Polyhedra ได้รับความสนใจจากนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์แม้ในสมัยโบราณ ชาวอียิปต์สร้างปิรามิด และชาวกรีกศึกษา "รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ" พวกมันบางครั้งเรียกว่า Platonic solids "รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบดั้งเดิม" ประกอบด้วยหน้าแบน ขอบตรง และจุดยอด แต่คำถามหลักคือกฎส่วนต่างๆ ที่แยกจากกันเหล่านี้ต้องปฏิบัติตามเสมอ เช่นเดียวกับเงื่อนไขอื่นๆ ทั่วโลกที่ต้องปฏิบัติตามเพื่อให้วัตถุมีคุณสมบัติเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม คำตอบสำหรับคำถามนี้จะนำเสนอในบทความ
ปัญหาในความหมาย
ตัวเลขนี้ประกอบด้วยอะไรบ้าง? รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นรูปทรงทึบปิดที่มีหน้าเรียบและขอบตรง ดังนั้นปัญหาแรกของคำจำกัดความจึงสามารถเรียกได้ว่าด้านข้างของรูปได้อย่างแม่นยำ ไม่ใช่ว่าทุกใบหน้านอนอยู่ในระนาบจะเป็นสัญลักษณ์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมเสมอไป ลองดู "ทรงกระบอกสามเหลี่ยม" เป็นตัวอย่าง ประกอบด้วยอะไรบ้าง? ส่วนหนึ่งของพื้นผิวสามคู่ระนาบแนวตั้งที่ตัดกันไม่ถือเป็นรูปหลายเหลี่ยม เหตุผลก็คือมันไม่มีจุดยอด พื้นผิวของร่างดังกล่าวเกิดขึ้นจากรังสีสามจุดที่มาบรรจบกันที่จุดเดียว
อีกหนึ่งปัญหา - เครื่องบิน. ในกรณีของ "ทรงกระบอกสามเหลี่ยม" จะอยู่ในส่วนที่ไม่จำกัด ตัวเลขจะถือว่านูนถ้าส่วนของเส้นที่เชื่อมต่อจุดสองจุดในชุดอยู่ในนั้นด้วย ให้เรานำเสนอคุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของพวกเขา สำหรับเซตนูน เซตของจุดร่วมของเซตนั้นเหมือนกัน มีตัวเลขอีกแบบหนึ่ง เหล่านี้เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม 2 มิติที่ไม่นูนที่มีรอยบากหรือรู
รูปทรงที่ไม่ใช่รูปทรงหลายเหลี่ยม
ชุดจุดแบบแบนอาจแตกต่างกัน (เช่น ไม่นูน) และไม่ตรงตามคำจำกัดความปกติของรูปทรงหลายเหลี่ยม แม้จะผ่านมันก็ยังถูกจำกัดด้วยส่วนของเส้น เส้นของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนประกอบด้วยตัวเลขนูน อย่างไรก็ตาม วิธีการนิยามนี้ไม่รวมตัวเลขที่เข้าสู่อนันต์ ตัวอย่างนี้คือรังสีสามตัวที่ไม่มาบรรจบกันที่จุดเดียวกัน แต่ในขณะเดียวกัน มันก็เชื่อมต่อกับจุดยอดของอีกร่างหนึ่ง ตามเนื้อผ้า มันเป็นสิ่งสำคัญสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยพื้นผิวเรียบ แต่เมื่อเวลาผ่านไป แนวคิดก็ขยายออกไป ซึ่งนำไปสู่การปรับปรุงที่สำคัญในการทำความเข้าใจชั้นโพลิเฮดราที่ "แคบกว่า" ดั้งเดิม รวมถึงการเกิดขึ้นของคำจำกัดความใหม่ที่กว้างกว่าเดิม
ถูกต้อง
มาแนะนำอีกหนึ่งคำจำกัดความกัน รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติคือแบบที่แต่ละหน้ามีความสม่ำเสมอกันรูปหลายเหลี่ยมนูน และจุดยอดทั้งหมด "เหมือนกัน" ซึ่งหมายความว่าแต่ละจุดยอดมีจำนวนรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน ใช้คำจำกัดความนี้ คุณจะพบรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้ารูป
ก้าวแรกสู่ทฤษฎีบทออยเลอร์สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยม
ชาวกรีกรู้เรื่องรูปหลายเหลี่ยมซึ่งปัจจุบันเรียกว่ารูปดาวห้าแฉก รูปหลายเหลี่ยมนี้สามารถเรียกได้ว่าปกติเพราะทุกด้านยาวเท่ากัน นอกจากนี้ยังมีข้อสังเกตที่สำคัญอีกประการหนึ่ง มุมระหว่างสองด้านที่อยู่ติดกันจะเท่ากันเสมอ อย่างไรก็ตาม เมื่อวาดในระนาบ มันไม่ได้กำหนดชุดนูน และด้านข้างของรูปทรงหลายเหลี่ยมตัดกัน อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป นักคณิตศาสตร์ได้พิจารณาแนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ "ไม่นูน" มานานแล้ว รูปดาวห้าแฉกเป็นหนึ่งในนั้น อนุญาตให้ใช้ "รูปหลายเหลี่ยมดาว" ได้ มีการค้นพบตัวอย่างใหม่ของ "รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ" หลายตัวอย่าง ตอนนี้พวกเขาถูกเรียกว่า Kepler-Poinsot polyhedra ต่อมา G. S. M. Coxeter และ Branko Grünbaum ได้ขยายกฎและค้นพบ "รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ" อื่นๆ
สูตรหลายหน้า
การศึกษาอย่างเป็นระบบของตัวเลขเหล่านี้เริ่มต้นค่อนข้างเร็วในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์เป็นคนแรกที่สังเกตเห็นว่าสูตรที่เกี่ยวกับจำนวนจุดยอด ใบหน้า และขอบของพวกมันมีรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน 3 มิติ
เธอหน้าตาประมาณนี้
V + F - E=2, โดยที่ V คือจำนวนจุดยอดหลายเหลี่ยม F คือจำนวนขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม และ E คือจำนวนหน้า
ลีโอนาร์ด ออยเลอร์ เป็นชาวสวิสนักคณิตศาสตร์ซึ่งถือเป็นหนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและมีประสิทธิผลมากที่สุดตลอดกาล เขาตาบอดมาเกือบทั้งชีวิต แต่การเสียสายตาทำให้เขามีเหตุผลที่จะทำงานมากขึ้น มีหลายสูตรที่ตั้งชื่อตามเขา และสูตรที่เราเพิ่งดูบางครั้งเรียกว่าสูตรออยเลอร์โพลิเฮดรา
มีข้อชี้แจงหนึ่งข้อ. อย่างไรก็ตาม สูตรของออยเลอร์ใช้ได้กับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์บางประการเท่านั้น พวกเขาอยู่ในความจริงที่ว่าแบบฟอร์มไม่ควรมีรู และเป็นที่ยอมรับไม่ได้ที่จะข้ามไปเอง รูปทรงหลายเหลี่ยมไม่สามารถประกอบขึ้นจากสองส่วนที่เชื่อมต่อเข้าด้วยกัน เช่น ลูกบาศก์สองลูกบาศก์ที่มีจุดยอดเดียวกัน ออยเลอร์กล่าวถึงผลการวิจัยของเขาในจดหมายถึง Christian Goldbach ในปี 1750 ต่อมาเขาตีพิมพ์บทความสองฉบับซึ่งเขาอธิบายว่าเขาพยายามค้นหาหลักฐานการค้นพบใหม่ของเขาอย่างไร มีรูปแบบที่ให้คำตอบที่แตกต่างกันสำหรับ V + F - E คำตอบของผลรวม F + V - E=X เรียกว่าคุณลักษณะออยเลอร์ เธอมีแง่มุมอื่น รูปร่างบางอย่างอาจมีลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ที่เป็นลบ
ทฤษฎีกราฟ
บางครั้งมีการอ้างว่าเดส์การตส์ได้รับทฤษฎีบทออยเลอร์มาก่อน แม้ว่านักวิทยาศาสตร์คนนี้จะค้นพบข้อเท็จจริงเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมสามมิติที่จะช่วยให้เขาได้สูตรที่ต้องการ แต่เขาก็ไม่ได้ทำขั้นตอนเพิ่มเติมนี้ วันนี้ออยเลอร์ได้รับการยกย่องว่าเป็น "บิดา" ของทฤษฎีกราฟ เขาแก้ปัญหาของสะพาน Konigsberg โดยใช้ความคิดของเขา แต่นักวิทยาศาสตร์ไม่ได้มองที่รูปทรงหลายเหลี่ยมในบริบททฤษฎีกราฟ ออยเลอร์พยายามพิสูจน์สูตรโดยอิงจากการสลายตัวของรูปทรงหลายเหลี่ยมให้เป็นส่วนที่เรียบง่ายกว่า ความพยายามนี้ขาดมาตรฐานสมัยใหม่ในการพิสูจน์ แม้ว่าออยเลอร์ไม่ได้ให้เหตุผลที่ถูกต้องในครั้งแรกสำหรับสูตรของเขา แต่ก็ไม่สามารถพิสูจน์การคาดเดาที่ยังไม่ได้สร้างได้ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ที่ได้พิสูจน์ในภายหลัง ทำให้สามารถใช้ทฤษฎีบทออยเลอร์ได้ในปัจจุบันเช่นกัน หลักฐานแรกได้รับโดยนักคณิตศาสตร์ Adrian Marie Legendre
พิสูจน์สูตรออยเลอร์
ออยเลอร์เริ่มสร้างสูตรรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นทฤษฎีบทบนรูปทรงหลายเหลี่ยม ทุกวันนี้ มักได้รับการปฏิบัติในบริบททั่วไปของกราฟที่เชื่อมโยงกัน เช่น โครงสร้างประกอบด้วยจุดและส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อกันซึ่งอยู่ในส่วนเดียวกัน Augustin Louis Cauchy เป็นคนแรกที่พบความสัมพันธ์ที่สำคัญนี้ มันทำหน้าที่เป็นหลักฐานของทฤษฎีบทออยเลอร์ โดยพื้นฐานแล้วเขาสังเกตเห็นว่ากราฟของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน (หรือสิ่งที่เรียกว่าวันนี้) เป็นโฮโมมอร์ฟิคทอพอโลยีต่อทรงกลมมีกราฟที่เชื่อมต่อระนาบ มันคืออะไร? กราฟระนาบคือกราฟที่วาดในระนาบในลักษณะที่ขอบบรรจบกันหรือตัดกันที่จุดยอดเท่านั้น นี่คือจุดเชื่อมต่อระหว่างทฤษฎีบทของออยเลอร์กับกราฟ
สิ่งหนึ่งที่บ่งชี้ถึงความสำคัญของผลลัพธ์คือ David Epstein สามารถรวบรวมหลักฐานที่แตกต่างกันสิบเจ็ดชิ้น มีหลายวิธีในการปรับสูตรพหุหน้าของออยเลอร์ ในแง่หนึ่ง การพิสูจน์ที่ชัดเจนที่สุดคือวิธีการที่ใช้การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ ผลลัพธ์สามารถพิสูจน์ได้วาดตามจำนวนขอบ ใบหน้า หรือจุดยอดของกราฟ
หลักฐานของ Rademacher และ Toeplitz
ที่น่าดึงดูดเป็นพิเศษคือข้อพิสูจน์ต่อไปนี้ของ Rademacher และ Toeplitz โดยอิงจากแนวทางของ Von Staudt เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทออยเลอร์ สมมติว่า G เป็นกราฟที่เชื่อมต่อซึ่งฝังอยู่ในระนาบ หากมีสคีมา คุณสามารถแยกหนึ่งขอบออกจากแต่ละขอบได้ เพื่อรักษาคุณสมบัติที่ยังคงเชื่อมต่ออยู่ มีการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างส่วนที่ถอดออกเพื่อไปยังกราฟที่เชื่อมต่อโดยไม่มีการปิดกับส่วนที่ไม่มีขอบ งานวิจัยนี้นำไปสู่การจำแนกประเภทของ "พื้นผิวที่ปรับทิศทางได้" ในแง่ของคุณลักษณะที่เรียกว่าออยเลอร์
โค้งจอร์แดน. ทฤษฎีบท
วิทยานิพนธ์หลักซึ่งใช้โดยตรงหรือโดยอ้อมในการพิสูจน์สูตรโพลิเฮดราของทฤษฎีบทออยเลอร์สำหรับกราฟ ขึ้นอยู่กับเส้นโค้งจอร์แดน แนวคิดนี้เกี่ยวข้องกับลักษณะทั่วไป มันบอกว่าเส้นโค้งปิดธรรมดาใดๆ ก็ตามแบ่งระนาบออกเป็นสามชุด: จุดบนเครื่องบิน ภายในและภายนอก เนื่องจากความสนใจในสูตรพหุหน้าหลายหน้าของออยเลอร์ที่พัฒนาขึ้นในศตวรรษที่สิบเก้า จึงมีความพยายามมากมายที่จะสรุปมัน งานวิจัยนี้วางรากฐานสำหรับการพัฒนาโทโพโลยีเกี่ยวกับพีชคณิตและเชื่อมโยงกับทฤษฎีพีชคณิตและตัวเลข
กลุ่มโมบิอุส
ไม่นานก็ค้นพบว่าพื้นผิวบางส่วนสามารถ "วางแนว" ในลักษณะที่สอดคล้องกันในระดับท้องถิ่นเท่านั้น ไม่ใช่ทั่วโลก กลุ่ม Möbius ที่รู้จักกันดีทำหน้าที่เป็นตัวอย่างพื้นผิว มันถูกค้นพบก่อนหน้านี้โดย Johann Listing แนวคิดนี้รวมถึงแนวคิดเกี่ยวกับประเภทของกราฟ: ตัวอธิบายจำนวนน้อยที่สุด g. ต้องเพิ่มพื้นผิวของทรงกลมและสามารถฝังไว้บนพื้นผิวที่ขยายออกไปในลักษณะที่ขอบบรรจบกันที่จุดยอดเท่านั้น ปรากฎว่าพื้นผิวที่หมุนได้ใดๆ ในอวกาศแบบยุคลิดถือได้ว่าเป็นทรงกลมที่มีด้ามจับจำนวนหนึ่ง
แผนภาพออยเลอร์
นักวิทยาศาสตร์ได้ค้นพบอีกครั้งซึ่งยังคงใช้มาจนถึงทุกวันนี้ ไดอะแกรมออยเลอร์ที่เรียกว่านี้เป็นการแสดงภาพกราฟิกของวงกลม มักใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเซตหรือกลุ่ม แผนภูมิมักจะมีสีที่กลมกลืนกันในบริเวณที่วงกลมทับซ้อนกัน เซตจะถูกแทนด้วยวงกลมหรือวงรีอย่างแม่นยำ แม้ว่าตัวเลขอื่นๆ ก็สามารถใช้สำหรับพวกมันได้ การรวมจะถูกแทนด้วยวงรีคาบเกี่ยวกันที่เรียกว่าวงกลมออยเลอร์
แทนเซตและเซตย่อย ข้อยกเว้นคือวงกลมที่ไม่ทับซ้อนกัน ไดอะแกรมออยเลอร์มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการแสดงภาพกราฟิกอื่นๆ พวกเขามักจะสับสน การแสดงภาพกราฟิกนี้เรียกว่าแผนภาพเวนน์ ทั้งสองเวอร์ชันอาจมีลักษณะเหมือนกันทั้งนี้ขึ้นอยู่กับชุดที่เป็นปัญหา อย่างไรก็ตาม ในไดอะแกรมเวนน์ วงกลมที่ทับซ้อนกันไม่จำเป็นต้องระบุถึงความเหมือนกันระหว่างชุด แต่เฉพาะความสัมพันธ์เชิงตรรกะที่เป็นไปได้เท่านั้นหากไม่มีป้ายกำกับวงกลมตัดกัน ทั้งสองตัวเลือกถูกนำมาใช้สำหรับการสอนทฤษฎีเซตซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการเคลื่อนไหวทางคณิตศาสตร์ครั้งใหม่ในปี 1960
เฟอร์มาต์และทฤษฎีบทออยเลอร์
ออยเลอร์ทิ้งร่องรอยที่เห็นได้ชัดเจนในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตได้รับการเสริมคุณค่าด้วยทฤษฎีบทที่ตั้งชื่อตามเขา นอกจากนี้ยังเป็นผลมาจากการค้นพบที่สำคัญอีกประการหนึ่ง นี่คือสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทลากรองจ์พีชคณิตทั่วไป ชื่อของออยเลอร์ยังสัมพันธ์กับทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์ด้วย มันบอกว่าถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะและ a เป็นจำนวนเต็มหารด้วย p ไม่ลงตัว ดังนั้น:
ap-1 - 1 หารด้วย p.
บางครั้งการค้นพบเดียวกันก็มีชื่อที่ต่างออกไป ซึ่งมักพบในวรรณคดีต่างประเทศ ฟังดูเหมือนทฤษฎีบทคริสต์มาสของแฟร์มาต์ การค้นพบนี้เป็นที่รู้จักจากจดหมายจากนักวิทยาศาสตร์ที่ส่งไปเมื่อวันที่ 25 ธันวาคม ค.ศ. 1640 แต่ตัวมันเองเคยถูกพบมาก่อน มันถูกใช้โดยนักวิทยาศาสตร์อีกคนชื่อ Albert Girard Fermat พยายามพิสูจน์ทฤษฎีของเขาเท่านั้น ผู้เขียนบอกใบ้ในจดหมายอีกฉบับหนึ่งว่าเขาได้รับแรงบันดาลใจจากวิธีการสืบเชื้อสายแบบอนันต์ แต่เขาไม่ได้ให้หลักฐานใด ๆ ต่อมา Eider ก็หันไปใช้วิธีเดียวกัน และถัดจากเขาไป - นักวิทยาศาสตร์ชื่อดังอีกมากมาย รวมทั้ง Lagrange, Gauss และ Minkosky
คุณลักษณะของตัวตน
ทฤษฎีบทน้อยของแฟร์มาต์เรียกอีกอย่างว่ากรณีพิเศษของทฤษฎีบทจากทฤษฎีจำนวนเนื่องจากออยเลอร์ ในทฤษฎีนี้ ฟังก์ชันเอกลักษณ์ของออยเลอร์นับจำนวนเต็มบวกจนถึงจำนวนเต็ม n ที่กำหนด พวกเขาเป็น coprime เกี่ยวกับน. ทฤษฎีบทออยเลอร์ในทฤษฎีจำนวนเขียนด้วยอักษรกรีก φ และดูเหมือน φ (n) มันสามารถกำหนดอย่างเป็นทางการมากขึ้นเป็นจำนวนของจำนวนเต็ม k ในช่วง 1 ≦ k ≦ n ซึ่งตัวหารร่วมมากที่สุด gcd(n, k) คือ 1 สัญกรณ์ φ(n) สามารถเรียกได้ว่าเป็นฟังก์ชันพีของออยเลอร์ จำนวนเต็ม k ของแบบฟอร์มนี้บางครั้งเรียกว่าผลรวม หัวใจของทฤษฎีจำนวน ฟังก์ชันเอกลักษณ์ของออยเลอร์คือการคูณ หมายความว่าถ้าตัวเลขสองตัว m และ n เป็นโคไพรม์ ดังนั้น φ(mn)=φ(m)φ(n) นอกจากนี้ยังมีบทบาทสำคัญในการกำหนดระบบการเข้ารหัส RSA
ฟังก์ชั่นออยเลอร์เปิดตัวในปี ค.ศ. 1763 อย่างไรก็ตาม ในขณะนั้นนักคณิตศาสตร์ไม่ได้เลือกสัญลักษณ์เฉพาะใด ๆ สำหรับมัน ในการตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1784 ออยเลอร์ได้ศึกษาฟังก์ชันนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้นและเลือกอักษรกรีก π เพื่อแสดงแทน เจมส์ ซิลเวสเตอร์เป็นผู้กำหนดคำว่า "ยอดรวม" สำหรับคุณลักษณะนี้ ดังนั้นจึงเรียกอีกอย่างว่าผลรวมของออยเลอร์ ผลรวม φ(n) ของจำนวนเต็มบวก n ที่มากกว่า 1 คือจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า n ที่ค่อนข้างเฉพาะจนถึง n.φ(1) ถูกกำหนดเป็น 1 ฟังก์ชันออยเลอร์หรือฟังก์ชัน phi(φ) คือ ทฤษฎีจำนวนที่สำคัญมาก ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะและลำดับของจำนวนเต็มที่เรียกว่าอย่างลึกซึ้ง