระหว่างเส้น เนื่องจากเรากำลังพูดถึงวัตถุเรขาคณิตไดฮีดรัล อย่างไรก็ตาม ไกด์เวคเตอร์ที่กล่าวถึงแล้วสำหรับเครื่องบินนั้นได้รับการช่วยเหลือแล้ว

มีการกำหนดทางเรขาคณิตว่ามุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบนั้นเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ไกด์ของพวกมันพอดี ลองแทนเวกเตอร์เหล่านี้เป็น n₁¯(a₁; b₁; c_{1) และ n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมันถูกกำหนดจากผลคูณสเกลาร์ นั่นคือมุมในช่องว่างระหว่างระนาบสามารถคำนวณได้โดยสูตร:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

ในที่นี้ โมดูลัสในตัวส่วนใช้เพื่อทิ้งค่าของมุมป้าน (ระหว่างระนาบที่ตัดกัน จะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 90 เสมอo).

ในรูปแบบพิกัด นิพจน์นี้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

ระนาบตั้งฉากกับขนาน

ถ้าระนาบตัดกันและมุมไดฮีดรัลที่เกิดขึ้นจากพวกมันคือ 90o พวกมันจะตั้งฉาก ตัวอย่างของระนาบดังกล่าวคือปริซึมสี่เหลี่ยมหรือลูกบาศก์ ตัวเลขเหล่านี้ประกอบด้วยเครื่องบินหกลำ ในแต่ละจุดยอดของตัวเลขที่มีชื่อมีระนาบสามระนาบตั้งฉากกัน

เพื่อค้นหาว่าระนาบที่พิจารณานั้นตั้งฉากหรือไม่ ก็เพียงพอที่จะคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ปกติของพวกมัน เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการตั้งฉากในพื้นที่ระนาบคือค่าศูนย์ของผลิตภัณฑ์นี้

ขนานเรียกว่าระนาบไม่ตัดกัน บางครั้งมีการกล่าวกันว่าระนาบคู่ขนานตัดกันที่อนันต์ เงื่อนไขของการขนานกันในพื้นที่ของระนาบเกิดขึ้นพร้อมกับเงื่อนไขนั้นสำหรับเวกเตอร์ทิศทาง n₁¯ และ n_{2¯ คุณสามารถตรวจสอบได้สองวิธี:}

1. คำนวณโคไซน์ของมุมไดฮีดรัล (cos(φ)) โดยใช้ผลคูณของสเกลาร์ หากระนาบขนานกัน ค่าจะเป็น 1.
2. พยายามแสดงเวกเตอร์ตัวหนึ่งผ่านอีกตัวหนึ่งโดยคูณด้วยจำนวนใดจำนวนหนึ่ง เช่น n₁¯=kn_{2¯ หากสามารถทำได้ ระนาบที่สอดคล้องกันคือขนาน}

รูปแสดงระนาบคู่ขนานกัน

ตอนนี้ มาดูตัวอย่างการแก้ปัญหาที่น่าสนใจสองข้อโดยใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับกัน

จะหารูปแบบทั่วไปจากสมการเวกเตอร์ได้อย่างไร

นี่คือนิพจน์เวกเตอร์พาราเมตริกสำหรับระนาบ เพื่อให้เข้าใจขั้นตอนการดำเนินการและกลเม็ดทางคณิตศาสตร์ได้ง่ายขึ้น ให้พิจารณาตัวอย่างเฉพาะ:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

ขยายนิพจน์นี้และแสดงพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

แล้ว:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

เปิดวงเล็บในนิพจน์สุดท้าย เราได้:

z=2x-2 + 3y - 6 หรือ

2x + 3y - z - 8=0

เราได้รับรูปแบบทั่วไปของสมการสำหรับระนาบที่ระบุในคำสั่งปัญหาในรูปแบบเวกเตอร์แล้ว

จะสร้างเครื่องบินผ่านสามจุดได้อย่างไร

มันเป็นไปได้ที่จะวาดระนาบเดียวผ่านสามจุดถ้าจุดเหล่านี้ไม่อยู่ในเส้นตรงบางเส้น อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหานี้ประกอบด้วยลำดับของการดำเนินการต่อไปนี้:

• ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์สองตัวโดยเชื่อมต่อจุดที่รู้จักเป็นคู่
• คำนวณผลคูณของพวกเขาและรับเวกเตอร์ปกติไปยังเครื่องบิน
• เขียนสมการทั่วไปโดยใช้เวกเตอร์ที่พบและจุดใดก็ได้ในสามจุด

มาดูตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมกันเถอะ คะแนนที่ได้รับ:

R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)

พิกัดของเวกเตอร์ทั้งสองคือ:

RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)

ผลคูณของพวกเขาจะเป็น:

n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)

หาพิกัดของจุด R เราจะได้สมการที่ต้องการ:

6x + 2y + 4z -10=0 หรือ

3x + y + 2z -5=0

ขอแนะนำให้ตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์โดยแทนที่พิกัดของจุดสองจุดที่เหลือลงในนิพจน์นี้:

สำหรับ P: 30 + (-3) + 24 -5=0;

สำหรับ Q: 31 + (-2) + 22 -5=0

โปรดทราบว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ แต่ให้เขียนสมการของระนาบในรูปแบบเวกเตอร์พาราเมตริกทันที