ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก อย่างแรกคือส่วนที่อยู่ประชิดกับมุมฉาก และด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นส่วนที่ยาวที่สุดของรูปและอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ 90o สามเหลี่ยมพีทาโกรัสคือสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากับจำนวนธรรมชาติ ความยาวของพวกมันในกรณีนี้เรียกว่า "พีทาโกรัสสามตัว"
สามเหลี่ยมอียิปต์
เพื่อให้คนรุ่นปัจจุบันได้เรียนรู้เรขาคณิตในรูปแบบที่สอนที่โรงเรียนตอนนี้ จึงมีการพัฒนามาหลายศตวรรษแล้ว จุดพื้นฐานคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก (รูปเป็นที่รู้จักไปทั่วโลก) คือ 3, 4, 5.
ไม่กี่คนที่ไม่คุ้นเคยกับวลี "กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง" อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทนี้ฟังดูเหมือนจริง: c2 (สี่เหลี่ยมของด้านตรงข้ามมุมฉาก)=a2+b2(ผลรวมของขาสี่เหลี่ยม).
ในหมู่นักคณิตศาสตร์ สามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4, 5 (ซม., ม., ฯลฯ) เรียกว่า "อียิปต์"เป็นที่น่าสนใจว่ารัศมีของวงกลมซึ่งระบุไว้ในรูปมีค่าเท่ากับหนึ่ง ชื่อนี้เกิดขึ้นราวศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสตกาล เมื่อนักปรัชญาชาวกรีกเดินทางไปอียิปต์
เมื่อสร้างปิรามิด สถาปนิกและนักสำรวจใช้อัตราส่วน 3:4:5 โครงสร้างดังกล่าวกลายเป็นสัดส่วน สบายตา และกว้างขวาง และยังไม่ค่อยยุบ
ในการสร้างมุมฉาก ช่างก่อสร้างใช้เชือกผูกนอต 12 อัน ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นในการสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากเพิ่มขึ้นเป็น 95%
สัญญาณของตัวเลขเท่ากัน
- มุมแหลมในสามเหลี่ยมมุมฉากและด้านใหญ่ ซึ่งเท่ากับองค์ประกอบเดียวกันในสามเหลี่ยมที่สอง เป็นสัญญาณที่เถียงไม่ได้ของความเท่าเทียมกันของตัวเลข เมื่อพิจารณาผลรวมของมุมแล้ว จะเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่ามุมแหลมที่สองนั้นเท่ากัน ดังนั้น สามเหลี่ยมจึงเหมือนกันในส่วนที่สอง
- เมื่อวางสองร่างทับกัน ให้หมุนไปในลักษณะที่รวมกันเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ตามคุณสมบัติของมัน ด้านข้างหรือมากกว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากัน เช่นเดียวกับมุมที่ฐาน ซึ่งหมายความว่าตัวเลขเหล่านี้เหมือนกัน
จากเครื่องหมายแรก มันง่ายมากที่จะพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันจริงๆ สิ่งสำคัญคือสองด้านที่เล็กกว่า (เช่น ขา) เท่ากัน
สามเหลี่ยมจะเหมือนกันในคุณสมบัติ II สาระสำคัญคือความเท่าเทียมกันของขาและมุมแหลม
คุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก
ความสูงที่ลดลงจากมุมขวาแยกร่างออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน
ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากและค่ามัธยฐานนั้นง่ายต่อการจดจำตามกฎ: ค่ามัธยฐานซึ่งถูกลดระดับลงไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก มีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่ง พื้นที่ของร่างหาได้ทั้งจากสูตรของนกกระสาและโดยคำแถลงว่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลผลิตของขา
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสมบัติของมุมที่ 30o, 45o และ 60o.
- ด้วยมุมที่ 30o จำไว้ว่าขาตรงข้ามจะเท่ากับ 1/2 ของด้านที่ใหญ่ที่สุด
- ถ้ามุมเป็น 45o จากนั้นมุมแหลมที่สองก็จะเท่ากับ 45o นี่แสดงให้เห็นว่าสามเหลี่ยมหน้าจั่วและขาของมันเหมือนกัน
- คุณสมบัติของมุม 60o คือมุมที่สามมีหน่วยวัดดีกรีเท่ากับ 30o.
พื้นที่หาได้ง่ายจากหนึ่งในสามสูตร:
- ผ่านความสูงและด้านที่มันตกลงมา;
- ตามสูตรของนกกระสา
- ด้านข้างและมุมระหว่างพวกเขา
ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากหรือค่อนข้างจะเรียกว่าขามาบรรจบกันด้วยความสูงสองระดับ ในการหารูปที่สาม จำเป็นต้องพิจารณาสามเหลี่ยมที่ได้ จากนั้นคำนวณความยาวที่ต้องการโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส นอกจากสูตรนี้แล้ว ยังมีอัตราส่วนของพื้นที่สองเท่ากับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากด้วย สำนวนที่พบบ่อยที่สุดในหมู่นักเรียนคือประโยคแรก เนื่องจากต้องใช้การคำนวณน้อยกว่า
ทฤษฎีบทที่ใช้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามเหลี่ยม
เรขาคณิตของสามเหลี่ยมมุมฉากรวมถึงการใช้ทฤษฎีบทเช่น:
- ทฤษฎีบทพีทาโกรัส. สาระสำคัญอยู่ที่ความจริงที่ว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ความสัมพันธ์นี้เป็นกุญแจสำคัญ คุณสามารถใช้สูตรนี้ได้หากมีรูปสามเหลี่ยม เช่น SNH SN คือด้านตรงข้ามมุมฉากและจำเป็นต้องหา จากนั้น SN2=NH2+HS2.
- ทฤษฎีบทโคไซน์. สรุปทฤษฎีบทพีทาโกรัส: g2=f2+s2-2fscos ของมุมระหว่างพวกมัน. ตัวอย่างเช่น ให้รูปสามเหลี่ยม DOB รู้จัก DB ของขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก DO จำเป็นต้องหา OB จากนั้นสูตรจะใช้รูปแบบนี้: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos มุม D มีสามผลที่ตามมา: มุมของสามเหลี่ยมจะเป็นมุมแหลม ถ้ากำลังสองของความยาวของส่วนที่สามถูกลบออกจากผลรวมของกำลังสองของทั้งสองข้าง ผลลัพธ์จะต้องน้อยกว่าศูนย์ มุมจะเป็นมุมป้านหากนิพจน์นี้มากกว่าศูนย์ มุมคือมุมฉากเมื่อเท่ากับศูนย์
- ทฤษฎีบทไซน์. แสดงความสัมพันธ์ของด้านกับมุมตรงข้าม กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คืออัตราส่วนของความยาวของด้านต่อไซน์ของมุมตรงข้าม ในรูปสามเหลี่ยม HFB โดยที่ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ HF มันจะเป็นจริง: HF/sin ของมุม B=FB/sin ของมุม H=HB/sin ของมุม F
