แนวคิดที่สำคัญทางคณิตศาสตร์คือฟังก์ชัน ด้วยความช่วยเหลือ คุณสามารถเห็นภาพกระบวนการต่างๆ ที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติ สะท้อนความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณบางอย่างโดยใช้สูตร ตาราง และรูปภาพบนกราฟ ตัวอย่างคือการพึ่งพาความดันของชั้นของเหลวในร่างกายตามความลึกของการแช่ การเร่งความเร็ว - ต่อการกระทำของแรงบางอย่างบนวัตถุ อุณหภูมิที่เพิ่มขึ้น - กับพลังงานที่ส่งผ่าน และกระบวนการอื่นๆ อีกมากมาย การศึกษาฟังก์ชันเกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟ การอธิบายคุณสมบัติ ขอบเขตและค่า ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง จุดสำคัญในกระบวนการนี้คือการหาจุดสุดขั้ว เกี่ยวกับวิธีการทำให้ถูกต้องและการสนทนาจะดำเนินต่อไป
เกี่ยวกับแนวคิดในตัวอย่างเฉพาะ
ในทางการแพทย์ การวางแผนกราฟการทำงานสามารถบอกเกี่ยวกับความก้าวหน้าของโรคในร่างกายของผู้ป่วยได้ โดยสะท้อนให้เห็นสภาพของเขาด้วยสายตา สมมติว่าเวลาเป็นวันถูกพล็อตตามแกน OX และอุณหภูมิของร่างกายมนุษย์ถูกพล็อตตามแกน OY ตัวเลขแสดงให้เห็นชัดเจนว่าตัวบ่งชี้นี้เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วอย่างไรและแล้วมันก็ตก นอกจากนี้ยังง่ายต่อการสังเกตจุดเอกพจน์ที่สะท้อนถึงช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นก่อนหน้านี้เริ่มลดลงและในทางกลับกัน นี่คือจุดสุดขั้ว นั่นคือ ค่าวิกฤต (สูงสุดและต่ำสุด) ในกรณีนี้คืออุณหภูมิของผู้ป่วย หลังจากนั้นจะเกิดการเปลี่ยนแปลงในสภาพของเขา
มุมเอียง
มันง่ายที่จะตัดสินจากรูปว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร หากเส้นตรงของกราฟสูงขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป แสดงว่าเป็นค่าบวก และยิ่งชันมากเท่าไร ค่าอนุพันธ์ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เมื่อมุมเอียงเพิ่มขึ้น ในช่วงที่มีการลดลง ค่านี้จะใช้ค่าลบ เปลี่ยนเป็นศูนย์ที่จุดสุดขั้ว และกราฟของอนุพันธ์ในกรณีหลังจะถูกวาดขนานกับแกน OX
กระบวนการอื่นใดควรได้รับการปฏิบัติในลักษณะเดียวกัน แต่สิ่งที่ดีที่สุดเกี่ยวกับแนวคิดนี้สามารถบอกการเคลื่อนไหวของร่างกายต่างๆ ได้อย่างชัดเจนในกราฟ
การเคลื่อนไหว
สมมุติวัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง โดยเพิ่มความเร็วเท่าๆ กัน ในช่วงเวลานี้ การเปลี่ยนแปลงในพิกัดของร่างกายแสดงให้เห็นกราฟเส้นโค้ง ซึ่งนักคณิตศาสตร์จะเรียกว่ากิ่งก้านของพาราโบลา ในขณะเดียวกัน ฟังก์ชันก็เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง เนื่องจากตัวบ่งชี้พิกัดจะเปลี่ยนเร็วขึ้นและเร็วขึ้นทุกวินาที กราฟความเร็วแสดงพฤติกรรมของอนุพันธ์ ซึ่งค่านั้นก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าการเคลื่อนไหวไม่มีจุดวิกฤต
มันจะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด แต่ถ้าจู่ๆ ร่างกายก็ตัดสินใจช้าลง ให้หยุดแล้วเริ่มเคลื่อนไหวในที่อื่นทิศทาง? ในกรณีนี้ ตัวบ่งชี้พิกัดจะเริ่มลดลง และฟังก์ชันจะส่งผ่านค่าวิกฤตและเปลี่ยนจากการเพิ่มขึ้นเป็นลดลง
ในตัวอย่างนี้ คุณสามารถเข้าใจได้อีกครั้งว่าจุดสุดขั้วบนกราฟฟังก์ชันปรากฏขึ้นในช่วงเวลาที่เลิกจำเจ
ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์
อธิบายไว้ก่อนหน้านี้อย่างชัดเจนว่าอนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันโดยพื้นฐานแล้ว การปรับแต่งนี้มีความหมายทางกายภาพ จุดสุดขีดเป็นพื้นที่ที่สำคัญบนแผนภูมิ เป็นไปได้ที่จะค้นหาและตรวจจับพวกมันโดยการคำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ซึ่งกลายเป็นศูนย์
มีสัญญาณอีกอันหนึ่งซึ่งเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว อนุพันธ์ในตำแหน่งของการผันแปรดังกล่าวจะเปลี่ยนเครื่องหมาย: จาก "+" เป็น "-" ในพื้นที่สูงสุดและจาก "-" เป็น "+" ในภูมิภาคต่ำสุด
การเคลื่อนไหวภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง
ลองนึกภาพอีกสถานการณ์หนึ่ง เด็กๆ ที่กำลังเล่นบอลอยู่ก็โยนมันทิ้งไปจนมันเริ่มขยับเป็นมุมถึงขอบฟ้า ในช่วงเริ่มต้น ความเร็วของวัตถุนี้มากที่สุด แต่ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง มันเริ่มลดลง และในแต่ละวินาทีด้วยค่าเดียวกัน เท่ากับประมาณ 9.8 m/s2. นี่คือค่าความเร่งที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงของโลกในระหว่างการตกอย่างอิสระ บนดวงจันทร์ มันจะเล็กกว่าประมาณหกเท่า
กราฟแสดงการเคลื่อนที่ของร่างกายเป็นรูปพาราโบลามีกิ่งก้านลง จะหาจุดสุดขั้วได้อย่างไร? ในกรณีนี้ นี่คือจุดยอดของฟังก์ชัน โดยที่ความเร็วของร่างกาย (ลูกบอล) มีค่าเป็นศูนย์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะกลายเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ ทิศทางและด้วยเหตุนี้ค่าของความเร็วจึงเปลี่ยนไปในทางตรงข้าม ร่างกายโบยบินเร็วขึ้นทุกวินาที และเร่งความเร็วเท่ากัน - 9.8 m/s2.
อนุพันธ์อันดับสอง
ในกรณีก่อนหน้านี้ กราฟของโมดูลัสความเร็วจะถูกวาดเป็นเส้นตรง บรรทัดนี้ถูกชี้ลงเป็นอันดับแรก เนื่องจากมูลค่าของปริมาณนี้ลดลงอย่างต่อเนื่อง เมื่อถึงศูนย์ ณ จุดใดจุดหนึ่งในเวลา ตัวบ่งชี้ของค่านี้เริ่มเพิ่มขึ้น และทิศทางของการแสดงกราฟิกของโมดูลความเร็วเปลี่ยนแปลงไปอย่างมาก เส้นกำลังชี้ขึ้น
ความเร็วซึ่งเป็นอนุพันธ์เวลาของพิกัดก็มีจุดวิกฤตเช่นกัน ในภูมิภาคนี้ ฟังก์ชัน เริ่มลดลง เริ่มเพิ่มขึ้น นี่คือตำแหน่งของจุดสุดขั้วของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ในกรณีนี้ ความชันของเส้นสัมผัสจะกลายเป็นศูนย์ และความเร่งซึ่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลาเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+" และการเคลื่อนที่จากจังหวะที่ช้าสม่ำเสมอก็จะถูกเร่งอย่างสม่ำเสมอ
แผนภูมิอัตราเร่ง
ลองนึกภาพสี่ภาพดู แต่ละคนแสดงกราฟของการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาของปริมาณทางกายภาพเช่นความเร่ง ในกรณีของ "A" ค่าจะยังคงเป็นบวกและคงที่ ซึ่งหมายความว่าความเร็วของร่างกายเช่นพิกัดเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ถ้าลองนึกภาพว่าวัตถุจะเคลื่อนที่ในลักษณะนี้เป็นเวลานานเป็นอนันต์ ฟังก์ชันที่สะท้อนการพึ่งพาพิกัดตรงเวลาจะกลายเป็นการเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง จากนี้ไปก็ไม่มีภูมิภาคที่สำคัญ นอกจากนี้ยังไม่มีจุดสุดโต่งบนกราฟของอนุพันธ์ กล่าวคือ ความเร็วที่เปลี่ยนแปลงเชิงเส้น
เช่นเดียวกันกับตัวพิมพ์ "B" ที่มีการเร่งความเร็วเป็นบวกและเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง จริง แผนผังพิกัดและความเร็วจะค่อนข้างซับซ้อนที่นี่
เมื่อความเร่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์
ดูภาพ "B" คุณจะเห็นภาพที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงซึ่งบ่งบอกถึงการเคลื่อนไหวของร่างกาย ความเร็วจะแสดงเป็นภาพกราฟิกเป็นรูปพาราโบลาโดยมีกิ่งก้านชี้ลง หากเราต่อบรรทัดอธิบายการเปลี่ยนแปลงความเร่งจนตัดกับแกน OX และต่อไป เราจะจินตนาการได้ว่าค่าวิกฤตนี้มีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่ ความเร็วของวัตถุจะเพิ่มขึ้น มากขึ้นเรื่อยๆ จุดสุดขั้วของอนุพันธ์ของฟังก์ชันพิกัดจะอยู่ที่ด้านบนสุดของพาราโบลา หลังจากนั้นร่างกายจะเปลี่ยนธรรมชาติของการเคลื่อนไหวอย่างรุนแรงและเริ่มเคลื่อนไปในทิศทางอื่น
ในกรณีหลัง "G" ธรรมชาติของการเคลื่อนไหวไม่สามารถกำหนดได้อย่างแม่นยำ ที่นี่เรารู้เพียงว่าไม่มีการเร่งความเร็วในช่วงเวลาหนึ่งภายใต้การพิจารณา ซึ่งหมายความว่าวัตถุสามารถอยู่กับที่หรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
งานเพิ่มพิกัด
ไปต่อกันที่งานที่มักพบในการศึกษาพีชคณิตที่โรงเรียนกันและเสนอให้การเตรียมตัวสอบ รูปด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชัน จำเป็นต้องคำนวณผลรวมของคะแนนสูงสุด
ลองทำสิ่งนี้สำหรับแกน y โดยกำหนดพิกัดของบริเวณวิกฤตที่สังเกตเห็นการเปลี่ยนแปลงในลักษณะของฟังก์ชัน พูดง่ายๆ ก็คือ เราพบค่าตามแนวแกน x สำหรับจุดเปลี่ยนเว้า จากนั้นจึงดำเนินการเพิ่มเงื่อนไขผลลัพธ์ ตามกราฟจะเห็นได้ชัดว่าค่าเหล่านี้ใช้ค่าต่อไปนี้: -8; -7; -5; -3; -2; หนึ่ง; 3. รวมกันได้ -21 ซึ่งเป็นคำตอบ
ทางออกที่เหมาะสม
ไม่จำเป็นต้องอธิบายว่าการเลือกวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมมีความสำคัญเพียงใดในการปฏิบัติงานจริง ท้ายที่สุดมีหลายวิธีในการบรรลุเป้าหมายและวิธีที่ดีที่สุดตามกฎคือทางเดียวเท่านั้น นี่เป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่ง ตัวอย่างเช่น เมื่อออกแบบเรือ ยานอวกาศ และเครื่องบิน โครงสร้างทางสถาปัตยกรรมเพื่อค้นหารูปร่างที่เหมาะสมที่สุดของวัตถุที่มนุษย์สร้างขึ้นเหล่านี้
ความเร็วของยานพาหนะส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับความสามารถในการลดความต้านทานที่พวกเขาพบเมื่อเคลื่อนที่ผ่านน้ำและอากาศ จากการบรรทุกเกินพิกัดที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงและตัวชี้วัดอื่น ๆ อีกมากมาย เรือในทะเลต้องการคุณสมบัติเช่นความมั่นคงในช่วงที่เกิดพายุสำหรับเรือในแม่น้ำ ร่างขั้นต่ำเป็นสิ่งสำคัญ เมื่อคำนวณการออกแบบที่เหมาะสม จุดสุดขีดบนกราฟสามารถให้แนวคิดเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่ซับซ้อนได้ดีที่สุด งานประเภทนี้มักจะจะได้รับการแก้ไขในระบบเศรษฐกิจ ในพื้นที่เศรษฐกิจ ในสถานการณ์ชีวิตอื่นๆ อีกมากมาย
จากประวัติศาสตร์สมัยโบราณ
ปัญหาใหญ่เข้าครอบงำแม้กระทั่งปราชญ์ในสมัยโบราณ นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกประสบความสำเร็จในการไขความลึกลับของพื้นที่และปริมาตรด้วยการคำนวณทางคณิตศาสตร์ พวกเขาเป็นคนแรกที่เข้าใจว่าบนระนาบของตัวเลขต่างๆ ที่มีเส้นรอบวงเท่ากัน วงกลมจะมีพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุดเสมอ ในทำนองเดียวกัน ลูกบอลจะได้รับปริมาตรสูงสุดจากวัตถุอื่นๆ ในอวกาศที่มีพื้นที่ผิวเดียวกัน บุคคลที่มีชื่อเสียงเช่น Archimedes, Euclid, Aristotle, Apollonius อุทิศตนเพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว นกกระสาประสบความสำเร็จอย่างมากในการค้นหาจุดสุดยอดซึ่งใช้การคำนวณสร้างอุปกรณ์อันชาญฉลาด ซึ่งรวมถึงเครื่องจักรอัตโนมัติที่เคลื่อนที่ด้วยไอน้ำ ปั๊ม และเทอร์ไบน์ที่ทำงานบนหลักการเดียวกัน
การก่อสร้างคาร์เธจ
มีตำนาน เนื้อเรื่องมีพื้นฐานมาจากการแก้ปัญหาสุดโต่งอย่างหนึ่ง ผลลัพธ์ของแนวทางทางธุรกิจที่แสดงให้เห็นโดยเจ้าหญิงฟินีเซียนซึ่งหันไปหาปราชญ์เพื่อขอความช่วยเหลือคือการสร้างคาร์เธจ ที่ดินสำหรับเมืองโบราณและมีชื่อเสียงแห่งนี้มอบให้ Dido (นั่นคือชื่อของผู้ปกครอง) โดยผู้นำของชนเผ่าแอฟริกันคนหนึ่ง พื้นที่ของการจัดสรรดูเหมือนจะไม่ใหญ่มากสำหรับเขาในตอนแรกเนื่องจากตามสัญญาจะต้องมีการเคลือบออกไซด์ แต่เจ้าหญิงสั่งให้ทหารของเธอตัดมันเป็นเส้นบาง ๆ แล้วทำเข็มขัด มันกลับกลายเป็นว่านานมากจนครอบคลุมไซต์ที่ที่ทั้งเมืองเข้ากันได้
ต้นกำเนิดของแคลคูลัส
และตอนนี้ขอย้ายจากสมัยโบราณไปสู่ยุคหลังๆ ที่น่าสนใจคือในศตวรรษที่ 17 เคปเลอร์ได้รับแจ้งให้เข้าใจพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยการพบปะกับผู้ขายไวน์ พ่อค้ามีความรอบรู้ในอาชีพของเขามากจนสามารถกำหนดปริมาตรของเครื่องดื่มในถังได้อย่างง่ายดายเพียงแค่ลดสายรัดเหล็กลงไป นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงได้พยายามแก้ปัญหานี้ด้วยตัวเอง ปรากฎว่าช่างฝีมือที่ชำนาญในสมัยนั้นคุ้นเคยกับการทำเรือในลักษณะที่พวกเขาจะมีความสามารถสูงสุดที่ความสูงและรัศมีที่แน่นอนของเส้นรอบวงของวงแหวนยึด
นี่คือเหตุผลของเคปเลอร์สำหรับการไตร่ตรองเพิ่มเติม Bochars ได้ค้นพบวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดด้วยการค้นหาที่ยาวนาน ความผิดพลาด และความพยายามครั้งใหม่ โดยถ่ายทอดประสบการณ์ของพวกเขาจากรุ่นสู่รุ่น แต่เคปเลอร์ต้องการเร่งกระบวนการและเรียนรู้วิธีการทำเช่นเดียวกันในเวลาอันสั้นผ่านการคำนวณทางคณิตศาสตร์ การพัฒนาทั้งหมดของเขา หยิบขึ้นมาโดยเพื่อนร่วมงาน กลายเป็นทฤษฎีบทที่ตอนนี้รู้จักของแฟร์มาต์และนิวตัน - ไลบนิซ
ปัญหาพื้นที่สูงสุด
ลองนึกภาพว่าเรามีลวดที่มีความยาว 50 ซม. วิธีทำสี่เหลี่ยมให้มีพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุด?
เริ่มตัดสินใจควรดำเนินการจากความจริงที่เรียบง่ายและเป็นที่รู้จัก เป็นที่ชัดเจนว่าเส้นรอบวงของร่างของเราจะเป็น 50 ซม. นอกจากนี้ยังประกอบด้วยความยาวทั้งสองข้างเป็นสองเท่า ซึ่งหมายความว่า เมื่อกำหนดให้ตัวหนึ่งเป็น "X" อีกตัวหนึ่งสามารถแสดงเป็น (25 - X)
จากนี้ไปก็ได้พื้นที่เท่ากับ X (25 - X) นิพจน์นี้สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันที่รับค่าต่างๆ มากมาย การแก้ปัญหาต้องค้นหาค่าสูงสุด ซึ่งหมายความว่าคุณควรหาจุดสุดขั้ว
ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์อันดับ 1 และนำมาเท่ากับศูนย์ ผลลัพธ์คือสมการอย่างง่าย: 25 - 2X=0.
จากมัน เราเรียนรู้ว่าด้านใดด้านหนึ่ง X=12, 5.
ดังนั้น อีก: 25 – 12, 5=12, 5.
ปรากฎว่าทางแก้ปัญหาจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 12.5 ซม.
วิธีหาความเร็วสูงสุด
ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ลองนึกภาพว่ามีร่างกายที่มีการเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงอธิบายโดยสมการ S=- t3 + 9t2 – 24t – 8 โดยที่ระยะทาง การเดินทางจะแสดงเป็นเมตร และเวลาเป็นวินาที จำเป็นต้องหาความเร็วสูงสุด ทำอย่างไร? ดาวน์โหลด หาความเร็ว นั่นคืออนุพันธ์อันดับแรก
เราได้สมการ: V=- 3t2 + 18t – 24 ทีนี้ เพื่อแก้ปัญหานี้ เราต้องหาจุดสุดขั้วอีกครั้ง สิ่งนี้จะต้องทำในลักษณะเดียวกับในงานที่แล้ว หาอนุพันธ์อันดับแรกของความเร็วและหาค่าเท่ากับศูนย์
เราได้: - 6t + 18=0 ดังนั้น t=3 s นี่คือเวลาที่ความเร็วของร่างกายได้รับค่าวิกฤต เราแทนที่ข้อมูลที่ได้รับลงในสมการความเร็วแล้วได้: V=3 m/s
แต่จะเข้าใจได้อย่างไรว่านี่คือความเร็วสูงสุดเพราะจุดวิกฤตของฟังก์ชันอาจเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดได้ ในการตรวจสอบคุณต้องหาวินาทีอนุพันธ์ของความเร็ว มันแสดงเป็นเลข 6 ด้วยเครื่องหมายลบ ซึ่งหมายความว่าจุดที่พบคือค่าสูงสุด และในกรณีของค่าบวกของอนุพันธ์อันดับสอง มันจะมีค่าต่ำสุด ดังนั้นวิธีแก้ไขที่พบจึงกลายเป็นว่าถูกต้อง
งานที่ยกตัวอย่างเป็นเพียงส่วนหนึ่งของงานที่สามารถแก้ไขได้โดยการหาจุดสุดโต่งของฟังก์ชัน อันที่จริงยังมีอีกมาก และความรู้ดังกล่าวได้เปิดโอกาสอันไร้ขีดจำกัดสำหรับอารยธรรมมนุษย์