ปริมาตรของพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติ สูตรและตัวอย่างงาน

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

เมื่อศึกษารูปทรงเชิงพื้นที่ใดๆ ก็ตาม สิ่งสำคัญคือต้องรู้วิธีคำนวณปริมาตรของมัน บทความนี้มีสูตรสำหรับปริมาตรของพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติ และยังแสดงให้เห็นว่าควรใช้สูตรนี้อย่างไรโดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหา

พีระมิดอะไรที่เราพูดถึง

นักเรียนมัธยมปลายทุกคนรู้ว่าพีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมและรูปหลายเหลี่ยม หลังเป็นฐานของร่าง สามเหลี่ยมมีด้านร่วมด้านเดียวกับฐานและตัดกันที่จุดเดียว ซึ่งก็คือยอดปิรามิด

ปิรามิดแต่ละอันมีลักษณะยาวของด้านข้างของฐาน ความยาวของขอบด้านข้างและความสูง ส่วนหลังเป็นส่วนตั้งฉากโดยลดระดับไปที่ฐานจากด้านบนของรูป

พีระมิดสี่เหลี่ยมธรรมดาคือรูปที่มีฐานสี่เหลี่ยมซึ่งมีความสูงตัดกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ตรงกลาง บางทีตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดของปิรามิดประเภทนี้คือโครงสร้างหินอียิปต์โบราณ ด้านล่างเป็นรูปถ่ายปิรามิดแห่ง Cheops

รูปที่ศึกษามีห้าหน้า โดยสี่หน้าเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเหมือนกัน นอกจากนี้ยังมีจุดยอด 5 จุด โดยสี่จุดอยู่ในฐาน และขอบแปดขอบ (ขอบฐาน 4 จุดและขอบด้านข้าง 4 ด้าน)

สูตรปริมาตรของปิรามิดสี่เหลี่ยมนั้นถูกต้อง

ปริมาตรของตัวเลขที่เป็นปัญหาเป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ที่ถูกจำกัดด้วยห้าด้าน ในการคำนวณปริมาตรนี้ เราใช้การพึ่งพาพื้นที่ของสไลซ์ที่ขนานกับฐานของปิรามิด S_z บนพิกัดแนวตั้ง z:

S_z=S_o (h - z/h)²

ที่นี่ S_o คือพื้นที่ของฐานสี่เหลี่ยม หากเราแทนที่ z=h ในนิพจน์ที่เป็นลายลักษณ์อักษร เราก็จะได้ค่าศูนย์สำหรับ S_z ค่าของ z นี้สอดคล้องกับสไลซ์ที่จะมีเฉพาะยอดปิรามิดเท่านั้น ถ้า z=0 เราก็จะได้ค่าของพื้นที่ฐาน S_o.

มันง่ายที่จะหาปริมาตรของปิรามิดถ้าคุณรู้ฟังก์ชัน S_z(z) เท่านี้ก็เพียงพอแล้วที่จะตัดตัวเลขให้เป็นจำนวนอนันต์ ชั้นขนานกับฐานแล้วดำเนินการรวมเข้าด้วยกัน ตามเทคนิคนี้เลยได้

V=∫₀^h(S_z)dz=-S ₀(h-z)³ / (3h²)|₀ ^h=1/3S₀h.

เพราะว่า S₀ isพื้นที่ฐานสี่เหลี่ยม จากนั้น แทนด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้วยตัวอักษร a เราจะได้สูตรหาปริมาตรของพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติ:

V=1/3a²h.

ตอนนี้ มาดูตัวอย่างการแก้ปัญหาเพื่อแสดงให้เห็นว่าควรใช้นิพจน์นี้อย่างไร

ปัญหาในการกำหนดปริมาตรของปิรามิดผ่านจุดตั้งฉากและขอบด้านข้าง

เส้นตั้งฉากของพีระมิดคือความสูงของสามเหลี่ยมด้านข้าง ซึ่งถูกลดระดับลงไปที่ด้านข้างของฐาน เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดมีค่าเท่ากันในพีระมิดปกติ ระยะตั้งฉากของพวกมันจะเหมือนกัน ให้เราระบุความยาวของมันด้วยสัญลักษณ์ h_b ระบุขอบด้านข้างเป็น b.

เมื่อรู้ว่าเส้นตั้งเด่นของพีระมิดคือ 12 ซม. และขอบด้านข้างของมันคือ 15 ซม. จงหาปริมาตรของพีระมิดสี่เหลี่ยมธรรมดา

สูตรสำหรับปริมาตรของตัวเลขที่เขียนในย่อหน้าก่อนหน้าประกอบด้วยสองพารามิเตอร์: ความยาวด้าน a และ ความสูง h ขณะนี้ เราไม่รู้จักพวกเขาเลย ลองมาดูการคำนวณของพวกเขากัน

ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยม a คำนวณได้ง่ายถ้าคุณใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ด้านตรงข้ามมุมฉากคือขอบ b และขาเป็นเส้นตั้งฉาก h _b และครึ่งหนึ่งของด้านฐาน a/2. เราได้:

b²=h_b²+ a² /4=>

a=2√(b²- h_b²).

แทนค่าที่ทราบจากเงื่อนไข เราจะได้ค่า a=18 cm.

ในการคำนวณความสูง h ของปิรามิด ทำได้สองอย่าง: พิจารณาสี่เหลี่ยมรูปสามเหลี่ยมที่มีขอบด้านตรงข้ามมุมฉากหรือด้านตรงข้ามมุมฉาก ทั้งสองวิธีมีค่าเท่ากันและเกี่ยวข้องกับประสิทธิภาพของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จำนวนเท่ากัน ให้เราพิจารณาการพิจารณาของสามเหลี่ยม โดยที่ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นเส้นตั้งฉาก h_b ขาในนั้นจะเป็น h และ a / 2 จากนั้นเราจะได้:

h=√(h_b²-a²/4)=√(12 ²- 18²/4)=7, 937 ซม.

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับปริมาตร V:

V=1/3a²h=1/318²7, 937=857, 196 ซม. ³.

ดังนั้น ปริมาตรของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติจะอยู่ที่ประมาณ 0.86 ลิตร

ปริมาตรของปิรามิดแห่ง Cheops

ตอนนี้ มาแก้ปัญหาที่น่าสนใจและสำคัญในทางปฏิบัติกัน: หาปริมาตรของปิรามิดที่ใหญ่ที่สุดในกิซ่า จากวรรณกรรมเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความสูงเดิมของอาคารคือ 146.5 เมตร และความยาวของฐานคือ 230.363 เมตร ตัวเลขเหล่านี้ทำให้เราสามารถนำสูตรมาคำนวณ V ได้: