ความขัดแย้งของเบอร์ทรานด์เป็นปัญหาในการตีความทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก โจเซฟแนะนำสิ่งนี้ในงานของเขา Calcul des probabilités (1889) เป็นตัวอย่างที่ไม่สามารถกำหนดความน่าจะเป็นได้ชัดเจนหากกลไกหรือวิธีการสร้างตัวแปรสุ่ม
คำชี้แจงปัญหา
ความขัดแย้งของเบอร์ทรานด์มีดังนี้
ขั้นแรก ให้พิจารณาสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เขียนเป็นวงกลม ในกรณีนี้ เส้นผ่านศูนย์กลางจะถูกเลือกแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่จะยาวกว่าด้านของสามเหลี่ยมเป็นเท่าใด
เบอร์ทรานด์ได้โต้แย้งสามข้อ ซึ่งทั้งหมดดูเหมือนจะถูกต้อง แต่ให้ผลลัพธ์ต่างกัน
วิธีการสุ่มปลายทาง
คุณต้องเลือกสถานที่สองแห่งบนวงกลมแล้ววาดส่วนโค้งที่เชื่อมเข้าด้วยกัน สำหรับการคำนวณ จะพิจารณาความน่าจะเป็นของความขัดแย้งของเบอร์ทรานด์ จำเป็นต้องจินตนาการว่าสามเหลี่ยมหมุนเพื่อให้จุดยอดตรงกับจุดสิ้นสุดจุดหนึ่งของคอร์ด คุ้มค่าที่จะจ่ายโปรดทราบว่าหากอีกส่วนหนึ่งอยู่บนส่วนโค้งระหว่างสองตำแหน่ง วงกลมจะยาวกว่าด้านข้างของสามเหลี่ยม ความยาวของส่วนโค้งคือหนึ่งในสามของวงกลม ดังนั้นความน่าจะเป็นที่คอร์ดแบบสุ่มจะยาวขึ้นคือ 1/3
วิธีการเลือก
จำเป็นต้องเลือกรัศมีของวงกลมและจุดบนวงกลม หลังจากนั้น คุณต้องสร้างคอร์ดผ่านที่นี่ ตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลาง ในการคำนวณความขัดแย้งที่พิจารณาแล้วของทฤษฎีความน่าจะเป็นของเบอร์ทรานด์ เราต้องจินตนาการว่าสามเหลี่ยมนั้นหมุนเพื่อให้ด้านตั้งฉากกับรัศมี คอร์ดจะยาวกว่าขาถ้าจุดที่เลือกอยู่ใกล้ศูนย์กลางของวงกลมมากขึ้น และในกรณีนี้ ด้านข้างของสามเหลี่ยมแบ่งรัศมีออกเป็นสองส่วน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่คอร์ดจะยาวกว่าด้านข้างของรูปที่จารึกไว้คือ 1/2.
สุ่มคอร์ด
วิธีจุดกึ่งกลาง จำเป็นต้องเลือกสถานที่บนวงกลมและสร้างคอร์ดด้วยกึ่งกลางที่กำหนด แกนจะยาวกว่าขอบของสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ หากตำแหน่งที่เลือกอยู่ภายในวงกลมศูนย์กลางที่มีรัศมี 1/2 พื้นที่ของวงกลมที่เล็กกว่าคือหนึ่งในสี่ของตัวเลขที่ใหญ่กว่า ดังนั้น ความน่าจะเป็นของคอร์ดแบบสุ่มจึงยาวกว่าด้านข้างของสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ และเท่ากับ 1/4.
ดังที่แสดงไว้ข้างต้น วิธีการเลือกจะแตกต่างกันไปตามน้ำหนักที่มอบให้กับคอร์ดบางคอร์ด ซึ่งมีขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง ในวิธีที่ 1 แต่ละคอร์ดสามารถเลือกได้แบบเดียว ไม่ว่าจะเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางหรือไม่
ในวิธีที่ 2 เลือกเส้นตรงได้สองวิธี โดยที่คอร์ดอื่นๆ จะถูกเลือกเป็นไปได้เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น
ในวิธีที่ 3 การเลือกจุดกึ่งกลางแต่ละรายการมีพารามิเตอร์เดียว ยกเว้นจุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของเส้นผ่านศูนย์กลางทั้งหมด ปัญหาเหล่านี้สามารถหลีกเลี่ยงได้ด้วยการ "เรียงลำดับ" คำถามทั้งหมดเพื่อแยกพารามิเตอร์โดยไม่ส่งผลต่อความน่าจะเป็นผลลัพธ์
สามารถเลือกวิธีดูได้ดังนี้ คอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางจะถูกระบุโดยจุดกึ่งกลางอย่างเฉพาะเจาะจง วิธีการเลือกแต่ละวิธีจากสามวิธีที่นำเสนอข้างต้นทำให้เกิดการกระจายตัวของสื่อกลางที่แตกต่างกัน และตัวเลือกที่ 1 และ 2 จะมีพาร์ติชั่นที่ไม่เหมือนกันสองพาร์ติชั่น ในขณะที่วิธีที่ 3 จะให้การกระจายแบบสม่ำเสมอ
ความขัดแย้งสุดคลาสสิกในการแก้ปัญหาของเบอร์ทรานด์ขึ้นอยู่กับวิธีการเลือกคอร์ด "แบบสุ่ม" ปรากฎว่าหากมีการระบุวิธีการสุ่มเลือกล่วงหน้า ปัญหาจะมีวิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจน เนื่องจากแต่ละวิธีมีการกระจายคอร์ดของตัวเอง คำวินิจฉัยสามข้อที่แสดงโดย Bertrand นั้นสอดคล้องกับรูปแบบการเลือกที่แตกต่างกัน และหากไม่มีข้อมูลเพิ่มเติม ก็ไม่มีเหตุผลที่จะชอบรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง ดังนั้น ปัญหาที่ระบุจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาเดียว
ตัวอย่างวิธีทำให้คำตอบทั่วไปไม่ซ้ำกันคือการระบุว่าจุดสิ้นสุดของคอร์ดมีระยะห่างเท่ากันระหว่าง 0 ถึง c โดยที่ c คือเส้นรอบวงของวงกลม การแจกแจงนี้เหมือนกับอาร์กิวเมนต์แรกของ Bertrand และผลลัพธ์ความน่าจะเป็นที่ไม่ซ้ำกันจะเป็น 1/3
ความขัดแย้งของเบอร์ทรานด์ รัสเซลล์ และความคลาสสิกอื่นๆ ที่ไม่เหมือนใครการตีความความเป็นไปได้แสดงให้เห็นถึงสูตรที่เข้มงวดมากขึ้น รวมถึงความถี่ของความน่าจะเป็นและทฤษฎีเบเซียนตามอัตวิสัย
อะไรรองรับความขัดแย้งของเบอร์ทรานด์
ในบทความเรื่อง "The Well-posed Problem" ในปี 1973 Edwin Jaynes เสนอวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร เขาตั้งข้อสังเกตว่าความขัดแย้งของ Bertrand มีพื้นฐานมาจากหลักการของ "ความเขลาสูงสุด" ซึ่งหมายความว่าคุณไม่ควรใช้ข้อมูลใดๆ ที่ไม่ได้ระบุไว้ในคำสั่งปัญหา Jaynes ชี้ให้เห็นว่าปัญหาของ Bertrand ไม่ได้กำหนดตำแหน่งหรือขนาดของวงกลม และแย้งว่าดังนั้นการตัดสินใจที่ชัดเจนและเป็นกลางใดๆ จะต้อง "ไม่แยแส" ต่อขนาดและตำแหน่ง
เพื่อภาพประกอบ
สมมติว่าคอร์ดทั้งหมดวางแบบสุ่มบนวงกลม 2 ซม. ตอนนี้คุณต้องโยนหลอดจากระยะไกล
จากนั้นคุณต้องเอาวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเล็กกว่า (เช่น 1 ซม.) อีกอันหนึ่งซึ่งพอดีกับรูปร่างที่ใหญ่กว่า จากนั้นการกระจายคอร์ดบนวงกลมที่เล็กกว่านี้ควรเหมือนกับคอร์ดสูงสุด หากตัวเลขที่สองเคลื่อนไหวภายในตัวเลขแรก ความน่าจะเป็นไม่ควรเปลี่ยนแปลงโดยหลักการ ง่ายมากที่จะเห็นว่าสำหรับวิธีที่ 3 การเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้จะเกิดขึ้น: การแจกแจงคอร์ดบนวงกลมสีแดงเล็กๆ จะมีความแตกต่างในเชิงคุณภาพจากการแจกแจงบนวงกลมขนาดใหญ่
เช่นเดียวกันกับวิธีที่ 1 แม้ว่าจะมองเห็นได้ยากกว่าในมุมมองแบบกราฟิก
วิธีที่ 2 เท่านั้นซึ่งกลายเป็นทั้งมาตราส่วนและค่าคงที่การแปล
วิธีที่ 3 ดูเหมือนจะขยายได้ง่าย
วิธีที่ 1 ไม่เหมือนกัน
อย่างไรก็ตาม Janes ไม่ได้ใช้ค่าคงที่เพื่อยอมรับหรือปฏิเสธวิธีการเหล่านี้อย่างง่ายดาย สิ่งนี้จะทำให้มีความเป็นไปได้ที่จะมีวิธีการอื่นที่ไม่ได้อธิบายซึ่งเหมาะสมกับแง่มุมของความหมายที่สมเหตุสมผล Jaynes ใช้สมการปริพันธ์ที่อธิบายค่าคงที่ เพื่อกำหนดการกระจายความน่าจะเป็นโดยตรง ในปัญหาของเขา สมการอินทิกรัลมีคำตอบที่ไม่เหมือนใคร และนี่คือสิ่งที่เรียกว่าวิธีการสุ่มรัศมีที่สองด้านบน
ในกระดาษปี 2015 Alon Drory โต้แย้งว่าหลักการของ Jaynes สามารถให้ผลลัพธ์อีกสองวิธีของ Bertrand ผู้เขียนมั่นใจว่าการใช้งานทางคณิตศาสตร์ของคุณสมบัติข้างต้นของค่าคงที่นั้นไม่ซ้ำกัน แต่ขึ้นอยู่กับขั้นตอนการสุ่มขั้นพื้นฐานที่บุคคลตัดสินใจใช้ เขาแสดงให้เห็นว่าแต่ละโซลูชันของ Bertrand สามารถรับได้โดยใช้ค่าคงที่การหมุน การปรับขนาด และค่าคงที่การแปล ในเวลาเดียวกัน สรุปว่าหลักการของ Jaynes นั้นอยู่ภายใต้การตีความเช่นเดียวกับโหมดของความเฉยเมยเอง
การทดลองทางกายภาพ
วิธีที่ 2 เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่ตอบสนองค่าคงที่ของการเปลี่ยนแปลงที่มีอยู่ในแนวคิดทางสรีรวิทยาที่เฉพาะเจาะจง เช่น กลศาสตร์ทางสถิติและโครงสร้างก๊าซ นอกจากนี้ในการเสนอการทดลองของเจนส์ในการปาหลอดจากวงกลมเล็กๆ
อย่างไรก็ตาม สามารถออกแบบการทดลองเชิงปฏิบัติอื่นๆ ที่ให้คำตอบตามวิธีอื่นๆ ได้ ตัวอย่างเช่น ในการหาวิธีแก้ปัญหาของวิธีการสุ่มปลายทางแรก คุณสามารถแนบตัวนับเข้ากับศูนย์กลางของพื้นที่ได้ และให้ผลลัพธ์ของการหมุนอิสระสองครั้งเน้นที่ตำแหน่งสุดท้ายของคอร์ด เพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาของวิธีที่สาม เราสามารถเอากากน้ำตาลมาปิดเป็นวงกลม แล้วทำเครื่องหมายจุดแรกที่แมลงวันตกลงไปเป็นคอร์ดกลาง นักไตร่ตรองหลายคนได้สร้างการศึกษาเพื่อหาข้อสรุปที่แตกต่างกันและได้ยืนยันผลลัพธ์อย่างเป็นรูปธรรม
กิจกรรมล่าสุด
ในบทความปี 2007 เรื่อง "The Bertrand Paradox and the Indifference Principle" Nicholas Shackel โต้แย้งว่ากว่าศตวรรษให้หลัง ปัญหายังคงไม่ได้รับการแก้ไข เธอยังคงหักล้างหลักการของความเฉยเมย นอกจากนี้ ในบทความปี 2013 ของเขา "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions are Not Practical" Darrell R. Robottom แสดงให้เห็นว่าคำตัดสินที่เสนอทั้งหมดไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับคำถามของเขาเอง ดังนั้นมันจึงกลายเป็นว่าความขัดแย้งจะแก้ไขได้ยากกว่าที่คิดไว้ก่อนหน้านี้มาก
Shackel ย้ำว่าจนถึงตอนนี้นักวิทยาศาสตร์และผู้คนจำนวนมากที่อยู่ห่างไกลจากวิทยาศาสตร์ได้พยายามแก้ไขความขัดแย้งของ Bertrand มันยังคงเอาชนะได้ด้วยความช่วยเหลือจากสองแนวทางที่แตกต่างกัน
ที่พิจารณาความแตกต่างระหว่างปัญหาที่ไม่เท่ากันและปัญหาที่ถือว่าถูกต้องเสมอ Shackel พูดถึง Louis ในหนังสือของเขาMarinoff (เป็นเลขชี้กำลังทั่วไปของกลยุทธ์การสร้างความแตกต่าง) และ Edwin Jaynes (ในฐานะผู้เขียนทฤษฎีที่มีความคิดดี)
อย่างไรก็ตาม ในงานล่าสุดของพวกเขา การแก้ปัญหาที่ซับซ้อน Diederik Aerts และ Massimiliano Sassoli de Bianchi เชื่อว่าเพื่อแก้ไขความขัดแย้งของ Bertrand สถานที่จะต้องค้นหาด้วยกลยุทธ์ที่หลากหลาย ตามที่ผู้เขียนเหล่านี้กล่าวไว้ ขั้นตอนแรกคือการแก้ไขปัญหาโดยระบุลักษณะของเอนทิตีที่กำลังสุ่มให้ชัดเจน และหลังจากนี้เสร็จแล้ว ปัญหาใด ๆ ก็สามารถถือว่าถูกต้องได้ นั่นคือสิ่งที่เจนส์คิด
ดังนั้นหลักการของความเขลาสูงสุดจึงสามารถนำมาใช้แก้ได้ ด้วยเหตุนี้ และเนื่องจากปัญหาไม่ได้ระบุว่าควรเลือกคอร์ดอย่างไร หลักการนี้จึงไม่ได้นำไปใช้ในระดับความเป็นไปได้ต่างๆ แต่ในระดับที่ลึกกว่ามาก
การเลือกอะไหล่
ปัญหาส่วนนี้ต้องการการคำนวณหาค่าเฉลี่ยเมตาในทุกวิถีทางที่เป็นไปได้ ซึ่งผู้เขียนเรียกว่าค่าเฉลี่ยสากล เพื่อจัดการกับเรื่องนี้ พวกเขาใช้วิธีการแยกส่วน แรงบันดาลใจจากสิ่งที่กำลังทำในการกำหนดกฎความน่าจะเป็นในกระบวนการของ Wiener ผลลัพธ์ของพวกเขาสอดคล้องกับผลลัพท์ที่เป็นตัวเลขของ Jaynes แม้ว่าปัญหาที่ดีของพวกเขาจะแตกต่างจากปัญหาของผู้เขียนต้นฉบับ
ในด้านเศรษฐศาสตร์และการพาณิชย์ Bertrand Paradox ซึ่งตั้งชื่อตามผู้สร้าง Joseph Bertrand อธิบายสถานการณ์ที่ผู้เล่นสองคน (บริษัท) เข้าถึงสมดุลของ Nash เมื่อทั้งสองบริษัทกำหนดราคาให้เท่ากับต้นทุนส่วนเพิ่ม(MS).
ความขัดแย้งของเบอร์ทรานด์อิงจากหลักฐาน มันอยู่ในความจริงที่ว่าในรูปแบบเช่นการแข่งขัน Cournot การเพิ่มขึ้นของจำนวน บริษัท นั้นสัมพันธ์กับการบรรจบกันของราคาด้วยต้นทุนส่วนเพิ่ม ในรูปแบบทางเลือกเหล่านี้ ความขัดแย้งของ Bertrand อยู่ในผู้ขายน้อยรายของบริษัทจำนวนน้อยที่ได้รับผลกำไรที่เป็นบวกจากการคิดราคาที่สูงกว่าต้นทุน
เริ่มต้นด้วย สมมติว่าสองบริษัท A และ B ขายผลิตภัณฑ์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งแต่ละบริษัทมีต้นทุนการผลิตและการจัดจำหน่ายเท่ากัน ตามมาด้วยว่าผู้ซื้อเลือกผลิตภัณฑ์โดยพิจารณาจากราคาเพียงอย่างเดียว ซึ่งหมายความว่าอุปสงค์มีความยืดหยุ่นของราคาอย่างไม่สิ้นสุด ทั้ง A และ B จะกำหนดราคาที่สูงกว่าราคาอื่นๆ เพราะนั่นจะทำให้ความขัดแย้งของ Bertrand พังทลายลง หนึ่งในผู้เข้าร่วมตลาดจะยอมจำนนต่อคู่แข่ง ถ้าตั้งราคาเท่ากัน บริษัทจะแบ่งกำไรให้
ในทางกลับกัน หากบริษัทใดลดราคาลงแม้เพียงเล็กน้อย ก็จะได้รับทั้งตลาดและผลตอบแทนที่สูงขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ เนื่องจาก A และ B รู้สิ่งนี้ พวกเขาจึงพยายามตัดราคาคู่แข่งจนกว่าสินค้าจะขายได้กำไรเป็นศูนย์
งานล่าสุดแสดงให้เห็นว่าอาจมีดุลยภาพเพิ่มเติมในความขัดแย้งเชิงกลยุทธ์แบบผสมของเบอร์ทรานด์ โดยมีผลกำไรทางเศรษฐกิจที่เป็นบวก โดยมีเงื่อนไขว่าผลรวมของการผูกขาดนั้นไม่มีที่สิ้นสุด สำหรับกรณีของกำไรขั้นสุดท้าย พบว่า การเพิ่มขึ้นในเชิงบวกภายใต้การแข่งขันด้านราคาเป็นไปไม่ได้ในดุลยภาพแบบผสม และแม้แต่ในกรณีทั่วไประบบที่สัมพันธ์กัน
อันที่จริง ความขัดแย้งทางเศรษฐศาสตร์ของ Bertrand นั้นแทบจะไม่เกิดขึ้นเลยในทางปฏิบัติ เพราะสินค้าจริงนั้นมีความแตกต่างกันเกือบทุกครั้งในลักษณะอื่นนอกเหนือจากราคา (เช่น การจ่ายเงินมากเกินไปสำหรับฉลาก) บริษัทมีขีดจำกัดความสามารถในการผลิตและจัดจำหน่าย นี่คือสาเหตุที่ธุรกิจสองแห่งไม่ค่อยมีต้นทุนเท่ากัน
ผลลัพธ์ของ Bertrand นั้นขัดแย้งกัน เพราะหากจำนวนบริษัทเพิ่มขึ้นจากหนึ่งเป็นสอง ราคาจะลดลงจากการผูกขาดเป็นการแข่งขัน และยังคงอยู่ในระดับเดียวกับจำนวนบริษัทที่เพิ่มขึ้นหลังจากนั้น สิ่งนี้ไม่สมจริงนัก เพราะในความเป็นจริง ตลาดที่มีบริษัทไม่กี่แห่งที่มีอำนาจทางการตลาดมักจะคิดราคาสูงกว่าต้นทุนส่วนเพิ่ม การวิเคราะห์เชิงประจักษ์แสดงให้เห็นว่าอุตสาหกรรมส่วนใหญ่ที่มีคู่แข่งสองรายสร้างผลกำไรในเชิงบวก
ในโลกสมัยใหม่ นักวิทยาศาสตร์กำลังพยายามหาทางแก้ไขความขัดแย้งที่สอดคล้องกับรูปแบบการแข่งขันของ Cournot มากขึ้น ที่ซึ่งบริษัทสองแห่งในตลาดกำลังทำกำไรในเชิงบวกซึ่งอยู่ระหว่างระดับการแข่งขันที่สมบูรณ์แบบกับการผูกขาด
เหตุผลบางประการที่ความขัดแย้งของเบอร์ทรานด์ไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับเศรษฐศาสตร์:
- จำกัดความจุ บางครั้งบริษัทก็ไม่มีศักยภาพเพียงพอต่อความต้องการทั้งหมด ประเด็นนี้เกิดขึ้นครั้งแรกโดย Francis Edgeworth และก่อให้เกิดโมเดล Bertrand-Edgeworth
- ราคาจำนวนเต็ม. ไม่รวมราคาที่อยู่เหนือ MC เนื่องจากบริษัทหนึ่งสามารถตัดราคาอีกบริษัทหนึ่งได้โดยการสุ่มในปริมาณที่น้อย. หากราคาไม่ต่อเนื่องกัน (เช่น ต้องใช้ค่าจำนวนเต็ม) บริษัทหนึ่งจะต้องตัดราคาอีกบริษัทหนึ่งอย่างน้อยหนึ่งรูเบิล นี่หมายความว่ามูลค่าของสกุลเงินย่อยอยู่เหนือ MC หากบริษัทอื่นตั้งราคาให้สูงขึ้น บริษัทอื่นสามารถลดและยึดครองตลาดทั้งหมดได้ ข้อขัดแย้งของ Bertrand ประกอบอยู่ในสิ่งนี้อย่างแม่นยำ จะไม่นำผลกำไรมาให้เธอ ธุรกิจนี้ต้องการแบ่งปันยอดขาย 50/50 กับอีกบริษัทหนึ่งและได้รับรายได้ที่เป็นบวกล้วนๆ
- ความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ หากผลิตภัณฑ์ของบริษัทต่างๆ ต่างกัน ผู้บริโภคก็อาจเปลี่ยนมาใช้ผลิตภัณฑ์ที่มีราคาต่ำกว่าไม่ได้โดยสิ้นเชิง
- การแข่งขันไดนามิก. การโต้ตอบซ้ำๆ หรือการแข่งขันด้านราคาซ้ำๆ อาจนำไปสู่ความสมดุลของมูลค่า
- รายการเพิ่มเติมสำหรับจำนวนเงินที่สูงขึ้น สิ่งนี้เกิดขึ้นจากการโต้ตอบซ้ำๆ หากบริษัทหนึ่งตั้งราคาให้สูงขึ้นเล็กน้อย ก็จะยังได้รับยอดซื้อเท่าเดิม แต่มีกำไรต่อรายการมากขึ้น ดังนั้นบริษัทอื่นจะเพิ่มมาร์กอัป ฯลฯ (เฉพาะในรีเพลย์ มิฉะนั้น ไดนามิกจะไปในทิศทางอื่น)
Oligopoly
หากบริษัทสองแห่งสามารถตกลงเรื่องราคาได้ ถือเป็นผลประโยชน์ระยะยาวของพวกเขาที่จะรักษาข้อตกลง: รายได้จากการลดมูลค่าจะน้อยกว่าสองเท่าของรายได้จากการปฏิบัติตามข้อตกลงและคงอยู่จนกว่าบริษัทอื่นจะตัดราคา ราคาของตัวเอง.
ทฤษฎีความน่าจะเป็น (เช่นเดียวกับวิชาคณิตศาสตร์ที่เหลือ) เป็นสิ่งประดิษฐ์ล่าสุด และพัฒนาการไม่ราบรื่น ความพยายามครั้งแรกในการทำให้แคลคูลัสของความน่าจะเป็นเป็นทางการเกิดขึ้นโดย Marquis de Laplace ซึ่งเสนอให้กำหนดแนวคิดเป็นอัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่นำไปสู่ผลลัพธ์
แน่นอนว่าสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อจำนวนกิจกรรมที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีจำกัด นอกจากนี้ เหตุการณ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่าเทียมกัน
ในขณะนั้น แนวความคิดเหล่านี้ดูเหมือนจะไม่มีรากฐานที่มั่นคง ความพยายามที่จะขยายคำจำกัดความไปยังกรณีของเหตุการณ์จำนวนนับไม่ถ้วนได้นำไปสู่ความยุ่งยากมากยิ่งขึ้น ความขัดแย้งของเบอร์ทรานด์เป็นหนึ่งในการค้นพบที่ทำให้นักคณิตศาสตร์ระมัดระวังแนวคิดทั้งหมดของความน่าจะเป็น
