สัจพจน์อย่างหนึ่งของเรขาคณิตระบุว่าสามารถวาดเส้นตรงเส้นเดียวผ่านจุดสองจุดใดๆ ได้ สัจพจน์นี้เป็นพยานว่ามีนิพจน์ตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันซึ่งอธิบายวัตถุเรขาคณิตแบบหนึ่งมิติที่ระบุอย่างเฉพาะเจาะจง พิจารณาคำถามเกี่ยวกับวิธีการเขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดในบทความ
จุดและเส้นคืออะไร
ก่อนที่จะพิจารณาคำถามเกี่ยวกับการสร้างในอวกาศและบนระนาบ เส้นตรงของสมการที่ผ่านจุดที่แตกต่างกันคู่หนึ่ง ควรกำหนดวัตถุเรขาคณิตที่ระบุ
จุดถูกกำหนดโดยชุดของพิกัดในระบบแกนพิกัดที่กำหนด นอกจากนั้น ไม่มีคุณลักษณะเพิ่มเติมสำหรับประเด็นนี้ เธอเป็นวัตถุไม่มีมิติ
เมื่อพูดถึงเส้นตรง แต่ละคนจินตนาการถึงเส้นที่วาดบนกระดาษขาว ในขณะเดียวกันก็เป็นไปได้ที่จะให้คำจำกัดความทางเรขาคณิตที่แน่นอนวัตถุนี้ เส้นตรงคือชุดของจุดที่เชื่อมต่อแต่ละจุดกับจุดอื่นๆ ทั้งหมดจะให้ชุดของเวกเตอร์คู่ขนาน
คำจำกัดความนี้ใช้เมื่อตั้งค่าสมการเวกเตอร์ของเส้นตรง ซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง
เนื่องจากทุกเส้นสามารถทำเครื่องหมายด้วยส่วนของความยาวตามอำเภอใจได้ จึงกล่าวกันว่าเป็นวัตถุเรขาคณิตหนึ่งมิติ
ฟังก์ชันเวกเตอร์ตัวเลข
สมการผ่านจุดสองจุดของเส้นตรงที่ส่งผ่านสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่ต่างกัน ในช่องว่างสามมิติและสองมิติ นิพจน์ตัวเลขหลักที่เข้าใจได้ง่ายคือเวกเตอร์
สมมติว่ามีส่วนกำกับบางส่วน u¯(a; b; c) ในพื้นที่ 3 มิติ เวกเตอร์ u¯ สามารถเริ่มต้นที่จุดใดก็ได้ ดังนั้นพิกัดของมันจึงกำหนดชุดอนันต์ของเวกเตอร์คู่ขนาน อย่างไรก็ตาม หากเราเลือกจุดใดจุดหนึ่ง P(x0; y0; z0) และใส่ มันเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ u¯ จากนั้น การคูณเวกเตอร์นี้ด้วยจำนวนจริงตามอำเภอใจ λ เราสามารถหาจุดทั้งหมดของเส้นตรงหนึ่งเส้นในอวกาศได้ นั่นคือสมการเวกเตอร์จะถูกเขียนเป็น:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
แน่นอน สำหรับกรณีบนเครื่องบิน ฟังก์ชันตัวเลขจะอยู่ในรูปแบบ:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
ข้อได้เปรียบของสมการประเภทนี้เมื่อเทียบกับสมการอื่นๆ (ในกลุ่ม, บัญญัติ,รูปแบบทั่วไป) อยู่ในความจริงที่ว่ามันมีพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางอย่างชัดเจน ตัวหลังมักใช้เพื่อกำหนดว่าเส้นขนานหรือตั้งฉาก
ทั่วไปในเซ็กเมนต์และฟังก์ชันมาตรฐานสำหรับเส้นตรงในพื้นที่สองมิติ
เมื่อแก้ปัญหา บางครั้งคุณจำเป็นต้องเขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดในรูปแบบเฉพาะเจาะจง ดังนั้น ควรระบุวิธีอื่นในการระบุวัตถุเรขาคณิตนี้ในพื้นที่สองมิติ (เพื่อความเรียบง่าย เราจะพิจารณากรณีบนระนาบ)
มาเริ่มกันที่สมการทั่วไปกัน มันมีรูปแบบ:
Ax + By + C=0
ตามกฎ บนระนาบ สมการของเส้นตรงจะถูกเขียนในรูปแบบนี้ มีเพียง y เท่านั้นที่ถูกกำหนดอย่างชัดเจนผ่าน x.
ตอนนี้แปลงนิพจน์ด้านบนดังนี้:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
นิพจน์นี้เรียกว่าสมการในเซกเมนต์ เนื่องจากตัวหารสำหรับตัวแปรแต่ละตัวจะแสดงระยะเวลาที่ส่วนของเส้นตัดบนแกนพิกัดที่สอดคล้องกันซึ่งสัมพันธ์กับจุดเริ่มต้น (0; 0)
ยังคงยกตัวอย่างสมการบัญญัติ ในการทำเช่นนี้ เราเขียนความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์อย่างชัดเจน:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
แสดงพารามิเตอร์ λ จากที่นี่และหาค่าเท่ากับผลลัพธ์:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
ความเท่าเทียมกันสุดท้ายเรียกว่าสมการในรูปแบบบัญญัติหรือสมมาตร
แต่ละอันสามารถแปลงเป็นเวกเตอร์และในทางกลับกันได้
สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านสองจุด: เทคนิคการรวบรวม
กลับไปที่คำถามของบทความ สมมติว่ามีช่องว่างสองจุด:
M(x1; y1; z1) และ N(x 2; y2; z2)
เส้นตรงเส้นเดียวที่ลากผ่าน สมการที่เขียนได้ง่ายมากในรูปแบบเวกเตอร์ ในการทำเช่นนี้ เราคำนวณพิกัดของส่วนกำกับ MN¯ เรามี:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
มันไม่ยากเลยที่จะเดาว่าเวกเตอร์นี้จะเป็นแนวทางสำหรับเส้นตรง ซึ่งจะต้องได้สมการมา เมื่อรู้ว่ามันผ่าน M และ N ด้วย คุณสามารถใช้พิกัดของพวกมันสำหรับนิพจน์เวกเตอร์ได้ จากนั้นสมการที่ต้องการจะอยู่ในรูปแบบ:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
สำหรับกรณีในพื้นที่สองมิติ เราได้รับความเท่าเทียมกันที่คล้ายกันโดยไม่ต้องมีส่วนร่วมของตัวแปร z
ทันทีที่เขียนเวกเตอร์ความเท่ากันของบรรทัด ก็สามารถแปลเป็นรูปแบบอื่นที่โจทย์ต้องการได้
งาน:เขียนสมการทั่วไป
เป็นที่ทราบกันว่าเส้นตรงผ่านจุดที่มีพิกัด (-1; 4) และ (3; 2) จำเป็นต้องเขียนสมการของเส้นตรงที่ลากผ่าน ในรูปแบบทั่วไป โดยแสดง y ในรูปของ x
เพื่อแก้ปัญหา ก่อนอื่นให้เขียนสมการในรูปเวกเตอร์ พิกัดเวกเตอร์ (ไกด์) คือ:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
จากนั้นรูปเวกเตอร์ของสมการของเส้นตรงจะเป็นดังนี้:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
ยังคงเขียนในรูปแบบทั่วไปในรูปแบบ y(x) เราเขียนความเท่าเทียมกันนี้ใหม่อย่างชัดเจน แสดงพารามิเตอร์ λ และแยกออกจากสมการ:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
จากสมการบัญญัติที่ได้ เราแสดง y และมาที่คำตอบของปัญหา:
y=-0.5x + 3.5
สามารถตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกันนี้ได้โดยแทนที่พิกัดของจุดที่ระบุในคำสั่งปัญหา
ปัญหา: เส้นตรงที่ลากผ่านศูนย์กลางของเซ็กเมนต์
ตอนนี้เรามาแก้ปัญหาที่น่าสนใจกัน สมมติว่าให้สองจุด M(2; 1) และ N(5; 0) เป็นที่ทราบกันว่าเส้นตรงผ่านจุดกึ่งกลางของส่วนที่เชื่อมต่อจุดและตั้งฉากกับมัน เขียนสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านกึ่งกลางของส่วนในรูปแบบเวกเตอร์
นิพจน์ตัวเลขที่ต้องการสามารถเกิดขึ้นได้โดยการคำนวณพิกัดของจุดศูนย์กลางนี้และกำหนดเวกเตอร์ทิศทางซึ่งส่วนทำให้มุม 90o.
จุดกึ่งกลางของส่วนคือ:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
ตอนนี้ มาคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
เนื่องจากเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นที่ต้องการตั้งฉากกับ MN¯ ผลคูณของสเกลาร์จึงเท่ากับศูนย์ สิ่งนี้ช่วยให้คุณคำนวณพิกัดที่ไม่รู้จัก (a; b) ของเวกเตอร์พวงมาลัย:
a3 - b=0=>
b=3a
ตอนนี้เขียนสมการเวกเตอร์:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
ที่นี่เราได้แทนที่ผลิตภัณฑ์ aλ ด้วยพารามิเตอร์ใหม่ β.
ดังนั้นเราจึงสร้างสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของเซ็กเมนต์